關(guān)于恒成立問(wèn)題的求解策略

謝曉強(qiáng)

2013年的高考已然結(jié)束，但余熱尚存，它留給我們的不僅僅是過(guò)去，更是給我們2014年的高考提供了復(fù)習(xí)的方向和思考的空間.回顧2013年的高考，在眾多省市的考卷當(dāng)中，我們依然可以發(fā)現(xiàn)與“f（x）>g（x）”這類題目相關(guān)的存在性和恒成立問(wèn)題，這類題目在考查的知識(shí)點(diǎn)上都圍繞著函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問(wèn)題展開(kāi)，結(jié)合眾多數(shù)學(xué)思想方法，在考查內(nèi)容方面向縱向深入，而在知識(shí)的結(jié)構(gòu)方面向橫向擴(kuò)展，綜合考查了學(xué)生解決和分析問(wèn)題的能力.這類題目由于在題面上包含了諸如lnx，sinx，cosx……混合形式以及字母參數(shù)，難度陡增，思維量增大.那么如何迅速尋找這類問(wèn)題的突破口，從而給學(xué)生提供行之有效的解決辦法是我們復(fù)習(xí)備考的主要內(nèi)容之一.

一、掌握通法

所謂通法是指學(xué)生容易想到的，使用頻率較高的，應(yīng)用范圍較廣的一類典型方法.這類方法由于入口容易，過(guò)程便于操作而為學(xué)生首選.大體上有兩種：一種是將f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為h（x）=f（x）-g（x），即求h（x）min>0；而另一種是大家熟悉的“參變量分離”.

【例1】（2013全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ，理，21）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明：f（x）>0.

解析：（1）略.

（2）（利用參變量分離）

∵f（x）=ex-ln（x+m）>0，

∴m

令h（x）=eex-x（x>-m），

∵h(yuǎn)′（x）=eex·ex-1.

若h′（x）=0，解得ex0=-x0.

如圖所示.

①當(dāng)x0≤-m時(shí)，

∴h′（x）≥0，

∴h（x）在（x0，+∞）單調(diào)遞增，

h（x）>h（-m）=ee-m+m≥eex0+x0=e-x0+ex0≥2（“=”不能同時(shí)取到）.

②當(dāng)x0>-m時(shí)，h（x）在（-m，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，

∴h（x）≥h（x0）=eex0-x0=e-x0+ex0≥2（“=”不能同時(shí)取到）.

綜上所述，m≤2.

二、熟記結(jié)論

在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的這一部分內(nèi)容當(dāng)中，有許多被我們熟悉的而且是比較重要的“基本不等式”，這些不等式不僅結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)潔，兼有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，而且含有高等數(shù)學(xué)的知識(shí)背景.有些考題正是對(duì)這些“高等知識(shí)”進(jìn)行了巧妙地包裝和改造，這些含有高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景的不等關(guān)系，若能對(duì)它們進(jìn)行合理地運(yùn)用，將會(huì)在解題的道路上為我們提供有力的支撐.

【例2】（同例1）

解析：由于ex≥x+1，

且由x-1≥lnx可得x+1≥ln（x+2），

∴ex≥x+1≥ln（x+2）（“=”不能同時(shí)取到）.

∴當(dāng)m≤2時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2）

由此可以看出該解題過(guò)程的高效和簡(jiǎn)潔，常見(jiàn)的重要不等式及其轉(zhuǎn)化如下：

在上述關(guān)系中，如果對(duì)x賦予不同的值或代數(shù)式，便會(huì)得到其他有用的不等關(guān)系：如令x=11n，則會(huì)得到ln（1+11n）≤11n及e≥（1+11n）n等.這種代換的技巧在解數(shù)列不等式中發(fā)揮著重要的作用.

