對(duì)集合論公理化方法悖性的審思

王習(xí)勝

（安徽師范大學(xué)政治學(xué)院，安徽 蕪湖 241003）

對(duì)集合論公理化方法悖性的審思

王習(xí)勝

（安徽師范大學(xué)政治學(xué)院，安徽 蕪湖 241003）

公理化集合論理論的創(chuàng)立，解決了康托爾素樸集合論因其概括原則的前提預(yù)設(shè)而導(dǎo)致的一系列悖論。在公理化集合論中人們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)新的悖論，學(xué)界因此而視其為成功的解悖方案。公理化的本質(zhì)是重構(gòu)集合論的演繹系統(tǒng)，演繹方法具有保真性，能夠?qū)С隹煽恐R(shí)。公理化集合論的兩個(gè)準(zhǔn)等價(jià)的系統(tǒng)卻是從相互矛盾的前提建構(gòu)得來(lái)的。如果這兩個(gè)公理系統(tǒng)導(dǎo)出的結(jié)論是可靠的，就說(shuō)明可靠知識(shí)可以由不可靠的公理化方法導(dǎo)出的。這就對(duì)公理化方法的可靠性構(gòu)成了質(zhì)疑。

悖論；羅素悖論；集合論；公理化；科學(xué)方法論

為了避免康托爾（G.Cantor）素樸集合論以性質(zhì)定義集合而導(dǎo)致的悖論，集合論研究者采取了公理化方法，成功地建構(gòu)了ZFC系統(tǒng)和NBG系統(tǒng)，這兩個(gè)系統(tǒng)都能夠消解以羅素悖論為代表的素樸集合論悖論。然而，這兩個(gè)準(zhǔn)等價(jià)的系統(tǒng)卻是從導(dǎo)致素樸集合論悖論的相互對(duì)立的前提出發(fā)建構(gòu)的，這就不由得我們不對(duì)知識(shí)與方法的可靠性問(wèn)題產(chǎn)生疑問(wèn)。

一、集合論中公理化方法的興起

集合論的公理化方法的興起是與以羅素悖論為代表的素樸集合論中出現(xiàn)的一系列悖論密切相關(guān)的。雖然“集合”這個(gè)概念的使用并非自康托爾開(kāi)始，但康托爾卻在集合論領(lǐng)域作出了突出的貢獻(xiàn)：他對(duì)無(wú)限集合作了定量研究，引進(jìn)了超限基數(shù)和超限序數(shù)，劃分了無(wú)限的層次。超限基數(shù)和超限序數(shù)理論乃至整個(gè)超限集合論的建立，使人類(lèi)對(duì)于無(wú)限的認(rèn)識(shí)進(jìn)入到一個(gè)嶄新的階段。因與傳統(tǒng)觀念相沖突，康托爾的工作受到諸多批評(píng)和指責(zé)，但康托爾堅(jiān)信自己的創(chuàng)造對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的重要性，頑強(qiáng)地堅(jiān)持并發(fā)展自己的學(xué)說(shuō)，加之有威爾斯特拉斯（K.Weierstrass）、戴德金（R.Dedekind）和弗雷格（G.Frege）等人的支持，尤其是這個(gè)理論本身所顯示出的強(qiáng)大的生命力，到19世紀(jì)90年代，康托爾的成果已經(jīng)得到多數(shù)數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。超限集合論不僅因其成為數(shù)學(xué)理論相對(duì)相容性證明的底端而大放異彩，而且因?yàn)樗谝幌盗袛?shù)學(xué)領(lǐng)域（如測(cè)度論和拓?fù)鋵W(xué)等）成功的應(yīng)用而備受人們的青睞。

正當(dāng)人們?yōu)榧险摾碚摰某晒?也為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈找到了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)而慶幸之時(shí)，1895年，康托爾在他的序數(shù)理論中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重大矛盾：根據(jù)概括原則，可用所有序數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合W，將其中的元素排列起來(lái)，則W是個(gè)良序集，其元素便是上面的良序系列中的分子。根據(jù)窮竭原則，這個(gè)集合也應(yīng)有一序數(shù)Q，它大于W的任一元素。但由于Q本身也是一個(gè)序數(shù)，故而也是W的一個(gè)元素，這就導(dǎo)出了Q＞Q的荒謬結(jié)論。

康托爾沒(méi)有將這個(gè)問(wèn)題立即在學(xué)界公開(kāi)，而是寫(xiě)信告知希爾伯特（D.Hibert），希望希爾伯特能夠幫助他找出推導(dǎo)中的問(wèn)題所在。但后來(lái)，布拉里—弗爾蒂（Burali-Forti）獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)悖論，并將它公布于眾，所以這個(gè)悖論又被稱(chēng)為“布拉里—弗爾蒂悖論”。

