初一列方程入門(mén)教學(xué)的思考與建議

張昆　宋乃慶

在代數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，有兩個(gè)要點(diǎn)具有里程碑式的意義：一是作為擴(kuò)大的自然“0”的引入；二是韋達(dá)的表示數(shù)的符號(hào)的引入。前者，人類(lèi)和一個(gè)沒(méi)有零的符號(hào)的不夠用的命數(shù)法苦斗了幾千年；后者，由于缺乏統(tǒng)一記號(hào)，使得代數(shù)成為一堆解數(shù)值方程的偶然方法。[1]（73）符號(hào)進(jìn)入數(shù)學(xué)，通過(guò)所謂的“列方程”方法的引入，使應(yīng)用題的解法產(chǎn)生了根本性變革。

1引進(jìn)符號(hào)列方程的應(yīng)用價(jià)值與教育價(jià)值

如果沒(méi)有符號(hào)，人們只能用自己的感官來(lái)把握客觀事物，它反映出人的感官把握對(duì)象的各個(gè)側(cè)面；用符號(hào)代替“對(duì)象”之后，客觀事物就變成了完全的抽象物，只是某一指定運(yùn)算的運(yùn)算對(duì)象而已。符號(hào)使人在變換文字表達(dá)時(shí)便于操作，從而把任何陳述都變?yōu)榈葍r(jià)的形式，使得數(shù)與式的變形成為輕松容易的事情。

1。1引進(jìn)符號(hào)使列方程解應(yīng)用題的資源加倍

沒(méi)有引進(jìn)表示所要求的未知數(shù)的符號(hào)以前，應(yīng)用題的解法只能依靠算術(shù)法，即從已知數(shù)列綜合算式得到所要求的未知數(shù)。它要用的資源就是所設(shè)定的問(wèn)題當(dāng)中的已知數(shù)據(jù)，由于所要求的數(shù)不能進(jìn)入綜合算式，所以未知數(shù)對(duì)于問(wèn)題的求解幫助甚微。這種情形之下，已知數(shù)與所要求的未知數(shù)是對(duì)立的。為了說(shuō)明問(wèn)題，我們看一個(gè)例子：

例1（我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》中的問(wèn)題）雞兔同籠，共有35個(gè)頭，94只腳，問(wèn)雞兔各有多少？

解法一（算術(shù)解法）假想所有的35只都是兔，那么共有35×4=140只腳。而實(shí)際上只有94只腳，這樣多出來(lái)了（140-94）只腳。為什么會(huì)多出來(lái)這么多的腳呢？這是因?yàn)槊恐浑u比每只兔少兩只腳，而解題的設(shè)想是所有的35只都是兔，這就暗示著雞的個(gè)數(shù)。于是

雞數(shù)=（140-94）÷（4-2）=23，

兔數(shù)=（94-35×2）÷（4-2）=12。

解法二（智力性的解法）設(shè)想雞、兔都抬起半數(shù)的腳，這時(shí)，著地的腳數(shù)是94÷2=47，而雞的個(gè)數(shù)就是著地的腳的個(gè)數(shù)，因此，47-35應(yīng)是每個(gè)兔子的腳數(shù)，即兔數(shù)是12。雞數(shù)為23。這種捷思巧想，令人叫絕，但它需要相當(dāng)?shù)拿舨排c造化，或許還要觸景生情的靈感的光顧。

不論算術(shù)解法，還是智力性的解法，都只是從已知數(shù)據(jù)中得到所要求的未知數(shù)，即未知數(shù)是從已知數(shù)中產(chǎn)生出來(lái)的，于是，未知數(shù)對(duì)問(wèn)題的解答沒(méi)有貢獻(xiàn)。

解法三（代數(shù)解法）設(shè)兔與雞的個(gè)數(shù)分別為x、y，由題意，可列出如下的方程組

x+y=35，①

4x+2y=94。②

②÷2，得2x+y=47。③

③-①，得x=12，

把x=12代入①，得y=23。

我們看到代數(shù)的解法與前面的兩種解法截然不同，那就是，這種解法使得已知數(shù)與要求的未知數(shù)對(duì)問(wèn)題的解決作出了同等的貢獻(xiàn)，由于已知數(shù)與未知數(shù)兩種資源的對(duì)等的應(yīng)用，使得問(wèn)題的解答在數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)觀念下的自覺(jué)行為，體現(xiàn)出順其自然、簡(jiǎn)單流暢。

