中國數(shù)學(xué)史中的正負(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則

邊孟穎　鄭茹　傅海倫

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、培訓(xùn)以及研修學(xué)習(xí)中，不少教師都提到中國數(shù)學(xué)史的正負(fù)數(shù)的問題，筆者對(duì)此很有興趣，也感到此內(nèi)容十分重要，但有關(guān)這方面的介紹也不盡相同，這給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)與研究帶有一定的不便。因此，本文在查閱相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出一些數(shù)學(xué)史料，使大家對(duì)此有一個(gè)更清楚、更準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，也提出一點(diǎn)自己的認(rèn)識(shí)和理解，希望與同行作更進(jìn)一步的交流，也權(quán)當(dāng)對(duì)數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)與應(yīng)用的一點(diǎn)體會(huì)。

1關(guān)于中國數(shù)學(xué)史中的正負(fù)數(shù)

中國是世界上最早引入負(fù)數(shù)并給出正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則的國家?？墒蔷烤箲?yīng)當(dāng)怎樣認(rèn)識(shí)正負(fù)數(shù)，卻需要搞清楚。實(shí)事上，在我國最早的數(shù)學(xué)經(jīng)典——《九章算術(shù)》中“方程”章已用到正負(fù)術(shù)。《九章算術(shù)》確定了中國古代數(shù)學(xué)的框架、內(nèi)容、形式、風(fēng)格和思想方法的特點(diǎn)。全書共分九章，有90余條抽象性算法、公式，246道例題及其解法，基本上采取算法統(tǒng)率應(yīng)用問題的形式[1]，包括豐富的算術(shù)、代數(shù)和幾何內(nèi)容?！毒耪滤阈g(shù)》是以計(jì)算為中心以解決實(shí)際問題為目的的算法體系，在結(jié)構(gòu)上總體可分為：“問”、“答”、“術(shù)”。如果幾個(gè)相連的題的解法完全相同，就把“術(shù)”放在這一類題目的最后一題解答之后，作為一般性的算法。因此，《九章算術(shù)》并不是所謂的“問題集”，而是注重計(jì)算的方法和過程，以“術(shù)”文統(tǒng)率應(yīng)用問題的算法體系。這一點(diǎn)非常重要，是理解包括正負(fù)術(shù)在內(nèi)的我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)構(gòu)造性與機(jī)械化思想特點(diǎn)的基礎(chǔ)和前提。

中國數(shù)學(xué)家在方程章里提出了正、負(fù)數(shù)的不同表示法和正負(fù)數(shù)的加減法則，這在中國數(shù)學(xué)史上是一個(gè)無比的偉大成就。[2]在解“方程”進(jìn)行消元過程中，要進(jìn)行兩行間的對(duì)減相消，不可避免地會(huì)出現(xiàn)“以少減多”（注意不是“以多減少”）不夠減的情形，要保證這種機(jī)械化的算法暢通無阻，就必須引進(jìn)負(fù)數(shù)和建立正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，然后根據(jù)法則計(jì)算出結(jié)果。

“方程”章第1問[3]：

今有上禾三秉、中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉、中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉、中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？

