活用解題策略方入思維勝境

錢德春

中考?jí)狠S題往往是初中數(shù)學(xué)解題的制高點(diǎn)，也是思維的制高點(diǎn)。這種制高點(diǎn)在哪里？“在常規(guī)思路無能為力的地方，在需要預(yù)測、直覺、估算、轉(zhuǎn)換視角、合情推理等思維方式參與的地方”[1]。那么，如何達(dá)到制高點(diǎn)呢？近幾年，不少中考數(shù)學(xué)試題在考查學(xué)生解題策略和思維能力方面有所體現(xiàn)。現(xiàn)以泰州市中考數(shù)學(xué)壓軸題為例，談?wù)勥_(dá)到數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)思維制高點(diǎn)的策略.

1退一步，海闊天空

“以退為進(jìn)”最早見于漢·揚(yáng)雄《法言·君子》：“昔乎顏淵以退為進(jìn)，天下鮮儷焉?！币饧矗阂酝俗尩淖藨B(tài)作為進(jìn)取的手段。“以退為進(jìn)”作為一種策略，也常用于數(shù)學(xué)解題思路分析，2012年泰州中考卷第28題就較好地體現(xiàn)了這種策略.

例1已知一次函數(shù)y1=kx+b的圖像與x軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y2=c1x的圖像相交于B（-1，5）、C（512，d）兩點(diǎn)。點(diǎn)P（m、n）是一次函數(shù)y1=kx+b的圖像上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求k、b的值；（k=-2，b=3，一次函數(shù)：y1=-2x+3）

（2）（略）；

（3）設(shè)m=1-a，如果在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題第（3）小題為4分，考試平均分僅為0。12分，得分率僅3%。是什么原因?qū)е逻@樣的結(jié)果呢？調(diào)查發(fā)現(xiàn)：大多學(xué)生（甚至不少教師）因找不到切入口而無從下手.

將（m，n）代入y1=-2x+3，由m=1-a，可求得n=1+2a。不妨退后一步思考：既然“在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)”，至少可以說明m≠n，從而有a≠0，即m≠1、n≠1，則m、n中必有一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，由此找到了問題解決的突破口.

由題意知：m≠n，從而有a≠0，即m≠1、n≠1.

分兩種情況畫數(shù)軸（如圖1），

圖1有：0≤m<1，

1

或0≤n<1，

1

從而解得實(shí)數(shù)a的范圍是-112≤a<0或0

本題的解題過程并不復(fù)雜，所用知識(shí)只是七年級(jí)的數(shù)軸、解不等式組，數(shù)學(xué)思想也只有數(shù)形結(jié)合（畫數(shù)軸）、分類討論，但起關(guān)鍵作用的正是“以退為進(jìn)”的策略.

2轉(zhuǎn)視角，柳暗花明

蘇軾在《題西林壁》中寫道：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。”這就是說，看問題有時(shí)要換個(gè)角度思考，這也是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要策略.

圖2在例1中，如果換一種角度思考，由于m=1-a、n=1+2a，可以將m、n看成是關(guān)于a的函數(shù)，進(jìn)而在同一坐標(biāo)系中作出圖像（如圖2），發(fā)現(xiàn)兩直線恰好相交于縱軸上的（0，1）點(diǎn)，顯然，從圖像上看，縱軸左側(cè)的圖像表明：當(dāng)a<0時(shí)，m>1，n<1；縱軸右側(cè)的圖像表明：當(dāng)a>0時(shí)，m<1，n>1，要滿足每件“在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)，只能取兩直線m=1-a、n=1+2a夾在在x軸與直線y=2之間的部分，故同樣可以求出a的范圍.

這里m=1-a、n=1+2a可以看成兩個(gè)固態(tài)的等式或方程。但如果換個(gè)角度思考，把他們看成兩個(gè)一次函數(shù)，進(jìn)而聯(lián)想到函數(shù)圖像，從“形”的角度去理解就更加直觀、形象，問題則迎刃而解。通過“轉(zhuǎn)換視角”，從而達(dá)到了“柳暗花明”的美好境界.

3借數(shù)感，絕處逢生

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出了“數(shù)感”的概念，即“關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟?！盵2]2010年泰州中考卷第27題就是以“數(shù)感”立意的一道壓軸題.