運(yùn)用符號(hào)的代數(shù)法的解題，變未知數(shù)為半壁資源，極大地降低了解應(yīng)用題的思維強(qiáng)度。我們對(duì)比解法二與解法三，就能明白這一切。智力性的解法（解法二）需要對(duì)情況有清晰的直觀的理解，巧思妙想，令人驚嘆。但在贊嘆解題的機(jī)智之時(shí)，可能很少有人會(huì)意識(shí)到它正是對(duì)代數(shù)解法所作的詮釋?zhuān)浩鋵?shí)在代數(shù)解法中的②÷2即是所有的雞和兔都抬起半數(shù)的腳了；③-①就是在這47只著地的腳數(shù)中，除掉了雞的著地的腳數(shù)與兔的著地的第三只腳，從這里，我們比較清楚地看到了模式是怎樣降低了數(shù)學(xué)思維的強(qiáng)度，提高解決問(wèn)題的效率的：將那種在思維中，由依據(jù)實(shí)物的特性的構(gòu)造過(guò)程轉(zhuǎn)化成解方程（組）的形式上的程序化的操作過(guò)程。

1。2解應(yīng)用題促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念與具體事物的聯(lián)系

列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的最重要的任務(wù)之一。在列方程解應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)了把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題（語(yǔ)言表達(dá)的文字題）翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這就使他們有機(jī)會(huì)體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的概念和具體的東西是可以聯(lián)系的。波利亞說(shuō)：“對(duì)于工作中要大量用數(shù)學(xué)的工程師和科學(xué)家來(lái)說(shuō)，他們主要靠這一訓(xùn)練把實(shí)際問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)概念。也許一個(gè)工程師可以靠數(shù)學(xué)家去替他解答他的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣，未來(lái)的工程師就可以用不著為了解題去學(xué)數(shù)學(xué)了。但是有一點(diǎn)他是不能完全依賴數(shù)學(xué)家的，這就是他必須懂得足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)，以便能把自己（專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域）的實(shí)際問(wèn)題變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。如此，未來(lái)的工程師當(dāng)他在學(xué)校里學(xué)習(xí)列方程去解文字題時(shí)，便能第一次嘗到數(shù)學(xué)在他的工作里主要是怎么用的，也第一次有機(jī)會(huì)去鍛煉自己，培養(yǎng)自己這方面的習(xí)慣”。[2]

數(shù)學(xué)是一種開(kāi)放的系統(tǒng)，它作為模式與框架為科學(xué)研究領(lǐng)域服務(wù)的，列方程解應(yīng)用題在學(xué)生學(xué)習(xí)之初，就將數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，及早地滲透數(shù)學(xué)與客觀事物的聯(lián)系。

2初一學(xué)習(xí)列方程的疑難分析

列方程教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部而言，它給解應(yīng)用題帶來(lái)了巨大的方便，對(duì)學(xué)生在處理數(shù)學(xué)概念與客觀事物的關(guān)系時(shí)，初步獲得的方法與會(huì)觀念感同身受。這就是列方程解應(yīng)用題的應(yīng)用價(jià)值與教育價(jià)值的統(tǒng)一。然而，初一學(xué)生學(xué)習(xí)列方程不是一件容易的事。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了列算式解應(yīng)用題，還學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的列方程解應(yīng)用題。初一列方程解應(yīng)用題的教學(xué)，就是建立在學(xué)生已學(xué)的這些知識(shí)的基礎(chǔ)上。因此，學(xué)生已經(jīng)有了兩套不同的解應(yīng)用題的方法與程序，但就初一學(xué)生思維層次而言，這兩套方法與程序并不是平等的關(guān)系，從學(xué)生熟練應(yīng)用上看，他們偏于選擇列算式的方法，從學(xué)生學(xué)習(xí)的目標(biāo)上看，通過(guò)教學(xué)的活動(dòng)，在他們內(nèi)在思維的動(dòng)態(tài)運(yùn)作中，需要達(dá)成從列算式解應(yīng)用題轉(zhuǎn)變?yōu)榱蟹匠探鈶?yīng)用題的目的，引導(dǎo)學(xué)生思維升級(jí)。通過(guò)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)研究，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)列方程的主要疑難之處在于：從綜合性的算術(shù)思維到分析性的代數(shù)思維的心理轉(zhuǎn)換；從生活語(yǔ)言向形式化的符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換。