最大序數(shù)悖論尚未解決，康托爾又發(fā)現(xiàn)了基

數(shù)悖論。1899年，他在給戴德金的一封信中談到了他的發(fā)現(xiàn)：以“集合”作為一特征性質(zhì)，根據(jù)概括原則，可以構(gòu)成所有集合的集合S，即所謂的“大全集”?？低袪柖ɡ砀嬖V我們，任一集合的冪集的基數(shù)大于原集合的基數(shù)，那么S的冪集的基數(shù)大于其自身的基數(shù)。既然S是大全集，則PS也是S的子集，子集的元素的個(gè)數(shù)不可能超過(guò)其母集，故有小于或等于。于是，悖論出現(xiàn)了：＞，同時(shí)≦。這就是著名的“康托爾悖論”，它比布拉里－弗爾蒂悖論更簡(jiǎn)單、更明顯。

康托爾感到，如果在上述推導(dǎo)中找不出問(wèn)題，就說(shuō)明可能并不存在大全集，或者說(shuō)，沒(méi)有最大的超限基數(shù)。然而，這個(gè)結(jié)論如果成立，就意味著必須修改超限集合論的某些原則，而在這些原則中變更任何一個(gè)，對(duì)于康托爾集合論理論都是致命的。

由于這兩個(gè)悖論的推導(dǎo)牽涉到素樸集合論一系列基礎(chǔ)概念，所以，當(dāng)時(shí)的很多數(shù)學(xué)家并沒(méi)有為此而多慮。他們相信這兩個(gè)悖論肯定是由于推導(dǎo)中某些環(huán)節(jié)出了錯(cuò)誤所致，比如，暗含地引入了新概念，或推理中發(fā)生了不易察覺(jué)的失誤，就象過(guò)去關(guān)于歐氏幾何第五公設(shè)可以從其余四條公設(shè)推出的一系列“證明”一樣，那些“證明”后來(lái)經(jīng)過(guò)仔細(xì)辨析都不成立。人們具有這種樂(lè)觀信念的另一個(gè)原因是，盡管歐氏幾何、實(shí)數(shù)論和自然數(shù)論的不矛盾性尚未得到直接證明，但是人們都相信它們不會(huì)導(dǎo)致悖論，事實(shí)上也從未在其中遇到過(guò)悖論。同時(shí)，又已經(jīng)把這些理論的不矛盾性直接或間接地歸約到集合論的不矛盾性，而集合論在當(dāng)時(shí)被許多數(shù)學(xué)家公認(rèn)為邏輯理論，人們相信邏輯理論是沒(méi)有矛盾的，所以，人們更加相信集合論中決不會(huì)產(chǎn)生悖論。因而，當(dāng)最大基數(shù)悖論和最大序數(shù)悖論出現(xiàn)后，并沒(méi)有影響到數(shù)學(xué)界對(duì)集合論理論安全、樂(lè)觀的信任氣氛，也沒(méi)有影響到集合論在許多領(lǐng)域中的自由應(yīng)用。

如果說(shuō)由于布拉里－弗爾蒂悖論和康托爾悖論涉及的概念較多，使得數(shù)學(xué)家們對(duì)于在集合論的既有形態(tài)中解決問(wèn)題充滿(mǎn)希望，那么羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，使得這種希望徹底破滅。1901年，羅素在試圖尋找康托爾悖論之推導(dǎo)的毛病時(shí)發(fā)現(xiàn)了新的悖論。

我們知道，素樸集合的構(gòu)成有兩種方法，一是列舉法，二是概括法。但通過(guò)列舉法構(gòu)建的集合也可以用概括的方法去統(tǒng)攝，所以，概括原則是康托爾集合論中統(tǒng)攝任一集合的一條普遍原則。正是這條原則可運(yùn)用于構(gòu)造無(wú)限集合，甚至不可數(shù)的無(wú)限集合，集合論作為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論才成為可能。然而，羅素悖論也正是由這條普遍的基本原則引申出來(lái)的。羅素當(dāng)時(shí)的思路是：我們可以把所有集合分成兩類(lèi)，一類(lèi)是屬于自己的集合，即一個(gè)集合可以作為一個(gè)元素屬于自身。另一類(lèi)是不屬于自己的集合，即一個(gè)集合不能作為一個(gè)元素屬于自身。那么，對(duì)于“不屬于自身的集合”這種性質(zhì)而言，它將會(huì)構(gòu)成怎樣的集合呢？根據(jù)概括原則，將出現(xiàn)“不屬于自身的集合”當(dāng)且僅當(dāng)“屬于自身的集合”的矛盾。稍后，意大利數(shù)學(xué)家策墨羅（E. Zermelo）也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)悖論。于是，人們將這個(gè)悖論也稱(chēng)為羅素－策墨羅悖論。