“方程術(shù)”，可以分為10個(gè)程序步驟：

①置上禾三秉、中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗于右方。中、左禾列如右方。

②以右行上禾遍乘中行而以直除。

③又乘其次，亦以直除。

④然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。

⑤左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)。實(shí)即下禾之實(shí)。

⑥求中禾，以法乘中行下實(shí)。而除下禾之實(shí)。

⑦余，如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)。

⑧求上禾，亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)。

⑨余，如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實(shí)。

⑩實(shí)皆如法，各得一斗。

程序（1）即按分離系數(shù)法將前后三次試驗(yàn)所得的十二個(gè)數(shù)據(jù)布列成右、中、左三行排列成現(xiàn)代矩陣形式如圖1：

本例實(shí)際是相當(dāng)于現(xiàn)代解下面的線性方程組：3x+2y+z=39，（1）

2x+3y+z=34，（2）

x+2y+3z=26。（3）

圖1由于“方程”模型及其解之特殊構(gòu)造性，決定了可以對(duì)它施行種種行的消元變換的過程，因而構(gòu)造性就與算法的機(jī)械化特色聯(lián)系在一起?！胺匠绦g(shù)”程序步驟②～⑩深刻體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的這兩個(gè)方面的特點(diǎn)。從現(xiàn)代觀點(diǎn)來說，“方程”的演算程序類似于矩陣的“初等變換”算法，即相當(dāng)于利用線性方程組的系數(shù)增廣矩陣進(jìn)行初等變換來求解。《九章算術(shù)》首先采取在算板上布列“方程”，然后反復(fù)對(duì)“方程”施行基本的運(yùn)算即“遍乘”，“直除”的行變換。這里的“直除”，就是作減法運(yùn)算。這里就自然需要引進(jìn)負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，而并不在乎負(fù)數(shù)的意義和概念是什么。因此，正負(fù)術(shù)的引入是“方程”算法機(jī)械化的結(jié)果。這在世界上是非常獨(dú)特的。

到了魏晉時(shí)期，我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中給出了正負(fù)數(shù)的意義和概念，第一次深刻闡述了自己的觀點(diǎn)。劉徽為《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”作注時(shí)說：

“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異”。[4]

正負(fù)是什么意思呢？劉徽注文中說：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之?！薄八恪碑?dāng)時(shí)是指算籌，如果計(jì)算時(shí)用算籌代表“得”、“失”兩種量，那就要用正負(fù)數(shù)來定義。這個(gè)看法是很正確的，用籌進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)如何區(qū)別正負(fù)數(shù)，以前不見記載。劉徽提出：“正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異。”這就是說劉徽用紅、黑兩種顏色的算籌區(qū)別正負(fù)，否則當(dāng)用一種顏色的算籌時(shí)可以在擺法上以“正”、“邪”（斜）區(qū)別正負(fù)數(shù)。這兩種方法，對(duì)后來的數(shù)學(xué)都有深遠(yuǎn)的影響。劉徽還認(rèn)為：“言負(fù)者未必負(fù)于少，言正者未必正于多”。前一句話是指負(fù)數(shù)的絕對(duì)值未必小，后一句話是指正數(shù)的絕對(duì)值也不定很大，因此這兩句話說的是關(guān)于正負(fù)數(shù)的絕對(duì)值。

2關(guān)于正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

劉徽不僅在工具上規(guī)定了正負(fù)數(shù)的區(qū)別，而且還規(guī)定了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：

同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。

異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。[5]

前四句是指正負(fù)數(shù)的減法法則，用現(xiàn)代記號(hào)就是：當(dāng)a≥b>0時(shí)，

（±a）-（±b））=±（a-b）（同名相除），

（±a）-（b）=±（a+b）（異名相益）。

0-（±a）=a（正無入負(fù)之，負(fù)無入正之）

“無入”，劉徽注釋為“為無對(duì)也，無所得減也……”，可見“無入”就是“沒有與之對(duì)減的數(shù)，即是零。

后四句講的是正負(fù)數(shù)的加法法則：

（1）如果兩數(shù)異號(hào)，則其和的絕對(duì)值是其絕對(duì)值之差，其符號(hào)由絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)決定：

（±a）+（b）=±（a-b），這里a≥b>0，

（±a）+（b）=（b-a），這里b≥a>0。endprint

（2）如果兩數(shù)同號(hào)，則其和的絕對(duì)值是兩數(shù)絕對(duì)值之和：

（±a）+（±b）=±（a+b）

正數(shù)沒有與之相加的數(shù)，仍得正數(shù)，負(fù)數(shù)沒有與之相加的數(shù)，仍得負(fù)數(shù)：

0+（±a）=±aa>0。

現(xiàn)在在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，經(jīng)常被拿來作為正負(fù)數(shù)及其運(yùn)算例子的是《九章算術(shù)》章的第8問[6]：