2。1綜合性的算術(shù)思維先入為主且根深蒂固

具體往往先于抽象，而具體往往又成為學(xué)科進(jìn)展的最大的絆腳石。學(xué)生已經(jīng)長(zhǎng)期浸染了綜合性的算術(shù)思維，他們從“你有一個(gè)蘋(píng)果，我也有一個(gè)蘋(píng)果，我倆共有幾個(gè)蘋(píng)果”的解答1+1=2開(kāi)始，直到學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的列方程之前，所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是采用這種列算式的形式。endprint

對(duì)學(xué)生而言，如果從上幼兒園開(kāi)始算起，列算式法解應(yīng)用題的方式，至少經(jīng)過(guò)了5、6年的訓(xùn)練，他們已經(jīng)形成了一種思維的“硬殼”（強(qiáng)烈的思維定勢(shì)），對(duì)于這種“硬殼”，在短時(shí)間里極難剖開(kāi)，極難軟化。它給了學(xué)生以非常深刻的影響，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期潛移默化的熏陶，學(xué)生形成了的潛意識(shí)是，解應(yīng)用題就是將應(yīng)用題中的已知數(shù)據(jù)，依據(jù)應(yīng)用題中所設(shè)定了的計(jì)算程序列成算式，對(duì)這個(gè)算式進(jìn)行計(jì)算就能得到所要求的結(jié)果，由書(shū)寫(xiě)從左到右的自然順序，所列出的算式置于等號(hào)的左邊，它計(jì)算的結(jié)果就放置在等號(hào)的右邊。

在這種潛意識(shí)中，學(xué)生產(chǎn)生的心理經(jīng)驗(yàn)是：（1）“等號(hào)”只是所要求得的數(shù)值的標(biāo)志；（2）“已知數(shù)”與“所求數(shù)”有明顯區(qū)別，“已知數(shù)”編入算式，放在等號(hào)左邊，對(duì)這個(gè)算式進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果，就得到“所求數(shù)”，置于等號(hào)右邊。

這些經(jīng)驗(yàn)的存在使學(xué)生在解應(yīng)用題時(shí)，形成了“條件反射”般地套用，拿到應(yīng)用題，就謀求著列出包含題意中所有的已知數(shù)據(jù)的算式，通過(guò)計(jì)算，就可以解決問(wèn)題了。如此，從知識(shí)的心理發(fā)生的角度上說(shuō)，這種習(xí)慣性的解應(yīng)用題的方式對(duì)學(xué)生長(zhǎng)期浸潤(rùn)造成的結(jié)果形成了根深蒂固的兩對(duì)矛盾：

（1）把等號(hào)的涵義固定在得到應(yīng)用題的答案的一種標(biāo)記上，或者說(shuō)是回答別人問(wèn)題的一種提示（看好了，你要的答案在這?。麄儼堰@種表面的現(xiàn)象當(dāng)成了本質(zhì)屬性。而等號(hào)的本質(zhì)的含義是表示一種對(duì)等性的結(jié)構(gòu)關(guān)系，即等號(hào)的兩邊都可以執(zhí)行相同的計(jì)算，這就產(chǎn)生等式的諸多性質(zhì)。這對(duì)矛盾阻止了未知數(shù)進(jìn)入等式并參與計(jì)算。