例2二次函數(shù)y=-112x2+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)D（-3，912），與x軸交于A、B兩點(diǎn).

（1）求c的值；（c=6）

（2）（略）；

（3）設(shè)點(diǎn)P、Q為二次函數(shù)的圖像在x軸上方的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

先來看第（3）小題的參考解答：

圖3答：符合條件的點(diǎn)P、Q存在。驗(yàn)證如下：

如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至拋物線與y軸交點(diǎn)（0，6）時(shí)，QA=62+（23）2=43=AB.

只要作∠QAB的平分線交拋物線于點(diǎn)P，連結(jié)QP、BP，由AQ=AB，∠QAP=∠BAP，AP為公共邊即可得△AQP≌△ABP.

問題分析：試題參考解答除符號(hào)外只有76個(gè)字，看上去簡單、無特別之處，但學(xué)生考試數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示：滿分4分的題，平均分只有0。2，正確率僅為5%。主要原因是學(xué)生缺少數(shù)感。題目中的“△AQP≌△ABP”可看著是條件，說明△AQP與△ABP兩個(gè)三角形不僅全等，而且邊、角都是對(duì)應(yīng)的，其中有AQ=AB；從點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)（-23，0）、（23，0）、（0，6）看，除了有AB=43外，你的潛意識(shí)里是否還感覺到了什么？

注意到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)中含有3，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和直覺，可能與30°角、等邊三角形等有關(guān)。不妨嘗試一下：結(jié)合圖形有tan∠OAC=OC1OA=6123=3，顯然，∠OAC=60°，AC=2AO=43=AB，即在拋物線上找到了一個(gè)點(diǎn)C（即Q），使QA=BA，問題得以突破。當(dāng)然也可以計(jì)算AC=AO2+CO2=62+（23）2=43，同樣能解決問題.

將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，讓問題在“在直觀上變得顯然起來”，這是德國數(shù)學(xué)家C。F?？巳R因給我們的教誨。如本例中由3聯(lián)想到30°的角、含有30°角的直角三角形、等邊三角形等；又如由2聯(lián)想到45°的角、等腰直角三角形、正方形等；再如由含有5的數(shù)據(jù)聯(lián)想到黃金分割、正五邊形等。這種數(shù)感不是教師“教”的結(jié)果，而是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)一些特殊數(shù)的感悟.

圖4從學(xué)生答題看，思維定勢也是影響本題有效解決的原因之一。根據(jù)題意，問題可以轉(zhuǎn)化為：在二次函數(shù)y=-112x2+6的圖像上是否存在點(diǎn)Q，使AQ=AB，以A為圓心、AB為半徑作圓與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)就應(yīng)該是符合條件的點(diǎn)（見圖4中的Q1、Q2兩點(diǎn)）。按常規(guī)思路，可以設(shè)拋物線上點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，-112m2+6），由AQ=AB得：

（m+23）2+（-112m2+6）2=（43）2，

化簡后得m4-20m2+163m=0.

顯然，以初中學(xué)生現(xiàn)有水平難以求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這決非命題者的考查意圖。眾多中考試題都是這樣的問題格式：“是否存在××，使××？如果存在，請(qǐng)求出××；如果不存在，請(qǐng)說明理由。”這里的“求出”是指求出符合要求的所有可能情形，然而例2中的“如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想”，許多學(xué)生（包括教師）受大多這類問題呈現(xiàn)方式定勢的影響，總是試圖求出符合要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而出現(xiàn)思維障礙。其實(shí)，這里的“舉例說明”意味著“如果存在”，不論存在多少種情形，只要舉一例說明符合要求即可，不必論述“找”的過程。至于從哪里來、怎么得到的，與答題無關(guān).

4縝推演，云帆濟(jì)海

李白詩言：長風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。解決問題僅有可行方案還不夠，還需要思路上的清晰、算法上的嫻熟，需要運(yùn)算的準(zhǔn)確性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和表達(dá)的規(guī)范性。惟此，才能達(dá)到“直掛云帆濟(jì)滄?！钡木辰纭?011年泰州中考卷第27題就體現(xiàn)了這樣的能力要求.

例3已知：二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（-2，5）.