羅素悖論由概括原則直接導(dǎo)出，形式上簡(jiǎn)潔而明確，這個(gè)悖論觸及到素樸集合論中最為根本的概念——集合，所以給人以數(shù)學(xué)大廈之將傾的壓力和恐懼。數(shù)學(xué)，素有最嚴(yán)格的科學(xué)之稱(chēng)，是架構(gòu)其他經(jīng)驗(yàn)科學(xué)理論的重要工具，現(xiàn)在竟然在其基礎(chǔ)理論中發(fā)現(xiàn)了邏輯矛盾，這使得當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家感到無(wú)所適從。1903年，德國(guó)數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家弗雷格正在出版他的重要著作《論算術(shù)的基本法則》第二卷，當(dāng)他得知羅素悖論之后，便在書(shū)的“后記”中沮喪地寫(xiě)道：“對(duì)于一個(gè)科學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，最不幸的事情無(wú)過(guò)于當(dāng)他完成他的工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的知識(shí)大廈的一塊基石突然動(dòng)搖了。正當(dāng)本書(shū)的印刷接近完成之際，伯蘭特·羅素先生的一封信便使我陷入這種境地……”［1］（P807）另一位數(shù)學(xué)家戴德金在得知這個(gè)悖論之后，把原來(lái)打算付印的《連續(xù)性與無(wú)理數(shù)》一書(shū)的第三版的稿子抽了回來(lái)。羅素本人則如此形容他發(fā)現(xiàn)這個(gè)悖論時(shí)的心緒：“智力活動(dòng)上的悲哀充分地降到了我的頭上”［2］（P64）。數(shù)學(xué)史家克萊因（M.Kline）描述到：“作為邏輯結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)已處于一種悲慘的境地，數(shù)學(xué)家們以向往的心情回顧這些矛盾被認(rèn)識(shí)以前的美好時(shí)代?！保?］（P293）

素樸集合論在根基上出了矛盾，而集合論所具有的地位和作用又不容得人們徹底舍棄這一理論，既然以邏輯直覺(jué)方式建構(gòu)的素樸集合論無(wú)法排斥其中的悖論，應(yīng)該用怎樣的方法才能建構(gòu)一種無(wú)矛盾的集合論呢？從科學(xué)方法論的角度論，構(gòu)

造科學(xué)理論的方法雖然有很多種，比如，常用的方法有經(jīng)驗(yàn)直觀方法、邏輯直覺(jué)方法、公理化方法、邏輯與歷史相統(tǒng)一的方法、從抽象上升到具體的方法，等等，但以認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于問(wèn)題解決策略方式的二分法，所有方法不外乎只有“算法”（Algorithm）和啟發(fā)法（Heuristics）之別。由于算法能夠精確地指明問(wèn)題解決的步驟，更少地帶有個(gè)人偏好與信仰的成分，“使得有限的智力能夠處理無(wú)限性”［4］（P51）認(rèn)識(shí)對(duì)象，這一獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，使其成為打造具有嚴(yán)密邏輯形式的數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)等演繹科學(xué)理論系統(tǒng)的常用方法，亞里士多德的三段論系統(tǒng)，從2個(gè)基本公理，4個(gè)基本規(guī)則，即可推得24個(gè)有效式；歐幾里得的幾何學(xué)體系，從5條公設(shè)、5條公理和23個(gè)定義出發(fā)，可以嚴(yán)密地推演出467個(gè)數(shù)學(xué)命題等，都是這一方法的典范產(chǎn)品。公理化方法本質(zhì)上就是認(rèn)知心理學(xué)意義上的算法。既然由算法構(gòu)建的科學(xué)理論在邏輯相容性方面最能為人們所信服，因此，為了克服素樸集合論的悖論，在現(xiàn)代集合論的建構(gòu)中公理化方法受到了前所未有的器重。

二、兩個(gè)前提矛盾的準(zhǔn)等價(jià)公理化集合論系統(tǒng)

康托爾的素樸集合論將“集合”理解為“我們直覺(jué)或者思考的不同對(duì)象的總體”，這樣理解“集合”，在語(yǔ)義上未免過(guò)于含糊和疏漏，而羅素以分支類(lèi)型論解決羅素悖論又帶有很強(qiáng)的特設(shè)性，當(dāng)策墨羅把集合論變成了一個(gè)完全抽象的公理化理論時(shí)，從方法論的角度說(shuō)，的確實(shí)現(xiàn)了對(duì)前人思想粗陋缺陷的克服。策墨羅不再以人們似乎公認(rèn)的“直覺(jué)”作為標(biāo)準(zhǔn)去定義“集合”概念，而是以公理方式將集合的性質(zhì)一一體現(xiàn)出來(lái)，這些公理是：