今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，有余錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊、八豕，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價(jià)各幾何？

答曰：牛價(jià)一千二百，羊價(jià)五百，豕價(jià)三百。

其解法為：

術(shù)曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三負(fù)，余錢數(shù)正；次，牛三正，羊九負(fù)，豕三正；次，五牛負(fù)，六羊正，八豕正，不足錢負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。

這里所說的意思就是：若每頭牛、羊、豕的價(jià)格分別用x、y、z表示，則可列出現(xiàn)代如下的方程（組）：2x+5y-13z=1000，

3x-9y+3z=0，

-5x+6y+8z=-600。

在這里“方程”的各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)中都出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算結(jié)果是自然的，水到渠成的。

關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則，在《九章算術(shù)》時(shí)代或許會(huì)遇到有關(guān)正負(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，可惜書中并未論及，直到元代朱世杰在《算學(xué)啟蒙》（1299）中才有明確的記載：“同名相乘為正，異名相乘為負(fù)”，“同名相除所得為正，異名相除所得為負(fù)”，因此最遲于13世紀(jì)末，我國對(duì)有理數(shù)四則運(yùn)算法則已經(jīng)全面作了總結(jié)。此外，損益術(shù)是建立方程要用到的一種方法，“損益”即增減的意思，損益術(shù)相當(dāng)于現(xiàn)今由關(guān)系式的一端向另一端移項(xiàng)，移項(xiàng)后由加變減，由減變加，相當(dāng)于改變符號(hào)，這是常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)的情況[7]。而現(xiàn)今的移項(xiàng)就是變形，即把方程兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，就相當(dāng)于把方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊，可見，中國古代的損益術(shù)就是移項(xiàng)變號(hào)的方法?？傊?，從正負(fù)數(shù)概念的引入，到正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則的形成，我國這些方面的成就都是遙遙領(lǐng)先的。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭書春。中國古代數(shù)學(xué)。北京：商務(wù)印書館。1997：8。

[2]錢寶琮。中國數(shù)學(xué)史。北京：科學(xué)出版社。1964：35。

[3][4][5][6]九章算術(shù)。郭書春匯校。沈陽：遼寧教育出版社。1990：385，388，389。

[7]郭書春。古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽。濟(jì)南：山東科技出版社。1992∶49。endprint

（2）如果兩數(shù)同號(hào)，則其和的絕對(duì)值是兩數(shù)絕對(duì)值之和：

（±a）+（±b）=±（a+b）

正數(shù)沒有與之相加的數(shù)，仍得正數(shù)，負(fù)數(shù)沒有與之相加的數(shù)，仍得負(fù)數(shù)：

0+（±a）=±aa>0。

現(xiàn)在在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，經(jīng)常被拿來作為正負(fù)數(shù)及其運(yùn)算例子的是《九章算術(shù)》章的第8問[6]：

今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，有余錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊、八豕，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價(jià)各幾何？

答曰：牛價(jià)一千二百，羊價(jià)五百，豕價(jià)三百。

其解法為：

術(shù)曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三負(fù)，余錢數(shù)正；次，牛三正，羊九負(fù)，豕三正；次，五牛負(fù)，六羊正，八豕正，不足錢負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。

這里所說的意思就是：若每頭牛、羊、豕的價(jià)格分別用x、y、z表示，則可列出現(xiàn)代如下的方程（組）：2x+5y-13z=1000，

3x-9y+3z=0，

-5x+6y+8z=-600。

在這里“方程”的各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)中都出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算結(jié)果是自然的，水到渠成的。