（2）將“已知數(shù)”與“未知數(shù)”絕對(duì)對(duì)立了起來(lái)。在執(zhí)行運(yùn)算的時(shí)候，學(xué)生用兩種不同的方式來(lái)對(duì)待“已知數(shù)”與“未知數(shù)”，他們對(duì)“已知數(shù)”特別青睞，總是設(shè)法利用“已知數(shù)”列出綜合算式來(lái)得到“未知數(shù)”，從而獲得問(wèn)題的解答。如此，就將“未知數(shù)”對(duì)解決問(wèn)題的巨大幫助拋棄了。而實(shí)際的情況卻是，就一個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，“已知數(shù)”與“未知數(shù)”是相對(duì)而言的。事實(shí)上，數(shù)字無(wú)非是指代物體的個(gè)數(shù)的符號(hào)，它本身是一種抽象的語(yǔ)言，那么，“已知數(shù)”是我們用已經(jīng)知道了的數(shù)字來(lái)表示已經(jīng)明確事物多少的數(shù)量；而“未知數(shù)”也是指代事物的數(shù)量的，不過(guò)，這個(gè)數(shù)量還不明確而已，我們只得用字母來(lái)表示，是一個(gè)可以變化的量。如此，“已知數(shù)”與“未知數(shù)”就具有了相同的內(nèi)涵，它們都指代物體的數(shù)量，在進(jìn)入代數(shù)式與運(yùn)算中就具有了對(duì)等的權(quán)利，這樣，依據(jù)問(wèn)題所設(shè)定的關(guān)系，不論“已知數(shù)”與“未知數(shù)”，他們既可以進(jìn)入等號(hào)的左邊，也可以進(jìn)入等號(hào)的右邊，只要它們符合題目所設(shè)定的具體運(yùn)算條件就行了。

而學(xué)生在從列算式解應(yīng)用題轉(zhuǎn)變到列方程解應(yīng)用題的過(guò)程中，由于思維定勢(shì)的強(qiáng)烈作用，他們的思維活動(dòng)就裹挾在矛盾的一個(gè)極端上，這對(duì)矛盾對(duì)立的兩個(gè)方面不能互相轉(zhuǎn)化，得不到辯證統(tǒng)一。于是，新的思想、新的觀念都難以進(jìn)入學(xué)生的思維門(mén)戶，建構(gòu)出學(xué)生的新的觀念系統(tǒng)。故而，列方程解應(yīng)用題入門(mén)時(shí)，學(xué)生對(duì)由綜合性的算術(shù)思維到分析性的代數(shù)思維的轉(zhuǎn)軌產(chǎn)生了巨大的困難。

如此造成學(xué)生對(duì)代數(shù)思維最為基礎(chǔ)的地方——列方程解應(yīng)用題的學(xué)習(xí)只能作出表面形式的摹仿，不能“登堂入室”地獲得這種分析性思維的營(yíng)養(yǎng)，以拓展思維結(jié)構(gòu)與提升思維的層級(jí)。應(yīng)用方程解題的一次又一次的失敗，對(duì)他們的心理造成了極大的負(fù)面影響。長(zhǎng)時(shí)間的失望是蠶食年少學(xué)子自信心和興趣的瘟神，最后，他們的學(xué)習(xí)興趣和可貴的進(jìn)取心一點(diǎn)點(diǎn)地消失殆盡。于是，學(xué)生后繼數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性消退了，飽滿的熱情也蕩然無(wú)存。這樣必然波及到其他學(xué)科，從而對(duì)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了不良的影響。故而，不僅浪費(fèi)了學(xué)生的美好時(shí)光，而且讓他們籠罩在較少成功的陰影中。這種情形，導(dǎo)致出極大地?fù)p傷了列方程解應(yīng)用題的教育價(jià)值，要想實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)——利用代數(shù)學(xué)科資源提升人的精神品格談何容易。

2。2生活語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換并非易事

學(xué)生由于長(zhǎng)期的列算式解應(yīng)用題的偏狹經(jīng)驗(yàn)，形成了他們把“已知數(shù)”與“未知數(shù)”對(duì)立起來(lái)。這種對(duì)立使學(xué)生形成了思維定勢(shì)的“死角”，它又與從生活語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化糾纏在一起。因?yàn)椤拔粗獢?shù)”是參變量，是表示可變動(dòng)的數(shù)的符號(hào)。退一步說(shuō)，即使學(xué)生認(rèn)識(shí)到了“未知數(shù)”與“已知數(shù)”具有相同的本質(zhì)，但在列方程解應(yīng)用題起始課的學(xué)習(xí)中，作為使用符號(hào)表示未知數(shù)，他們對(duì)此也會(huì)極不適應(yīng)。

