淺談《幾何畫板》在中學(xué)數(shù)學(xué)輔助教學(xué)中的作用

秦柳銀

一、前言

數(shù)學(xué)教育不僅要培養(yǎng)學(xué)生計算、推理等邏輯思維能力，還要培養(yǎng)學(xué)生的直覺判斷、形象思維、預(yù)感試驗、分析歸納、綜合構(gòu)建、假設(shè)檢驗等非常規(guī)形式的思維推理能力，只有這樣，學(xué)生的創(chuàng)造性素質(zhì)才能提高.計算機輔助教學(xué)為實現(xiàn)這一數(shù)學(xué)教育思想創(chuàng)造了條件.《幾何畫板》因其入門容易和操作簡單，具有強大的圖形、圖像功能和方便的動畫功能，成為數(shù)學(xué)教學(xué)輔助軟件中的佼佼者.

使用《幾何畫板》輔助教學(xué)，能使課堂形象生動，學(xué)生感知鮮明，印象深刻，可使抽象的理論具體化、形象化，能幫助學(xué)生更好地把握學(xué)科的內(nèi)在實質(zhì)，培養(yǎng)他們的觀察能力、問題解決能力，并發(fā)展他們的思維能力.那么，《幾何畫板》在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些具體作用？如何用《幾何畫板》優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)呢？下面筆者結(jié)合實例談?wù)剮c體會.

二、《幾何畫板》有利于創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境

新課標(biāo)突出了教育目的在于育人，教學(xué)不應(yīng)只是“授人以魚”，更應(yīng)是“授人以漁”.知識的學(xué)習(xí)并非是主體對客觀現(xiàn)實的、被動的、鏡面式的反映，而是一個主動的建構(gòu)過程。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生走自主學(xué)習(xí)和探求知識之路.如何引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)過程，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)意向，引起認(rèn)知需要，這就需要我們創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境.利用《幾何畫板》，我們可以把數(shù)學(xué)概念的形成過程充分地展現(xiàn)出來，還可以把“形”和“數(shù)”的潛在關(guān)系及其動態(tài)變化顯示出來，便于學(xué)生觀察和思考，使學(xué)生對知識形成主動建構(gòu)，而非被動吸收.

圖1例如，在教學(xué)“三角形的中位線”時，可用《幾何畫板》作△ABC，分別取AB、AC的中點D、E，聯(lián)結(jié)DE（如圖1）.接著測算出DE、BC，∠ADE、∠AED、∠ABC、∠ACB等，甚至把AB、AC也測量出來（干擾觀察）.這些數(shù)據(jù)都動態(tài)地展現(xiàn)在屏幕上.然后讓學(xué)生觀察：你發(fā)現(xiàn)了什么？對于學(xué)生的任何發(fā)現(xiàn)，只要利用《幾何畫板》，拖動點A（或B或C），即可驗證其結(jié)論正確與否.這為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的觀察、想象、歸納等能力創(chuàng)設(shè)了極好的情境，增強了教學(xué)的主動性和學(xué)生的參與性.

圖2又如，在教學(xué)冪函數(shù)y=ax時，傳統(tǒng)教學(xué)一般是對a取有限幾個值作圖觀察后，就對其性質(zhì)加以歸納概括.因為有限的幾個圖像無法讓學(xué)生對冪函數(shù)形成整體的認(rèn)識，學(xué)生對冪函數(shù)的性質(zhì)并不能很好的掌握.借助《幾何畫板》，我們可以畫出更多的冪函數(shù)圖像，讓學(xué)生進(jìn)行對比觀察，還可以對a連續(xù)取值，使圖像動態(tài)變化（如圖2）.有了更多的圖像情境幫助思考，學(xué)生很容易觀察到a值的改變對圖像的影響.在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生對性質(zhì)加以歸納，學(xué)生就能更好地掌握冪函數(shù)的本質(zhì).

三、《幾何畫板》有利于研究函數(shù)性質(zhì)

數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”這句話不但深刻地揭示了數(shù)學(xué)中數(shù)與形之間的依存關(guān)系，還體現(xiàn)了辯證唯物主義的思想.把數(shù)形結(jié)合思想貫徹于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的始終，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一.用《幾何畫板》能方便地作出各種函數(shù)圖像，使抽象的數(shù)學(xué)知識形象、直觀，因而它在研究函數(shù)性質(zhì)方面有很大的優(yōu)勢.

如，研究y=x2到y(tǒng)=（x+a）2+b的平移變換，如果簡單地告訴學(xué)生平移的規(guī)律，收效甚微.利用《幾何畫板》作出圖3，只要點擊按鈕，改變a或b的值，就可使y=（x+a）2+b的圖像左右或上下平移.學(xué)生通過反復(fù)觀察圖像移動與a、b的數(shù)量關(guān)系，就不難明白，當(dāng)函數(shù)式中的a<0時，圖像右移，當(dāng)a>0時，圖像左移；當(dāng)b>0時，圖像上移，當(dāng)b<0時，圖像下移.形象地顯現(xiàn)圖像的移動與參數(shù)a、b的關(guān)系，從而得出平移的規(guī)律.

圖3

圖4研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在指定區(qū)間上的值域時，學(xué)生常犯的一個錯誤是將區(qū)間端點代入得函數(shù)值，比較大小后得到最值.這時，可以用《幾何畫板》來解釋錯誤的原因，作圖4，通過拖動點m、n，二次函數(shù)值域即相應(yīng)改變（用圖中陰影部分表示），很容易說明最值不一定在端點處取得，需結(jié)合圖像進(jìn)行觀察.

