淺談類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

陳仁鐘

隨著教育教學(xué)研究的進一步深入，傳統(tǒng)的教學(xué)法已不能適應(yīng)現(xiàn)在教學(xué)的要求.如何提高課堂教學(xué)效率成為我們教育工作者面臨的主要研究課題.我們教師特別是高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)絞盡腦汁去研究如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量，向45分鐘的教學(xué)要效益，使學(xué)生在有限時間內(nèi)，掌握更多的知識和技能，充分體現(xiàn)教與學(xué)的高度統(tǒng)一.數(shù)學(xué)教學(xué)方法很多，關(guān)鍵在于能不能適應(yīng)學(xué)生.比如，在理科和文科的教學(xué)中方法不一定相同，特別在理科的教學(xué)中，教學(xué)生一種學(xué)習(xí)方法比教會學(xué)生解一百道題目效果更好.因為學(xué)生要學(xué)的科目多，時間非常有限，因此選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法至關(guān)重要.本人經(jīng)過高中多年的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在高中學(xué)生，各方面素質(zhì)雖然提高了，但對于高考的學(xué)科來說，學(xué)生還是不那么得心應(yīng)手.怎么解決這些問題？只有在課堂上下工夫.本人從教學(xué)中慢慢領(lǐng)悟到，有一些方法較為適應(yīng)現(xiàn)在的教學(xué)，比如類比法.因為數(shù)學(xué)科是應(yīng)用學(xué)科，數(shù)學(xué)知識本身不僅存在著前后聯(lián)系，相互滲透的關(guān)系，與其他學(xué)科也存在千絲萬縷的聯(lián)系.因此，運用類比法，把知識進行類比，引進新概念、新定理、新的解題方法，不僅會使學(xué)生更易掌握新知識，還可以培養(yǎng)學(xué)生運算能力、邏輯思維能力和空間想象力.以下談?wù)勵惐确ㄔ诮虒W(xué)中的作用.

一、運用類比法可以自然引入新概念

對數(shù)學(xué)概念的理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生能力的先決條件.課本中的概念有的非常簡單，也很抽象，這給課堂教學(xué)、學(xué)生的理解帶來諸多困難.用類比法引入概念，可使學(xué)生更容易理解新概念的內(nèi)涵與外延.數(shù)學(xué)中許多概念有類似的地方，在新概念提出的過程中，運用類比法教學(xué)能使學(xué)生更易理解和掌握.比如講解“概率的基本性質(zhì)”時，說到事件的關(guān)系與運算，就可以類比集合的關(guān)系和運算，恰當(dāng)引入“交事件”“并事件”等有關(guān)概念.這樣，學(xué)生對知識理解就不會感那么困難了.再如，對球的概念的教學(xué)可與圓的概念進行比較.“在平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合是圓，定點是圓心，定長是半徑”；“在空間中與定點的距離等于定長的集合叫球，定點是球心，定長是半徑”.這樣我們在講授“球”這一概念時，可讓學(xué)生復(fù)習(xí)“圓”的概念，然后設(shè)問：如果我們把概念中的“平面”換成“空間”，會得到什么結(jié)果？讓學(xué)生進行想象、討論，這樣既能充分調(diào)動學(xué)生的積極性，也能使學(xué)生更好地理解與記憶，達到事半功倍的效果.

二、運用類比法有利于例題教學(xué)的講解

數(shù)學(xué)課范例的講解是不可缺少的，科學(xué)地進行解題教學(xué)，可以為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的機會.類比不僅是一種從特殊到特殊的對比，也是一種解題的有效方法.選擇一個類似的、較易的問題去解決它，這對數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的能力有著極其重要的作用.比如，在講解“一元二次不等式”時，由于學(xué)生剛剛接觸不等式，對不等式本來就不是很熟悉，對不等式的解法也感到陌生.如果照本宣科，學(xué)生可能會感到有些模糊，甚至無法弄清到底怎樣著手.為了讓學(xué)生從根本上弄清一元二次不等式的解法，能明白其中的算理，真正掌握學(xué)習(xí)的方法，講授內(nèi)容時，我們可以先讓學(xué)生熟悉一元二次方程的解法和一元二次函數(shù)圖像，具體如下.例：解不等式x2-2x-3<0，可先讓學(xué)生解方程x2-2x-3=0，得x1=3，x2=-1，再結(jié)合y=x2-2x-3圖像，可知y=x2-2x-3在坐標系中與x軸有兩個交點，即（-1，0）（3，0），結(jié)合圖像易得圖像下方，即x2-2x-3<0，x的范圍是：-1

三、運用類比法有利于提高學(xué)生的思維能力

學(xué)生要想提高思維能力，一定要有相當(dāng)?shù)幕A(chǔ)知識作為保證，因為知識量越大，則聯(lián)系、類比、想象的領(lǐng)域也就越寬廣，從而產(chǎn)生新思想、新方法的機會也就越多.很難想象，知識狹窄的人能有多大的思維能力.學(xué)數(shù)學(xué)，解數(shù)學(xué)題目也是如此.因為數(shù)學(xué)題目之間有些結(jié)構(gòu)極其相似，而將待證的條件和結(jié)論類比已知學(xué)過的公式，進行適當(dāng)?shù)拇鷵Q，從而使問題迎刃而解.比如：已知a2+b2=1，c2+d2=1，求證|c+bd|≤1.解這道題目時，如果我們知道同角三角基本公式中的平方關(guān)系式“sin2α+cos2α=1”與其相似，那么很快就會聯(lián)想，若令a=sinα，b=cosα，c=cosβ，然后進行代換，很快就會證出.數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與學(xué)習(xí)其他科學(xué)知識一樣，首先需要熟練地掌握一些基本知識、基本技能，這樣知識與知識之間才能相互聯(lián)系，形成脈絡(luò)，把新知識納入原有知識的結(jié)構(gòu)中，加強了知識間的縱向溝通.而類比法則成為聯(lián)系新舊知識的紐帶.