（1）確定性公理（通稱(chēng)“外延公理”）：每一集合都由它的元素唯一決定。

（2）基本集合存在公理：空集存在，單元素集存在，對(duì)偶集存在。

（3）分出公理（又稱(chēng)子集公理）：假如謂詞P（代表某一性質(zhì)）對(duì)已知集合B中的所有元素都有意義，則可以從B中分出一個(gè)子集A，而A由B中所有滿(mǎn)足謂詞P的元素組成。

（4）冪集公理：每一集合都存在一冪集。

（5）并集公理：任一集合的所有元素的元素組成一集合。

（6）無(wú)限公理：至少存在一集合ω，它具有這樣的性質(zhì)：（a）Φ∈ω；（b）如果x∈ω，則{x}∈ω。就是說(shuō)，空集是它的元素，而且，如果x是它的元素，那么{x}也是它的元素。

（7）選擇公理：若A是由不相交的非空集合組成的集合，則存在一集合，它和A的每一個(gè)元素恰有一共同元素。［5］（P64-65）

學(xué)界稱(chēng)這些公理為公理系統(tǒng)Z。Z系統(tǒng)回避了用“性質(zhì)”造集可能造成的體系矛盾，比如說(shuō)，用所有“對(duì)象”、所有“序數(shù)”等性質(zhì)造集，就可能造成大全集悖論和最大序數(shù)悖論等，既然Z系統(tǒng)回避了“性質(zhì)”造集，也就排除了某些不適當(dāng)?shù)募希@有利于消除羅素悖論產(chǎn)生的條件。正因如此，策墨羅被學(xué)界視為公理化集合論的奠基人。但是，如果僅這些公理去建構(gòu)集合論也會(huì)產(chǎn)生另外的問(wèn)題，那就是素樸集合論中很多有用的東西，比如，某些超限集合和超限歸納法等就被無(wú)情地拒斥在集合論的大門(mén)之外了。為了彌補(bǔ)Z系統(tǒng)的缺陷，挪威數(shù)學(xué)家斯科倫（T.Skolem）和以色列數(shù)學(xué)家弗蘭克爾（A.Fraenkel）給Z系統(tǒng)增加了一條“替換公理”，即“若f是一個(gè)函數(shù)，而且，對(duì)一個(gè)已知集合中的任一元素x而言，f(x)也是一個(gè)集合，那么，所有這些f(x)就構(gòu)成一個(gè)新的集合。”［6］（P226-228）

學(xué)界認(rèn)為，在Z系統(tǒng)上增加“替換公理”之后，足以彌補(bǔ)Z系統(tǒng)為解決素樸集合論悖論而造成的自身缺陷，但這種“完滿(mǎn)”的想法很快被法國(guó)數(shù)學(xué)家米里曼諾夫（D.Mirimannoff）打破，1917年，米里曼諾夫在上述系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了“有根基性悖論”，其主要內(nèi)容是：如果對(duì)一個(gè)集合x(chóng)而言，不存在集合y1，y2等（不必不相同）的無(wú)限序列，使得…y3∈y2∈y1∈x，則稱(chēng)x是“有根基的”，否則就是“無(wú)根基的”。如果令ω為所有有根基的集合的集合，那么ω是有根基的還是無(wú)根基的？假設(shè)ω是有根基的，則ω∈ω，因此，可有序列…ω∈ω∈ω∈ω∈ω，而該序列的存在，意味著ω是無(wú)根基的；再假設(shè)ω是無(wú)根基的，則依據(jù)定義存在一串集合的無(wú)限序列…y3∈y2∈y1∈ω，此時(shí)y1也是無(wú)根基集合，但它又屬于ω，與ω定義矛盾，故而ω又應(yīng)該是有根基的。為了解決這種“有根基性悖論”，也為了使得Z系統(tǒng)繼續(xù)發(fā)揮應(yīng)有的價(jià)值，1925年，美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾意曼（J.von

Neumann）提出在Z系統(tǒng)上再增加一個(gè)“基礎(chǔ)公理”，即“對(duì)任一非空集合而言，一定有這樣的元素存在，它與原來(lái)的集合沒(méi)有公共元素”，既然與原來(lái)的集合沒(méi)有公共元素，也就不會(huì)存在上面的所說(shuō)的無(wú)限序列?；A(chǔ)公理與羅素的類(lèi)型理論一樣，表明了集合與元素之間的層次關(guān)系。