另外，在2013年的遼寧卷壓軸題所給出的參考解答中還用到了諸如“1-112x2≤cosx≤1-114x2，x∈（0，1）”這樣的不等式.那么我們是否應(yīng)該在復(fù)習(xí)的過(guò)程中有意識(shí)地去歸納和整理這些“基本不等式”呢？

三.合理分拆

整體和局部是同一事物的兩個(gè)方面.有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果單純從整體的角度去處理難以解決時(shí)，就必須先研究問(wèn)題的某一部分，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行局部的處理.而局部的調(diào)整正是局部處理的一個(gè)方面，它能夠重新調(diào)整原來(lái)的題面結(jié)構(gòu)，使得這種結(jié)構(gòu)更加清楚和有序，從而使得解題思路豁然開(kāi)朗.因此，在上述方法難以奏效的情況下，有必要對(duì)原來(lái)的式子進(jìn)行合理分拆和重新組合.

【例3】已知f（x）=1+x1a（1-x）lnx，求證：對(duì)x∈（0，1），恒有f（x）<-2.

解析：將f（x）<-2轉(zhuǎn)化為-2a>1+x11-xlnx或11a>2（x-1）1（x+1）lnx，求右側(cè)的最值較難，因此可考慮將原式轉(zhuǎn)化為lnx+2a（1-x）11+x<0.

∵x∈（0，1），

∴當(dāng)a<0時(shí)不合題意，舍去.

當(dāng)a>0時(shí)，

令g（x）=lnx+2a（1-x）11+x，

則g′（x）=x2+（2-4a）x+11x（1+x）2.

令g′（x）=0.

當(dāng)Δ≤0時(shí)，0

g（x）在（0，1）遞增，

∴g（x）>g（1）=0.

當(dāng)Δ>0，即a>1時(shí)，

∵兩根x1，x2滿足x1x2=1，故y=g（x）在（0，x1）遞增，（x1，1）遞減.

∴x∈（x1，1），g（x）>g（1）=0，矛盾，舍去.

合理分拆有別于通法h（x）=f（x）-g（x）>0，它是在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行改造和加工，將原來(lái)混亂的形式結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)配，從而使知識(shí)的運(yùn)用更加合理簡(jiǎn)便.特別是在含有指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角等式子的函數(shù)當(dāng)中，將它們分離出來(lái)是不錯(cuò)的選擇和突破.

四、巧用放縮

放縮是一種解題的技巧，更是一種解題的能力.通過(guò)放縮它可以跳過(guò)紛繁復(fù)雜的運(yùn)算，回避一些由于字母帶來(lái)的過(guò)多討論，舍棄一些常規(guī)套路的構(gòu)造思想，在解題中是一種大膽的創(chuàng)新.借助于放縮達(dá)到合理的轉(zhuǎn)換，能夠?qū)㈩}面所掩蓋的信息更直接地表現(xiàn)出來(lái)，同時(shí)也更能深入地暴露題目的本質(zhì).

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）a=1，k∈Z且當(dāng)x>0時(shí)，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）當(dāng)a=1時(shí)，原式化簡(jiǎn)為（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同時(shí)取到）.

若k≥3，則（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又當(dāng)x=1時(shí)，右式=4-2e<0，與x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

該題在文獻(xiàn)[3]的參考解答中給出的評(píng)價(jià)是：“本題考查了邏輯推理能力和運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化意識(shí)，難度很大”.但從上述分析過(guò)程中我們看到，通過(guò)放縮來(lái)確定k的大致范圍，再通過(guò)反例驗(yàn)證確定k的取值，可以大大縮短解題步驟.當(dāng)然放縮手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通過(guò)式子的添項(xiàng)和舍項(xiàng)等來(lái)進(jìn)行，還可以通過(guò)取特殊值來(lái)縮小參數(shù)字母的范圍等，需要注意的是放縮要合理恰當(dāng).