四、類比法可以有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力

一個人要想有所發(fā)明、創(chuàng)造，就離不開知識的提升.許多中學(xué)生，對教師的依賴性很強，教師教什么，他就學(xué)什么，缺乏自己獨到的見解。原本的問題稍為改變一些或條件換了一下，學(xué)生就感到束手無策，更談不上發(fā)明創(chuàng)造了.教學(xué)中，如果能恰當(dāng)?shù)厥褂妙惐确?，不僅能突出問題的本質(zhì)，提高教學(xué)質(zhì)量，而且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力.

1.新舊知識可以類比

這種類比，教材中出現(xiàn)比較多，在講授知識的同時，經(jīng)常聯(lián)系舊知識，創(chuàng)造條件進行類比，拓展學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生進行類比推理的習(xí)慣.比如，在數(shù)列這一章節(jié)中，等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個重要的概型.它們的定義、通項公式、前n項和公式的性質(zhì)都是平行的，等比數(shù)列又安排在等差數(shù)列之后，為了既能弄清兩種數(shù)列模型之間的區(qū)別與聯(lián)系，又能準確、靈活地運用數(shù)學(xué)知識解決問題，在教學(xué)中可以類比等差數(shù)列的相關(guān)知識，創(chuàng)造條件引導(dǎo)學(xué)生提出研究等比數(shù)列的相關(guān)問題.又如，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，這兩種函數(shù)在概念、性質(zhì)方面也是平行的，也可以進行類比教學(xué)，這樣有利于弄清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.通過知識與知識之間的類比，既有利于學(xué)生對知識的理解，又會使知識之間融會貫通，提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，有利于學(xué)生創(chuàng)造能力的發(fā)展.

2.“同類問題”可以進行類比

所謂“同類問題”指的是有相同條件、相同結(jié)論、相同問題形式、相同數(shù)學(xué)方法的一類問題.同類問題的類比可以使學(xué)生從感性認識出發(fā)，認清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，形成積極探索問題的心理狀態(tài)，進而去探索一般結(jié)論，達到尋根探源的目的.例如，在△ABC中，若AB⊥AC，AB=a，AC=b，則△ABC的外接圓半徑r=a2+b212.將此結(jié)論類比到空間幾何圖形，可以得出這樣結(jié)論：在四面體S—ABC中，若SA、SB、SC兩兩互相垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，則四面體S—ABC的外接球半徑R=a2+b2+c212.又如，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，經(jīng)常會遇到這樣的填充題：“若兩個正實數(shù)a1、a2滿足a21+a22=1，那么a1+a2≤2，證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2（a1+a2）x+1，因為對一切實數(shù)x恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，從而得4（a1+a2）2-8≤0，所以a1+a2≤2.根據(jù)上述證明方法，若有n個正實數(shù)a1，a2，…，an滿足a21+a22+…+a2n=1，你能得到的結(jié)論是.”對于這種問題，我們只要類比它們的證明過程，找出問題的本質(zhì)，不難得到結(jié)論：a1+a2+…+an≤n.諸如此類，可以真正提高學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生解題的創(chuàng)造力.

3.運用類比有利于運用數(shù)形結(jié)合方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有一定的速度將是無效學(xué)習(xí).慢慢騰騰的學(xué)習(xí)是訓(xùn)練不出思維速度的，特別在考試中，解題速度至關(guān)重要.這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中一定要掌握恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，否則將功虧一簣.比如，求y=sinx-31cosx-2的最值，可以聯(lián)想在直線方程的教學(xué)中有這樣的斜率公式k=y2-y11x2-x1，這時就可以把式子y=sinx-31cosx-2看做是動點P（cosx，sinx）與點（2，3）之間的斜率變化范圍，即圓x2+y2=1上的點到定點（2，3）的直線斜率變化范圍，問題就易得到解決.再如，對任意實數(shù)x1，y1，x2，y2，證明x21+y21+x22+y22≥（x1-x2）2-（y1-y2）2.本題純粹是代數(shù)問題，若用代數(shù)方法解之相當(dāng)繁雜，這時聯(lián)想到平面上兩點間的距離公式，把上式中的式子x21+y21，x22+y22看做是點P1（x1，y1），P2（x2，y2）到原點的距離，那么在△P1OP2中，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”，問題就輕而易舉地解決了.像這樣運用數(shù)形結(jié)合可以有效提高解題速度.數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通俗地說就是代數(shù)與幾何相結(jié)合的思想，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，我們在教學(xué)中要適時運用，適當(dāng)滲透.

總之，在我們教學(xué)和生活中處處充滿著類比，可以說，類比是探索問題、解決問題的一種卓有成效的方法，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的一種手段.我們教師在教學(xué)過程中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生運用類比思想進行合理的推理、演算、引申，為國家、社會培養(yǎng)出更多合格的、有創(chuàng)造力的人才.

（責(zé)任編輯黃桂堅）