學(xué)界確認(rèn)，以一階邏輯和修補(bǔ)后的Z系統(tǒng)為基礎(chǔ)建構(gòu)的公理化集合論，即人們常說(shuō)的ZFC系統(tǒng)，既能夠發(fā)揮素樸集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的作用，又能夠有效消除在素樸集合論中發(fā)現(xiàn)的多個(gè)悖論，不僅如此，在這個(gè)新系統(tǒng)中再未發(fā)現(xiàn)新的悖論。為此，人們有理由相信，這個(gè)系統(tǒng)是安全可靠的。

馮·諾意曼在為Z系統(tǒng)增加基礎(chǔ)公理的同時(shí)，也考慮到集合論的哲學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題。他認(rèn)為，素樸集合論造集具有任意性，即一個(gè)屬性就可以定義一個(gè)集合，并不在于它使用了太大的集合，而在于這些集合被任意地用作其他集合或自身的元素。因而，解決問(wèn)題的方法不應(yīng)該是限制集合的存在，而應(yīng)該是限制一個(gè)集合作為另一集合元素的資格。既然悖論的產(chǎn)生是由于過(guò)大的總體，即大全集引起的，只要不讓這類(lèi)總體再成為集合的元素，就可以避免悖論。他覺(jué)得，如果說(shuō)有的集合的元素，比如大全集，雖然存在但不能再作為另一個(gè)集合或它自身的元素，比宣布它不存在更符合人們的直覺(jué)。按照這種想法，馮·諾意曼建構(gòu)了不同于ZFC系統(tǒng)的另一個(gè)系統(tǒng)，經(jīng)貝爾納斯（P. Bernays）和哥德?tīng)枺↘.G?del）等人的完善，形成了與ZFC并行的NBG系統(tǒng)。

雖然NBG系統(tǒng)與ZFC系統(tǒng)的構(gòu)建與表述均不相同，但是后來(lái)證明，NBG是ZF的一個(gè)保守?cái)U(kuò)充，即NBG的定理不一定是ZF的定理，但ZF的定理都是NBG的定理，而且，人們還證明了如下相容性，即如果ZF是相容的，則NBG也是相容的。這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，這兩個(gè)系統(tǒng)是準(zhǔn)等價(jià)性的。與ZF一樣，NBG同樣可以有效地避免已知的集合論悖論，同時(shí)在這個(gè)系統(tǒng)中也未出現(xiàn)新的悖論。

從形式技術(shù)角度看，NBG的成功建構(gòu)為解除集合論悖論多提供了一種可行方法，但從哲學(xué)上卻給人們帶來(lái)了更大的困擾。這是因?yàn)?，康托爾悖論直接?lái)自素樸集合論中的兩個(gè)矛盾的論斷：（1）存在大全集，即存在以一切集合為自己的元素的集合。（2）任何集合都有冪集，即一切集合都可擴(kuò)充到一個(gè)以它為元素的更大的集合。同時(shí)認(rèn)同這兩個(gè)原則，必然會(huì)導(dǎo)致悖論，而要避免悖論，至少要放棄二者之一。ZF放棄了（1）而保留了（2），實(shí)質(zhì)是以限制集合產(chǎn)生的方式以得到消除悖論的目的。NBG則放棄了（2）而保留了（1）。馮·諾意曼認(rèn)為，策墨羅限定的條件很?chē)?yán)格，但有些條件似乎并不必要，而且還容易造成“誤傷”，即將有些有用的而且并沒(méi)有出現(xiàn)惡性循環(huán)的論證拋棄了。所以，他采取的措施不是不讓大全集產(chǎn)生，而是不讓這類(lèi)總體再成為元素，藉此避免悖論的生成。如果說(shuō)ZF與NBG就是兩個(gè)相互矛盾的系統(tǒng)也有問(wèn)題，因?yàn)榉謩e從矛盾的論斷出發(fā)，導(dǎo)致兩個(gè)矛盾的系統(tǒng)，不僅都是“合邏輯”的，而且ZF與NBG還是準(zhǔn)等價(jià)性的。［5］（P69-71）它們?cè)趯?duì)“前提”的放棄和保留上采取了相互矛盾的措施，卻得到了相同的結(jié)果。雖然歐氏幾何和非歐幾何也曾出現(xiàn)過(guò)類(lèi)似的情況，但非歐幾何后來(lái)得到了物理的解釋?zhuān)沟盟蜌W氏幾何各司其職，相得益彰。而ZF和NBG卻同屬基礎(chǔ)領(lǐng)域，面對(duì)的是同樣的對(duì)象，解決著同樣的問(wèn)題，這種取舍的任意性誰(shuí)更合理呢？

