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    移動機(jī)器人動力學(xué)方程的約束違約穩(wěn)定方法

    2023-08-18 06:38:08楊偉超
    機(jī)械設(shè)計(jì)與制造 2023年8期
    關(guān)鍵詞:約束方程移動機(jī)器人示意圖

    劉 佳,楊 凱,楊 蓓,楊偉超

    (石家莊學(xué)院機(jī)電學(xué)院,河北石家莊 050035)

    約束多體系統(tǒng)的動力學(xué)模型常被處理為若干微分方程與約束方程組成的方程組進(jìn)行求解處理。理論上講,如果存在解析解,此解在滿足加速度層面約束方程的同時(shí),也應(yīng)該滿足速度層面約束方程和位置層面約束方程。

    然而,在數(shù)值求解時(shí),由于數(shù)值近似和截?cái)嗾`差等的影響,數(shù)值解將僅僅能滿足加速度層面約束方程,而嚴(yán)重偏離位置約束方程和速度約束方程,出現(xiàn)約束違約現(xiàn)象。

    對于移動機(jī)器人來講,由于其存在的非完整約束,使得建立其解析形式的動力學(xué)方程具有一定的困難。而基于分析力學(xué)界經(jīng)典的Udwadia?Kalaba方程建立的解析形式的動力學(xué)方程依然存在約束違約[1]。

    其原因除數(shù)值近似和截?cái)嗾`差等因素外,將移動機(jī)器人本身固有的非完整約束方程融入到質(zhì)量矩陣而導(dǎo)致的矩陣奇異也應(yīng)該是不可忽略的因素。

    當(dāng)前,處理約束違約的方法主要有兩種:(1)約束違約消除方法[2];(2)約束違約穩(wěn)定性方法[3]。

    約束違約消除方法是將滿足約束方程的解視為約束流形上的映射,通過將由動力學(xué)方程積分得到的廣義坐標(biāo)和廣義速度投影到約束流形上,使廣義坐標(biāo)和廣義速度滿足約束方程從而實(shí)現(xiàn)違約校正。其中代表性的應(yīng)用是:文獻(xiàn)[4?5]分別采用幾何投影法對空間曲柄滑塊機(jī)構(gòu)和牛頭刨床機(jī)構(gòu)做了分析研究,并取得滿意效果。文獻(xiàn)[6]基于改進(jìn)Udwadia?Kalaba方程建立了雙臂協(xié)調(diào)機(jī)械手的動力學(xué)方程,約束違約得到一定程度的抑制。但由于僅考慮了忽視速度層面約束方程對約束違約的影響,因此結(jié)果仍有待改善。

    約束違約穩(wěn)定性方法通過引入包含約束方程的修正項(xiàng)以達(dá)到減小甚至消除約束漂移的目的。這其中最著名的是Baumgarte穩(wěn)定方法。然而,Baumgarte穩(wěn)定性方法需要合理選擇修正項(xiàng)中涉及到的參數(shù),這是一件比較困難的事情[7]。尤其當(dāng)系統(tǒng)具有多個約束方程時(shí),穩(wěn)定參數(shù)的選擇就成為一個單調(diào)、繁瑣的試錯過程。

    基于此,這里利用Baumgarte穩(wěn)定方法,基于求解常微分方程常用的四階Runge?Kutta法探討穩(wěn)定參數(shù)的選擇問題,并將其應(yīng)用到基于Udwadia?Kalaba方程建立的移動機(jī)器人解析動力學(xué)方程上以驗(yàn)證其有效性。

    2 Baumgarte穩(wěn)定方法

    系統(tǒng)的約束方程可表示為以下形式:

    式中:q—系統(tǒng)的廣義變量;t—時(shí)間變量;

    p—系統(tǒng)約束方程的個數(shù)。

    進(jìn)一步可表示為:

    根據(jù)Baumgarte穩(wěn)定方法,將加速度層面約束方程改寫為:

    基于Udwadia?Kalaba 方程的[8?10]機(jī)器人解析動力學(xué)方程可表示為:

    式中:Q—不考慮約束時(shí)系統(tǒng)所受的約束力(矩);

    Qc—考慮約束時(shí)機(jī)器人所需的約束力(矩)。

    基于Baumgarte 穩(wěn)定方法修正的Udwadia—Kalaba 方程[11],可得:

    3 Baumgarte參數(shù)的估計(jì)

    針對一階方程的初值問題[12]:

    所謂數(shù)值解法,就是尋求解y(x)在一系列離散節(jié)點(diǎn)x1

    求解初值問題式(7)的顯示單步法:

    這里ci,λi,μij均為常數(shù),式(8)稱為r級顯式Runge?Kutta法。當(dāng)r= 4時(shí),即為經(jīng)典四階Runge?Kutta法:

    將式(3)改寫為:

    采用經(jīng)典的四階Runge?Kutta法求解式(10),由式(9)得:

    其中:L1=hBKn,

    將L1,L2,L3,L4代入式(11)得:

    對式(12)進(jìn)行Z變換得:

    系統(tǒng)的特征方程為:

    根據(jù)控制理論的相關(guān)知識可知,當(dāng) |Z|≤1時(shí)和Φ將會收斂到0。當(dāng) |Z|≤1時(shí)的選取點(diǎn),如圖1所示。根據(jù)圖1,并結(jié)合式(15),一旦指定步長h,則Baumgarte參數(shù)即可選定。