（1）求b的值，并寫出當(dāng)1

（2）設(shè)點(diǎn)P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在這個(gè)二次函數(shù)的圖像上.

①當(dāng)m=4時(shí)，y1、y2、y3能否作為同一個(gè)三角形三邊的長？請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，y1、y2、y3一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長。請(qǐng)說明理由.

本題實(shí)測難度系數(shù)為0。46，滿分率僅為0。03%，尤其是第（2）題的第②問的得分率極低。學(xué)生認(rèn)為本題比較容易，甚至不少教師也沒有洞察出問題所在。那么，問題究竟在哪里呢？

（Ⅰ）默認(rèn)y1、y2、y3為正數(shù)而不加以證明。本題第（2）題和第①問中，當(dāng)m=4時(shí)P1、P2、P3三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1、y2、y3的對(duì)應(yīng)值分別為5、12、21是具體數(shù)值，且均為正，因?yàn)?+12<21，所以y1、y2、y3不能作為同一個(gè)三角形三邊的長；而第②問中，當(dāng)m≥4時(shí)，y1、y2、y3的對(duì)應(yīng)量是（m-1）2-4、m2-4和（m+1）2-4是函數(shù)圖像上3個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，都是含有m的代數(shù)式，成為三角形的三邊的必要條件是3個(gè)含m的多項(xiàng)式的值是正數(shù)。問題①既為問題②的解決做了鋪墊，客觀上也對(duì)問題②的突破形成了干擾。這里只要說明當(dāng)m≥5時(shí)，y1=（m-1）2-4>0，y2=m2-4>0，y3=（m+1）2-4>0即可.

（Ⅱ）不比較y1、y2、y3的大小而直接證明y1+y2>y3，還有不少學(xué)生將y1、y2、y3三種可能的關(guān)系y1+y2>y3、y1+y3>y2、y2+y3>y1一一列出，試圖通過三個(gè)不等式說明，導(dǎo)致說理不清甚至無法解決。“三條線段構(gòu)成三角形”的充要條件是“其中任意兩條線段之和大于第三條線段的長”，只要證明“兩條較小線段的和大于最長線段”。顯然，利用函數(shù)增減性即可證明最大.

因?yàn)閽佄锞€開口向上，對(duì)稱軸為直線x=1，

當(dāng)x>1時(shí)隨增大而增大

而m≥5時(shí)，點(diǎn)P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在對(duì)稱軸的右側(cè)，所以y1

問題轉(zhuǎn)化為證明“兩個(gè)較小量的和大于最大的量”，即證明y1+y2>y3.

由于y1+y2-y3

=（m-1）2-4+m2-4-[（m+1）2-4]

=m2-4m-4=（m-2）2-8

因?yàn)閙≥5時(shí)，（m-2）2-8≥（5-2）2-8>0，即y1+y2-y3>0，所以y1+y2>y3。

所以，當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，y1、y2、y3一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長.

本題考查了二次函數(shù)的增減性、數(shù)與形之間的關(guān)系，重點(diǎn)考查簡單的代數(shù)推理能力，尤其是考查學(xué)生思維的縝密性。不少學(xué)生還停留在直覺階段，并將直覺作為結(jié)論予以默認(rèn)。事實(shí)上，從直覺思維到邏輯證明，再到有條理地表述是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的飛躍，也是學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行更高層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，教學(xué)時(shí)應(yīng)予以高度重視.

應(yīng)當(dāng)說：數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的解題源于數(shù)學(xué)的知識(shí)技能、抽象概括、邏輯推理和一定量的解題的訓(xùn)練，源于數(shù)學(xué)思想、方法和策略的統(tǒng)攝，更需要數(shù)學(xué)常識(shí)、數(shù)學(xué)直觀、合情推理和數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)的積累，這就要求在平時(shí)的教學(xué)中，將三者有機(jī)整合，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中將相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系的能力，在思維受阻時(shí)尋求突破的能力，在成功解題后的歸納反思的能力。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能達(dá)到思維的勝境。

參考文獻(xiàn)

[1]裴光亞。高考數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)的途徑——三個(gè)“三步曲”[J]。數(shù)學(xué)通訊，2010（10）：43-50。

[2]中華人民共和國教育部。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）[S]。北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：5。

圖4從學(xué)生答題看，思維定勢也是影響本題有效解決的原因之一。根據(jù)題意，問題可以轉(zhuǎn)化為：在二次函數(shù)y=-112x2+6的圖像上是否存在點(diǎn)Q，使AQ=AB，以A為圓心、AB為半徑作圓與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)就應(yīng)該是符合條件的點(diǎn)（見圖4中的Q1、Q2兩點(diǎn)）。按常規(guī)思路，可以設(shè)拋物線上點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，-112m2+6），由AQ=AB得：

（m+23）2+（-112m2+6）2=（43）2，

化簡后得m4-20m2+163m=0.