三、公理化方法能夠保障數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的可靠性嗎？

數(shù)學(xué)是演繹科學(xué)之典范，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的協(xié)調(diào)性、嚴(yán)密性和確定性是其作為典范的基本品質(zhì)，所以，早在19世紀(jì)末，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在對(duì)歐幾里得幾何公理體系作了深入考察之后就指出，一個(gè)嚴(yán)格而理想的公理化體系，需要滿(mǎn)足三個(gè)條件：第一，無(wú)矛盾性，即在公理化體系中其邏輯上要求首尾一致，不允許出現(xiàn)相互矛盾的命題。這是科學(xué)性的要求。第二，完備性，即所選擇的公理應(yīng)該是足夠的。從它們能夠推出有關(guān)本領(lǐng)域的全部定理、定律；若減少其中任何一條公理，有些定理、定律就會(huì)無(wú)法推導(dǎo)出來(lái)。這是體系完整性的要求。第三，獨(dú)立性，是指所有公理都是彼此獨(dú)立的，其中任何一個(gè)公理都不可能從其他公理中推導(dǎo)出來(lái)，這樣就可使公理的數(shù)目減少到最低限度。這是公理化體系簡(jiǎn)單性的要求。按照希爾伯特的標(biāo)準(zhǔn)，ZF與NBG作為各自獨(dú)立的公理系統(tǒng)都不存在問(wèn)題，那么，這兩個(gè)對(duì)矛盾論斷的不同選擇卻有相同解題功能的系統(tǒng)，僅僅是方法上的多樣性所致嗎？問(wèn)題恐怕不是這樣簡(jiǎn)單。按照哥德?tīng)柕恼f(shuō)法，在數(shù)學(xué)向

精密化目標(biāo)發(fā)展的過(guò)程中，形式化是實(shí)現(xiàn)其精密化的必然步驟，由于數(shù)學(xué)的高度形式化，人們已經(jīng)能夠使用少量機(jī)械規(guī)則即可證明任何定理。其中，最為人們稱(chēng)道的形式化系統(tǒng)是兩個(gè)，其一是《數(shù)學(xué)原理》，其二就是ZF系統(tǒng)，“這兩個(gè)系統(tǒng)是如此全面，以至于今天在數(shù)學(xué)中使用的所有證明方法都已在其中形式化，也就是說(shuō)，都可化歸為少數(shù)幾條公理和推導(dǎo)規(guī)則。”［7］（P596-597）就在人們?yōu)檫@些公理和推導(dǎo)規(guī)則所取得的巨大成就感到無(wú)比自豪，甚至以為，有了這樣的形式系統(tǒng)足以表達(dá)的任何數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，他卻發(fā)現(xiàn)了出乎人們意料的新問(wèn)題。

哥德?tīng)査^的《數(shù)學(xué)原理》和ZF系統(tǒng)等都包含了形式算術(shù)，若證明了形式算術(shù)不可完全，也就證明了這些系統(tǒng)的不可完全。哥德?tīng)査芯康男问剿阈g(shù)系統(tǒng)也就是人們平時(shí)所使用的算術(shù)或初等數(shù)論的形式化。它包括經(jīng)典的帶等詞的一階邏輯系統(tǒng)，加上如下算術(shù)公理，即“皮亞諾（G.Peano）公理”的初始公式：

（1）0是自然數(shù)。

（2）每個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)后繼數(shù)。

（3）不同的自然數(shù)的后繼數(shù)也不同。

（4）0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。

（5）數(shù)學(xué)歸納法，即如果0具有某屬性，并且若一個(gè)自然數(shù)具有該屬性則其后繼數(shù)就具有該屬性，那么，所有自然數(shù)都具有該屬性。

這些公理都能夠以一階邏輯的形式語(yǔ)言表達(dá)為形式系統(tǒng)的初始公式。只有同時(shí)采用這五個(gè)公理才能充分表達(dá)人們所使用的加、減、乘、除的算術(shù)，缺一不可。哥德?tīng)栐赑A（皮亞諾算術(shù)形式系統(tǒng)）中找到了這樣一個(gè)合式公式G，該公式和它的否定‘G在系統(tǒng)中都是不可證的，即二者均不可能作為PA的定理。而從語(yǔ)義學(xué)角度考慮，經(jīng)過(guò)解釋?zhuān)珿和‘G必有一真。真而不可證明，意味著有的算術(shù)真理并沒(méi)有為PA所包容，從而得證PA是不完全的。［5］（P92-93）