四、《幾何畫板》有利于研究立幾問題

在運動中保持不變的幾何關(guān)系是《幾何畫板》的精髓.畫板中的幾何圖形無論如何變化，圖形內(nèi)部的幾何關(guān)系都不變，這恰恰是幾何學(xué)的實質(zhì)，即在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的幾何規(guī)律.

例如，三垂線定理的學(xué)習(xí)，用《幾何畫板》制作課件，把圖形運動引入到教學(xué)中，用動態(tài)的眼光來研究定理的形成、發(fā)展、應(yīng)用和延拓等階段，從而摒棄靜態(tài)圖形的形狀、大小、位置對學(xué)生認(rèn)知的干擾，獲得對定理深刻、全面的理解.在課件演示中，可以主要體現(xiàn)三種動態(tài)變化：一是改變斜線與平面所成角及斜線的位置，可讓斜線繞斜足旋轉(zhuǎn)或平移；二是平移平面上的直線，可以是經(jīng)過斜足或垂足或它們之間或兩邊；三是平移或翻轉(zhuǎn)平面.讓學(xué)生接觸和認(rèn)識變化后的圖形，從圖形變化中觀察定理是否仍然成立，從而揭示定理的本質(zhì)：三垂線定理與直線在平面內(nèi)的位置、平面的位置、斜線的位置無關(guān)，只與斜線、斜線在平面上的射影和平面內(nèi)的直線的相互位置關(guān)系有關(guān).通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生對于三垂線定理能有較好的掌握，并能在各種不同的情境中加以運用.

五、《幾何畫板》有利于研究軌跡方程

探索動點的運動規(guī)律是解析幾何教學(xué)的重點、難點.傳統(tǒng)的“粉筆+黑板”的教學(xué)手段，由于難以進(jìn)行“動態(tài)”處理，“動點”只能用黑板上一個靜態(tài)的“定點”來加以表示，導(dǎo)致學(xué)生難以形成良好的運動觀.加之在多數(shù)情況下只有求出軌跡方程后，才知道軌跡的真正形狀，學(xué)習(xí)過程顯得抽象且乏味.《幾何畫板》中的動畫、追蹤、軌跡等功能，恰好填補了傳統(tǒng)教學(xué)在這一方面的空白，為軌跡方程的教學(xué)提供了良好的輔助.

圖5例如，在學(xué)習(xí)相關(guān)點法求軌跡方程的時候，有題目如下：點A是圓O：x2+y2=16上的動點，過A作x軸的垂線，垂足為M，取AM中點B，求點B的軌跡方程.學(xué)生對于相關(guān)點法的解題思路難以掌握，對于點A、B為何“相關(guān)”也不易理解.借助《幾何畫板》的動態(tài)演示功能，作圖（圖5），拖動點A，帶動點B運動，學(xué)生可以體會到點A、B的“相關(guān)性”.通過度量A、B的坐標(biāo)，學(xué)生可以觀察到點A、B的橫坐標(biāo)一致，而A的縱坐標(biāo)是B的2倍，找到了A、B坐標(biāo)的關(guān)系，為實現(xiàn)A、B坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化奠定了基礎(chǔ)，再引導(dǎo)學(xué)生思考如何把點A所受的限制轉(zhuǎn)化為點B的限制條件，學(xué)生就可以順利地把題目解決.還可以追蹤點B的軌跡，驗證所求軌跡方程的準(zhǔn)確性.

六、《幾何畫板》有利于突破教學(xué)難點

人的認(rèn)識是從具體到抽象，從感性到理性的過程，很多抽象的數(shù)學(xué)概念，因為缺少感性認(rèn)識的基礎(chǔ)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來很困難.借助《幾何畫板》的作圖功能和動態(tài)演示功能，可以講明白一些用傳統(tǒng)方法不易講解的內(nèi)容，利于突破難點，從而提高教學(xué)效果.

圖6例如，在求函數(shù)值域的變式教學(xué)中，對于f（x）=x+11x（x>0）的值域，學(xué)生明白可以用基本不等式求解：y=x+11x≥2x·11x=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1的時等號成立，值域為[2，+∞）.若將條件變?yōu)椤皒≥2”，基本不等式失去了相等的條件，有學(xué)生認(rèn)為既然無法相等，所以函數(shù)無最小值，值域應(yīng)為（2，+∞）.這樣理解顯然是錯的，但用傳統(tǒng)方法較難解釋，若借助《幾何畫板》作出y=x+11x的圖像（如圖6），可以清楚地看出函數(shù)在[2，+∞）上為增函數(shù)，最小值應(yīng)為f（2）=512，從而使學(xué)生清楚地認(rèn)識到此時不能用基本不等式法求值域，可通過單調(diào)性來求解.

又如，直線的傾斜角與直線斜率的關(guān)系，僅通過關(guān)系式k=tanθ來認(rèn)識并不夠.如圖7，用《幾何畫板》可以在同一個坐標(biāo)系中動態(tài)地顯示當(dāng)θ值變化時，k值的變化情況，把函數(shù)k=tanθ的圖像也顯示在屏幕上，這對于學(xué)生理解直線的斜率、傾斜角的內(nèi)在聯(lián)系，增強教學(xué)效果是顯而易見的.

圖7七、結(jié)論

《幾何畫板》功能強大，使用起來卻非常簡單.它能創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；它的數(shù)形結(jié)合功能，化抽象為形象，能幫助我們解決教學(xué)中的重點、難點；它在動態(tài)變化中保持不變的幾何性質(zhì)，能揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系，便于把握問題的本質(zhì).它為數(shù)學(xué)課堂帶來了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式的深刻變革，大大地提高了課堂教學(xué)效率，給數(shù)學(xué)課堂帶來了勃勃生機.

（責(zé)任編輯黃桂堅）