關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則，在《九章算術(shù)》時(shí)代或許會(huì)遇到有關(guān)正負(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，可惜書中并未論及，直到元代朱世杰在《算學(xué)啟蒙》（1299）中才有明確的記載：“同名相乘為正，異名相乘為負(fù)”，“同名相除所得為正，異名相除所得為負(fù)”，因此最遲于13世紀(jì)末，我國對(duì)有理數(shù)四則運(yùn)算法則已經(jīng)全面作了總結(jié)。此外，損益術(shù)是建立方程要用到的一種方法，“損益”即增減的意思，損益術(shù)相當(dāng)于現(xiàn)今由關(guān)系式的一端向另一端移項(xiàng)，移項(xiàng)后由加變減，由減變加，相當(dāng)于改變符號(hào)，這是常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)的情況[7]。而現(xiàn)今的移項(xiàng)就是變形，即把方程兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，就相當(dāng)于把方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊，可見，中國古代的損益術(shù)就是移項(xiàng)變號(hào)的方法。總之，從正負(fù)數(shù)概念的引入，到正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則的形成，我國這些方面的成就都是遙遙領(lǐng)先的。

參考文獻(xiàn)：

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[2]錢寶琮。中國數(shù)學(xué)史。北京：科學(xué)出版社。1964：35。

[3][4][5][6]九章算術(shù)。郭書春匯校。沈陽：遼寧教育出版社。1990：385，388，389。

[7]郭書春。古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽。濟(jì)南：山東科技出版社。1992∶49。endprint

（2）如果兩數(shù)同號(hào)，則其和的絕對(duì)值是兩數(shù)絕對(duì)值之和：

（±a）+（±b）=±（a+b）

正數(shù)沒有與之相加的數(shù)，仍得正數(shù)，負(fù)數(shù)沒有與之相加的數(shù)，仍得負(fù)數(shù)：

0+（±a）=±aa>0。

現(xiàn)在在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，經(jīng)常被拿來作為正負(fù)數(shù)及其運(yùn)算例子的是《九章算術(shù)》章的第8問[6]：

今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，有余錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊、八豕，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價(jià)各幾何？

答曰：牛價(jià)一千二百，羊價(jià)五百，豕價(jià)三百。

其解法為：

術(shù)曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三負(fù)，余錢數(shù)正；次，牛三正，羊九負(fù)，豕三正；次，五牛負(fù)，六羊正，八豕正，不足錢負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。

這里所說的意思就是：若每頭牛、羊、豕的價(jià)格分別用x、y、z表示，則可列出現(xiàn)代如下的方程（組）：2x+5y-13z=1000，

3x-9y+3z=0，

-5x+6y+8z=-600。

在這里“方程”的各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)中都出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算結(jié)果是自然的，水到渠成的。

關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則，在《九章算術(shù)》時(shí)代或許會(huì)遇到有關(guān)正負(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，可惜書中并未論及，直到元代朱世杰在《算學(xué)啟蒙》（1299）中才有明確的記載：“同名相乘為正，異名相乘為負(fù)”，“同名相除所得為正，異名相除所得為負(fù)”，因此最遲于13世紀(jì)末，我國對(duì)有理數(shù)四則運(yùn)算法則已經(jīng)全面作了總結(jié)。此外，損益術(shù)是建立方程要用到的一種方法，“損益”即增減的意思，損益術(shù)相當(dāng)于現(xiàn)今由關(guān)系式的一端向另一端移項(xiàng)，移項(xiàng)后由加變減，由減變加，相當(dāng)于改變符號(hào)，這是常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)的情況[7]。而現(xiàn)今的移項(xiàng)就是變形，即把方程兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，就相當(dāng)于把方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊，可見，中國古代的損益術(shù)就是移項(xiàng)變號(hào)的方法?？傊?，從正負(fù)數(shù)概念的引入，到正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則的形成，我國這些方面的成就都是遙遙領(lǐng)先的。

參考文獻(xiàn)：

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[2]錢寶琮。中國數(shù)學(xué)史。北京：科學(xué)出版社。1964：35。

[3][4][5][6]九章算術(shù)。郭書春匯校。沈陽：遼寧教育出版社。1990：385，388，389。

[7]郭書春。古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽。濟(jì)南：山東科技出版社。1992∶49。endprint