哥德?tīng)査l(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，用最簡(jiǎn)單的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是：一個(gè)相容的形式系統(tǒng)不可能證明它自身的相容性。［8］（P29-34）人們將哥德?tīng)柕陌l(fā)現(xiàn)命名為哥德?tīng)柖ɡ怼：髞?lái)，哥德?tīng)柖ɡ淼暮x被作了更為廣泛的表述，即一個(gè)形式系統(tǒng)，只要復(fù)雜到算術(shù)系統(tǒng)的程度，它是完備的，就是不相容的；反之，它是相容的，就是不完備的，而且，這樣的形式系統(tǒng)其相容性不可能在其內(nèi)部得到證明。

1985年，我國(guó)學(xué)者朱梧槚等人證明，任何一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，如果同時(shí)滿(mǎn)足下列五個(gè)條件，則此數(shù)學(xué)系統(tǒng)必包含邏輯悖論：［9］（P146-147）

（1）概括原則成立。

（2）分離規(guī)則成立，即有：p，p→q┝q。

（3）同一律成立，即有：p→p。

（4）對(duì)無(wú)窮多個(gè)集合可以構(gòu)造它們的并集。

（5）包含一個(gè)自然數(shù)系統(tǒng)N＝{0，1，2，3…n…}。

朱梧槚指出，這五個(gè)條件不可能同時(shí)存在。若同時(shí)使用必導(dǎo)致悖論，但問(wèn)題是，否定其中的哪一個(gè)定理都是困難的。它表明，無(wú)論人們是采用二值邏輯、有窮多值邏輯還是無(wú)窮多值邏輯，只要承認(rèn)分離規(guī)則和同一律，再保留概括原則和（4）（5）兩項(xiàng)基本條件，而這是任何一個(gè)內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)系統(tǒng)都必須包含的，那么，悖論就必然能夠從中建構(gòu)出來(lái)。既然哥德?tīng)柡椭煳鄻柕热搜芯康慕Y(jié)論適合于任何一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，我們便可推斷，公理化方法并不能保障數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的可靠性。

四、簡(jiǎn)要的哲學(xué)反思

眾所周知，數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)自然科學(xué)的工具，正是數(shù)學(xué)工具的發(fā)展才為近代科學(xué)深度揭示自然現(xiàn)象及其規(guī)律提供了可能，從一定程度上說(shuō)，正是數(shù)學(xué)的發(fā)展才為經(jīng)驗(yàn)自然科學(xué)的發(fā)展提供了可能，因而數(shù)學(xué)根基的確定性也在一定程度上保障了經(jīng)驗(yàn)自然科學(xué)基礎(chǔ)的確定性。當(dāng)羅素悖論出現(xiàn)時(shí)，希爾伯特就曾大為感慨：“數(shù)學(xué)中人人所學(xué)、所教、所應(yīng)用的那些定義和演繹方法，從來(lái)都被認(rèn)為是真理和確定性的典范，而現(xiàn)在卻導(dǎo)致了荒謬。如果連數(shù)學(xué)思維都是不可靠的話(huà)，我們將到何處去尋找真理和確定性呢？”［10］（P141）在一些人看來(lái)，公理化集合論已經(jīng)能夠排除以羅素悖論為代表的素樸集合論的一系列悖論，而且在它們之中又沒(méi)有發(fā)現(xiàn)新的悖論，這就充分說(shuō)明，公理化集合論完全可以承擔(dān)數(shù)學(xué)之基石的重任，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是確定的和可靠的。然而，哥德?tīng)柖ɡ淼耐茝V意義已經(jīng)說(shuō)明：“我們使用任何數(shù)學(xué)方法都不可能借助于安全的邏輯原理證實(shí)相容性，已提出的各種方法概莫能外?！保?1］（P269）如果哥德?tīng)柖ɡ硎强尚诺?，那么，我們就有理由懷疑，作為現(xiàn)代集合論理論基礎(chǔ)的NBG系統(tǒng)與ZFC

系統(tǒng)能否證明自身的相容性？長(zhǎng)期研究哥德?tīng)査枷氲娜A裔學(xué)者王浩也曾轉(zhuǎn)述過(guò)哥德?tīng)栴?lèi)似的質(zhì)疑：“我們沒(méi)有任何絕對(duì)確定的知識(shí)?！保?2］（P402）其實(shí)，很多學(xué)者都持有類(lèi)似的看法，比如波蘭尼就曾經(jīng)表達(dá)過(guò)這樣的觀點(diǎn)：我們無(wú)法避免為某個(gè)公理系統(tǒng)所肯定的，卻為另一個(gè)公理系統(tǒng)所否定的東西，不同系統(tǒng)之間的一致性無(wú)法得到保障，因?yàn)椤拜^廣泛的體系的一致性將總是不可判定的?！保?3］（P369）