    圖1 的穩(wěn)定區(qū)域Fig.1 Stability Region in the Plane

    4 仿真實(shí)例

    移動機(jī)器人運(yùn)動模型,如圖2 所示。Oxyz為大地坐標(biāo)系。xpPyp為移動機(jī)器人平臺上固定點(diǎn)P的局部坐標(biāo)系,P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),xp與x之間的夾角為θ。P點(diǎn)與移動機(jī)器人質(zhì)心C點(diǎn)之間的距離為a= 0.145m。兩側(cè)驅(qū)動輪相距2d= 0.8m,驅(qū)動輪半徑為r= 0.08m。移動機(jī)器人質(zhì)量為m1= 6.32kg,轉(zhuǎn)動慣量Iz=0.063kg.m2。每個驅(qū)動輪質(zhì)量為m2= 0.31kg,轉(zhuǎn)動慣量為Il=Iz=0.001kg.m2。移動機(jī)器人廣義坐標(biāo)為θ=[x,y,θ,θl,θr],其中θl,θr分別為左右驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)角。

    圖2 移動機(jī)器人運(yùn)動模型Fig.2 The Motion Diagram of Mobile Robot

    移動機(jī)器人運(yùn)動軌跡為:

    根據(jù)文獻(xiàn)[13]的建模方法得移動機(jī)器人未受約束時(shí)的動力學(xué)方程為:

    將移動機(jī)器人的運(yùn)行軌跡視為外部約束并形,如式(2)的形式:

    假設(shè)初始條件為:x( 0 )= 0m,y( 0 )=?4m,θ( 0 )=θl( 0 )=θr( 0 )= 0rad,?( 0 )= 3m/s,y?( 0 )= 0m/s?( 0 )= 1.33rad/s,?( 0 )=( 0 )= 0rad/s。由式(6)可得基于Baumgarte 穩(wěn)定性方法修正的動力學(xué)方程:

    為驗(yàn)證所提方法的有效性,根據(jù)圖1選擇的三組數(shù)據(jù),如表1所示。

    表1 不同穩(wěn)定參數(shù)表Tab.1 The Table of Different Stability Parameters

    仿真結(jié)果,如圖3~圖7所示。圖3和圖5分別表示移動機(jī)器人在x方向和y方向的位移示意圖。x未修正和y未修正分別表示沒有采用Baumgarte參數(shù)時(shí)的位移。x修正和y修正分別表示采用穩(wěn)定區(qū)域Baumgarte參數(shù)時(shí)的位移。x非穩(wěn)定和y非穩(wěn)定分別表示采用非穩(wěn)定區(qū)域Baumgarte參數(shù)時(shí)的位移。x理論和y理論分別表示理論位移曲線。三種情況下x方向位移偏差不是很大,如圖3所示。

    圖3 x方向位移示意圖Fig.3 The Displacement Diagram of x Direction

    圖4 x方向位移誤差示意圖Fig.4 The Displacement Error Diagram of x Direction

    圖5 y方向的位移示意圖Fig.5 The Displacement Diagram of y Direction

    而沒有采用Baumgarte參數(shù)時(shí)的位移存在明顯的約束違約,如圖5所示。

    移動機(jī)器人在x方向和y方向的位移誤差示意圖,如圖4、圖6所示。其中,error1=x?3 sint表示x方向的位移誤差;error2=y+ 4 cost表示y方向的位移誤差。下標(biāo)文字含義與上述相同。圖4、圖6均表明沒有采用Baumgarte參數(shù)時(shí)的位移誤差隨時(shí)間逐漸增大,采用非穩(wěn)定區(qū)域Baumgarte參數(shù)時(shí)的位移誤差則得到了較好的控制,而采用穩(wěn)定區(qū)域Baumgarte參數(shù)時(shí)的位移誤差則得到了很好的改善,x方向誤差數(shù)量級為10?4,y方向誤差數(shù)量級為10?3。移動機(jī)器人運(yùn)動軌跡示意圖,如圖7所示。

    圖6 y方向位移誤差示意圖Fig.6 The Displacement Error Diagram of y Direction

    圖7 運(yùn)動軌跡對比示意圖Fig.7 The Comparison Diagram of Trajectory

    5 結(jié)論

    這里針對移動機(jī)器人動力學(xué)方程存在的約束違約問題,基于常微分方程常見的四階Runge?Kutta 法,探討了Baumgarte 穩(wěn)定性方法的參數(shù)選擇問題,主要結(jié)論有:

    (1)基于四階Runge?Kutta 法獲得了Baumgarte 穩(wěn)定參數(shù)的存在區(qū)域,為快速選擇合適的Baumgarte穩(wěn)定參數(shù)提供了一種方法。這種方法也可用于其他求解動力學(xué)方程的方法。

    (2)當(dāng)選擇非穩(wěn)定區(qū)域時(shí)的Baumgarte參數(shù)時(shí),移動機(jī)器人的仿真結(jié)果表明違約現(xiàn)象也得到了較好的改善,盡管達(dá)不到選擇穩(wěn)定區(qū)域時(shí)的Baumgarte 參數(shù)的數(shù)量級,但也從另一個角度說明Baumgarte違約穩(wěn)定方法的有效性。在此基礎(chǔ)上獲得穩(wěn)定參數(shù)的選擇范圍對創(chuàng)建精確的動力學(xué)模型具有重要意義。

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