T·丹奇克說(shuō)：“（引進(jìn)符號(hào)的）這種方法連偉大的丟番圖以及他的聰明的阿拉伯后繼者都沒(méi)有想到，天才的菲波拉契幾乎發(fā)現(xiàn)了它，卻又失之交臂，這樣的一種方法我們能說(shuō)它是來(lái)自天然的嗎？”[1]（72-73）符號(hào)進(jìn)入數(shù)學(xué)從而建立起了代數(shù)體系，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從丟番圖用縮寫(xiě)的字母表示數(shù)到韋達(dá)用字母表示一般意義上的數(shù)，用了整整1200年。學(xué)生認(rèn)識(shí)的發(fā)生過(guò)程要重現(xiàn)其種系知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，以此，我們可以理解初一學(xué)生用符號(hào)表示一般意義上的數(shù)，他內(nèi)在觀念上轉(zhuǎn)換的困難就可想而知了。

對(duì)于此，安拉·斯法特在回憶自己教學(xué)中所經(jīng)歷的切身體會(huì)時(shí)說(shuō)：“從歷史的角度來(lái)看，韋達(dá)的發(fā)明（引進(jìn)變量——引者注）的意義不是所有的數(shù)學(xué)史學(xué)家能完全理解的。從數(shù)學(xué)史學(xué)家的視野中往往忽視了韋達(dá)引入變量的巨大成就，同樣的機(jī)制也會(huì)發(fā)生在數(shù)學(xué)教師的身上，他們忽視了這一點(diǎn)，即在第一次引入未知數(shù)的方程中，學(xué)生很難攀升到達(dá)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)所設(shè)定的高度。這種忽視有時(shí)會(huì)造成很?chē)?yán)重的后果”。[3]通過(guò)實(shí)際教學(xué)，斯法特學(xué)會(huì)了與學(xué)生進(jìn)行心理?yè)Q位，認(rèn)識(shí)到了在從算術(shù)法到代數(shù)法解應(yīng)用題的過(guò)渡中，語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換對(duì)學(xué)生而言確非易事。

達(dá)布拉從語(yǔ)言選擇與競(jìng)爭(zhēng)視角寫(xiě)道：“代數(shù)的‘廣泛的、前水平的活動(dòng)涉及到了在具體情境下對(duì)各種量的關(guān)系的理解，它包括不需要用到字母表征，但允許學(xué)生用某種關(guān)系的方式來(lái)處理有關(guān)量的情境。這不意味著學(xué)生不能對(duì)代數(shù)的生成與轉(zhuǎn)換的某些方面的理解，但是，他們可以選用不同的方法來(lái)形成個(gè)體自己的數(shù)學(xué)”。[4]凱爾嵐的研究證實(shí)，不論是否具有代數(shù)背景的學(xué)生，在解決應(yīng)用題時(shí)，他們都具有非正式的策略，使他們能夠有效地處理代數(shù)的語(yǔ)言問(wèn)題或者是需要引入未知量的問(wèn)題。[5]這就是語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，在學(xué)生的思維中，已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，但如何將這些“廣泛的、前水平”的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成“標(biāo)準(zhǔn)的、形式化”的符號(hào)語(yǔ)言，構(gòu)成了教學(xué)中的又一個(gè)難點(diǎn)。endprint

在我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所設(shè)計(jì)的方程知識(shí)系統(tǒng)中，就絕大部分教師理解而言，字母只是用來(lái)表示未知數(shù)。雖然在教師的教學(xué)用書(shū)中提出，用字母表示數(shù)是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，但多數(shù)教師沒(méi)有原始形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)做支撐，并不能透徹地理解這句話的真正意義。因而有些教師還是誤認(rèn)為：用字母表示數(shù)就是用字母代替未知數(shù)，使表達(dá)更簡(jiǎn)略。[6]如此，就使得表示數(shù)的符號(hào)是具體數(shù)據(jù)的一種延伸，阻礙了符號(hào)可以表示變化的已知量的觀念的生成。