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，第一個(gè)引發(fā)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論“危機(jī)”的希帕索斯悖論，其直接后果是數(shù)學(xué)家們承認(rèn)了一種不同于可公度量的無(wú)理量，它的間接后果是導(dǎo)致古希臘歐幾里得《幾何原本》和亞里士多德《工具論》的問(wèn)世，這兩大成果不僅對(duì)數(shù)學(xué)自身，而且對(duì)西方經(jīng)驗(yàn)自然科學(xué)的研究風(fēng)格都產(chǎn)生了重大影響。在數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展到現(xiàn)代階段的今天，我們是否應(yīng)該回過(guò)頭來(lái)反思這樣的問(wèn)題：以消除素樸集合論中的悖論為出發(fā)點(diǎn)而研制的公理系統(tǒng)，雖然力圖避免素樸集合論以“性質(zhì)”造集的直覺(jué)合理性的弊端，但公理化集合論的初始公式采用的任意性，是否仍然具有直覺(jué)合理性的成分？換句話(huà)說(shuō)，以數(shù)學(xué)家們“信以為真”的數(shù)學(xué)事實(shí)為依據(jù)而確定一組公理，以其為初始公式，憑借演繹邏輯規(guī)則而推導(dǎo)出所需的理論體系，這種公理化方法的可靠性真的是勿庸置疑的嗎？

［1］W.涅爾，M.涅爾.邏輯學(xué)的發(fā)展[M].張家龍，洪漢鼎譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1985.

［2］B.羅素.我的哲學(xué)的發(fā)展[M].溫錫增譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1982.

［3］M.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想：第4冊(cè)[M].北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981.

［4］Hao Wang.Rrom Mathematics to Philosophy[M].New York Humanities Press,1974.

［5］張建軍.邏輯悖論研究引論[M].南京：南京大學(xué)出版社，2002.

［6］張家龍.數(shù)理邏輯發(fā)展史：從萊布尼茲到哥德?tīng)朳M].北京：社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社，1993.

［7］K.G?del.On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related SystemsⅠ.Translated by J.van Heijenoot,in J.van Heijenoot,ed.,From Frege to G?del.Harvard University Press,1967.

［8］劉曉力.哥德?tīng)枌?duì)心——腦——計(jì)算機(jī)問(wèn)題的解[J].自然辯證法研究，1999（11）.

［9］朱梧槚，肖奚安.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概論[M].南京：南京大學(xué)出版社，1996.

［10］D.Hilbert.“On the Infinite”.Philosophy of Mathematics,Selected Readings.by P.Benacerraf and H.Putnam ed,.New Jersey:Prentice-Hall,Inc.1964.

［11］M.克萊因.數(shù)學(xué)：確定性的喪失[M].李宏魁譯.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1997.

［12］王浩.哥德?tīng)朳M].上海：上海譯文出版社，1997.

［13］M.波蘭尼.個(gè)人知識(shí)：邁向后批判哲學(xué)[M].許澤民譯.貴陽(yáng)：貴州人民出版社，2000.

Speculation on the Methodical Paradox of Axiomatic Set Theory

WANG Xi-sheng
（School of Politics and Law,Anhui Normal University,Wuhu 241003,China）

The axiomatic set theory solves the paradoxes of Cantor's naive set theory due to its generalization principle of presupposition.As no new paradox has been found within,the axiomatic set theory is regarded by the academic circle as a successful solution.However,though the nature of axiomatic is to reconstruct the set theory's deductive system which,due to its fidelity,yields to reliable knowledge,the two equivalent systems of axiomatic set theory is derived from contradictory premises.If conclusions of the both system were reliable,it would suggest that reliable knowledge may be deduced from unreliable axiomatic method,which is a questioning to the reliability of axiomatic method.

paradox;Russell's paradox;set theory;axiomatic;scientific methodology ?

O144

A

10．3969／j．issn．1674－8107．2014．01．009

1674－8107（2014）01－0052－06

（責(zé)任編輯：吳凡明）

2013－09-22

國(guó)家社科基金后期資助項(xiàng)目“泛悖論與科學(xué)理論創(chuàng)新機(jī)制研究”（項(xiàng)目編號(hào)：10FZX036）;安徽省學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人后備人選科研資助項(xiàng)目。

王習(xí)勝（1965-），男,安徽舒城人，教授，博士生導(dǎo)師，博士后,主要從事悖論、辯證法、意識(shí)形態(tài)和思想分析研究。