以上我們談了四個(gè)方面的解題策略，當(dāng)然策略也不僅僅是上述幾個(gè)，諸如還有極端化思考：將原題轉(zhuǎn)化為f（x）min>g（x）max，分別求兩個(gè)函數(shù)的最值等.這在處理有些題目中也是可行的.策略只是一種解題的方向且不是孤立的.它需要我們?cè)诮忸}過(guò)程中不斷調(diào)整自己的思維，優(yōu)化自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升自己的解題能力.波利亞說(shuō)過(guò)，一個(gè)好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒(méi)有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.

參考文獻(xiàn)

[1]吳成強(qiáng).例談一種分離函數(shù)技巧的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全國(guó)及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全國(guó)及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2012.

[4]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

（責(zé)任編輯金鈴）

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）a=1，k∈Z且當(dāng)x>0時(shí)，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）當(dāng)a=1時(shí)，原式化簡(jiǎn)為（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同時(shí)取到）.

若k≥3，則（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又當(dāng)x=1時(shí)，右式=4-2e<0，與x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

該題在文獻(xiàn)[3]的參考解答中給出的評(píng)價(jià)是：“本題考查了邏輯推理能力和運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化意識(shí)，難度很大”.但從上述分析過(guò)程中我們看到，通過(guò)放縮來(lái)確定k的大致范圍，再通過(guò)反例驗(yàn)證確定k的取值，可以大大縮短解題步驟.當(dāng)然放縮手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通過(guò)式子的添項(xiàng)和舍項(xiàng)等來(lái)進(jìn)行，還可以通過(guò)取特殊值來(lái)縮小參數(shù)字母的范圍等，需要注意的是放縮要合理恰當(dāng).

以上我們談了四個(gè)方面的解題策略，當(dāng)然策略也不僅僅是上述幾個(gè)，諸如還有極端化思考：將原題轉(zhuǎn)化為f（x）min>g（x）max，分別求兩個(gè)函數(shù)的最值等.這在處理有些題目中也是可行的.策略只是一種解題的方向且不是孤立的.它需要我們?cè)诮忸}過(guò)程中不斷調(diào)整自己的思維，優(yōu)化自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升自己的解題能力.波利亞說(shuō)過(guò)，一個(gè)好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒(méi)有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.

參考文獻(xiàn)

[1]吳成強(qiáng).例談一種分離函數(shù)技巧的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全國(guó)及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全國(guó)及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2012.

[4]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

（責(zé)任編輯金鈴）

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）a=1，k∈Z且當(dāng)x>0時(shí)，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）當(dāng)a=1時(shí)，原式化簡(jiǎn)為（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同時(shí)取到）.

若k≥3，則（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又當(dāng)x=1時(shí)，右式=4-2e<0，與x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

該題在文獻(xiàn)[3]的參考解答中給出的評(píng)價(jià)是：“本題考查了邏輯推理能力和運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化意識(shí)，難度很大”.但從上述分析過(guò)程中我們看到，通過(guò)放縮來(lái)確定k的大致范圍，再通過(guò)反例驗(yàn)證確定k的取值，可以大大縮短解題步驟.當(dāng)然放縮手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通過(guò)式子的添項(xiàng)和舍項(xiàng)等來(lái)進(jìn)行，還可以通過(guò)取特殊值來(lái)縮小參數(shù)字母的范圍等，需要注意的是放縮要合理恰當(dāng).

以上我們談了四個(gè)方面的解題策略，當(dāng)然策略也不僅僅是上述幾個(gè)，諸如還有極端化思考：將原題轉(zhuǎn)化為f（x）min>g（x）max，分別求兩個(gè)函數(shù)的最值等.這在處理有些題目中也是可行的.策略只是一種解題的方向且不是孤立的.它需要我們?cè)诮忸}過(guò)程中不斷調(diào)整自己的思維，優(yōu)化自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升自己的解題能力.波利亞說(shuō)過(guò)，一個(gè)好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒(méi)有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.

參考文獻(xiàn)

[1]吳成強(qiáng).例談一種分離函數(shù)技巧的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全國(guó)及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全國(guó)及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2012.

[4]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

（責(zé)任編輯金鈴）