醫(yī)家講究“對(duì)癥下藥”，達(dá)到治病的目的就要細(xì)心診斷，通過(guò)“望、聞、問(wèn)、切”探清病因，而病因絕不同于它的外表的癥狀。對(duì)學(xué)生的理解也是一樣，他們知識(shí)發(fā)生，或者解決問(wèn)題的疑難，一定是反映在學(xué)生的某些僵化了的內(nèi)在的思維征用、轉(zhuǎn)化或關(guān)聯(lián)相關(guān)觀念信息。現(xiàn)在，我們對(duì)于學(xué)生在列方程解應(yīng)用題時(shí)的心理疑難既以探明，那么，教學(xué)中教師如何對(duì)癥下藥呢？

3關(guān)于初一學(xué)習(xí)列方程的教學(xué)建議

通過(guò)課堂觀察、調(diào)查、訪談與參閱文獻(xiàn)等手段，我們?cè)O(shè)身處地地從學(xué)生的列方程知識(shí)發(fā)生的心理角度揣摩，揭示了學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題的兩種疑難。對(duì)于一線教師來(lái)說(shuō)，認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)是較為困難的，回想自己剛?cè)肼殨r(shí)，也如斯法特一樣，認(rèn)為列方程解應(yīng)用題教學(xué)并非難點(diǎn)，但在隨后較長(zhǎng)時(shí)間的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)列方程解應(yīng)用題的入門(mén)難學(xué)難教，從而激起了筆者對(duì)這一課題作了幾十年的關(guān)注。對(duì)此，我們建議作如下的教學(xué)設(shè)計(jì)。

3。1突出等號(hào)的對(duì)等涵義、已知數(shù)未知數(shù)的對(duì)等關(guān)系

在列方程時(shí)，等號(hào)表示對(duì)等性及其所派生的一系列的性質(zhì)與操作功能；“已知數(shù)”與“未知數(shù)”具有對(duì)等性，即它們擁有相同的權(quán)利與地位。這兩者對(duì)于學(xué)生突破用綜合算式解應(yīng)用題的思維定式具有非常重要的意義。教師教學(xué)的主要任務(wù)，就是揭示出“等號(hào)”所表達(dá)的對(duì)等性本質(zhì)，揭示出“已知數(shù)”與“未知數(shù)”的對(duì)等關(guān)系的本質(zhì)，使學(xué)生對(duì)它們達(dá)到深層次的、本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)。

例2已知某數(shù)的2倍與5的和等于14與這個(gè)數(shù)的差，求這個(gè)數(shù)。

教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生較為集中地給出這樣的典型的解題過(guò)程：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)數(shù)的逆運(yùn)算：這個(gè)數(shù)的3倍為14-5，故可列方程為14-513=x。

這里所設(shè)的未知數(shù)x只是一種形式，實(shí)質(zhì)上，依然是一種算術(shù)性的綜合思維。它的成因是“等號(hào)”的第一種意義“功能固著”的影響。

列方程的含義是：設(shè)出未知數(shù)，就是將未知數(shù)看作是已知數(shù)，將未知數(shù)依據(jù)題意中所規(guī)定的運(yùn)算，把它當(dāng)作已知數(shù)參加題意之中所設(shè)定了的運(yùn)算關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算。這一過(guò)程正是消解“已知數(shù)”與“未知數(shù)”的矛盾的過(guò)程，使未知數(shù)在解答問(wèn)題中，像已知數(shù)一樣發(fā)揮同等的作用。然后，再由題意中的相等關(guān)系，列出一個(gè)等式，這個(gè)等式當(dāng)中就含有這個(gè)所設(shè)的未知數(shù)，從而形成了方程。我們可以如此設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程：

①設(shè)這個(gè)數(shù)為x；

②“某數(shù)的2倍與5的和”，列代數(shù)式為2x+5，“14與這個(gè)數(shù)的差”，列代數(shù)式為14-x；

③“某數(shù)的2倍與5的和”的運(yùn)算結(jié)果和“14與這個(gè)數(shù)的差”的運(yùn)算結(jié)果相等，由此可列方程為2x+5=14-x.

設(shè)未知數(shù)，就賦予了未知數(shù)與已知數(shù)相等的權(quán)利，消解了“已知數(shù)”與“未知數(shù)”的矛盾。教師在教授列方程解應(yīng)用題的起始課時(shí)，與學(xué)生進(jìn)行“心理?yè)Q位”，理解了學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式的艱難，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)出幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式的教學(xué)，以此循循善誘，不厭其煩地引導(dǎo)學(xué)生，不僅能夠促使學(xué)生形成等號(hào)表示對(duì)等的關(guān)系結(jié)構(gòu)的意義、使學(xué)生理解已知數(shù)與未知數(shù)是具有相對(duì)性與對(duì)等性的關(guān)系，而且對(duì)學(xué)生的審題、將生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言也起著極其重要的作用。

3。2建立相等關(guān)系式并選設(shè)出未知數(shù)與列方程

在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，循序漸進(jìn)地首先突破找等量關(guān)系，是構(gòu)成列方程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，因?yàn)?，它給語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化構(gòu)建了一個(gè)固定的框架，我們只要將已知數(shù)，代表未知數(shù)的符號(hào)納入已經(jīng)建立起來(lái)的等式中，就得到了方程。其實(shí)，這化解了語(yǔ)言轉(zhuǎn)換上的難點(diǎn)。教學(xué)中對(duì)每一道題都應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，訓(xùn)練學(xué)生思維廣泛適應(yīng)性，使學(xué)生理解語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的層次性與順序性，而不應(yīng)該劃分題型與套用題型。為了說(shuō)明問(wèn)題，我們來(lái)看一個(gè)例子：

例3甲、乙兩位同學(xué)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的400米操場(chǎng)上跑步，假設(shè)他們的起點(diǎn)相同并且甲的速度快，當(dāng)他們同向跑步時(shí)，12分鐘第一次相遇；當(dāng)他們反向跑步時(shí)，2分鐘第一次相遇，求甲、乙兩人的速度分別為多少？

一般情況下，課本上講解例題，先給出一個(gè)簡(jiǎn)要的分析，然后緊接著設(shè)出未知數(shù)x，再列出有關(guān)含x的相關(guān)的代數(shù)式，放入到一個(gè)等式當(dāng)中去，就得到了方程（就像例2一樣）。但對(duì)于稍微復(fù)雜些的問(wèn)題，這樣的分析往往理不清問(wèn)題的解答程序。初學(xué)列方程的同學(xué)，在這種操作的框架下，有時(shí)候容易滑到對(duì)“等號(hào)”的第一種意義的理解上去。為了避免學(xué)生的這種理解，我們?cè)谠O(shè)計(jì)時(shí)，將這種程序稍加調(diào)整：

（1）從應(yīng)用題的涵義中找出等量關(guān)系式。

①12×甲的速度-12×乙的速度=400；

②2×甲的速度+2×乙的速度=400。

（2）審視等式中的要求的未知數(shù)，并從要求的未知數(shù)中設(shè)出一個(gè)未知數(shù)為x。

設(shè)甲同學(xué)的速度為x米/分，我們將其代入等式①，就可以得到乙同學(xué)的速度的表達(dá)式為12x-400112米/分。

（3）將未知數(shù)作為已知數(shù)，與應(yīng)用題所給出的已知數(shù)一起代入等式中去。

將甲、乙的速度表達(dá)式x與12x-400112同時(shí)代入等式②，就自然地得到方程2x+2·12x-400112=400。

從這里，我們已經(jīng)清楚地看到，所找出的兩個(gè)等式正好構(gòu)成了語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的框架，使學(xué)生不至于滑到使用等號(hào)的第一種涵義上去。

總之，對(duì)初一列方程教學(xué)建議的要點(diǎn)是，首先，促成學(xué)生理解等號(hào)的涵義：它既是給出問(wèn)題答案的標(biāo)志，又表示等號(hào)兩邊的對(duì)等關(guān)系，可以執(zhí)行對(duì)等的運(yùn)算操作，而后者是等號(hào)的本質(zhì)涵義。“已知數(shù)”和“要求數(shù)”，或者“已知數(shù)”與“未知數(shù)”也是對(duì)等的，它們具有同樣的權(quán)利，設(shè)出未知數(shù)之后，未知數(shù)與已知數(shù)一樣可以執(zhí)行各種運(yùn)算程序。其次，從實(shí)際問(wèn)題生活語(yǔ)言敘述中找出等量關(guān)系式，這是列方程程序的第一個(gè)環(huán)節(jié)，它給語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換提供了固定的框架，為選設(shè)未知數(shù)與列方程奠定了基礎(chǔ)。

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