顯然，以初中學(xué)生現(xiàn)有水平難以求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這決非命題者的考查意圖。眾多中考試題都是這樣的問題格式：“是否存在××，使××？如果存在，請(qǐng)求出××；如果不存在，請(qǐng)說明理由。”這里的“求出”是指求出符合要求的所有可能情形，然而例2中的“如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想”，許多學(xué)生（包括教師）受大多這類問題呈現(xiàn)方式定勢的影響，總是試圖求出符合要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而出現(xiàn)思維障礙。其實(shí)，這里的“舉例說明”意味著“如果存在”，不論存在多少種情形，只要舉一例說明符合要求即可，不必論述“找”的過程。至于從哪里來、怎么得到的，與答題無關(guān).

4縝推演，云帆濟(jì)海

李白詩言：長風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。解決問題僅有可行方案還不夠，還需要思路上的清晰、算法上的嫻熟，需要運(yùn)算的準(zhǔn)確性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和表達(dá)的規(guī)范性。惟此，才能達(dá)到“直掛云帆濟(jì)滄?！钡木辰?。2011年泰州中考卷第27題就體現(xiàn)了這樣的能力要求.

例3已知：二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（-2，5）.

（1）求b的值，并寫出當(dāng)1

（2）設(shè)點(diǎn)P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在這個(gè)二次函數(shù)的圖像上.

①當(dāng)m=4時(shí)，y1、y2、y3能否作為同一個(gè)三角形三邊的長？請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，y1、y2、y3一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長。請(qǐng)說明理由.

本題實(shí)測難度系數(shù)為0。46，滿分率僅為0。03%，尤其是第（2）題的第②問的得分率極低。學(xué)生認(rèn)為本題比較容易，甚至不少教師也沒有洞察出問題所在。那么，問題究竟在哪里呢？

（Ⅰ）默認(rèn)y1、y2、y3為正數(shù)而不加以證明。本題第（2）題和第①問中，當(dāng)m=4時(shí)P1、P2、P3三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1、y2、y3的對(duì)應(yīng)值分別為5、12、21是具體數(shù)值，且均為正，因?yàn)?+12<21，所以y1、y2、y3不能作為同一個(gè)三角形三邊的長；而第②問中，當(dāng)m≥4時(shí)，y1、y2、y3的對(duì)應(yīng)量是（m-1）2-4、m2-4和（m+1）2-4是函數(shù)圖像上3個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，都是含有m的代數(shù)式，成為三角形的三邊的必要條件是3個(gè)含m的多項(xiàng)式的值是正數(shù)。問題①既為問題②的解決做了鋪墊，客觀上也對(duì)問題②的突破形成了干擾。這里只要說明當(dāng)m≥5時(shí)，y1=（m-1）2-4>0，y2=m2-4>0，y3=（m+1）2-4>0即可.

（Ⅱ）不比較y1、y2、y3的大小而直接證明y1+y2>y3，還有不少學(xué)生將y1、y2、y3三種可能的關(guān)系y1+y2>y3、y1+y3>y2、y2+y3>y1一一列出，試圖通過三個(gè)不等式說明，導(dǎo)致說理不清甚至無法解決。“三條線段構(gòu)成三角形”的充要條件是“其中任意兩條線段之和大于第三條線段的長”，只要證明“兩條較小線段的和大于最長線段”。顯然，利用函數(shù)增減性即可證明最大.

因?yàn)閽佄锞€開口向上，對(duì)稱軸為直線x=1，

當(dāng)x>1時(shí)隨增大而增大

而m≥5時(shí)，點(diǎn)P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在對(duì)稱軸的右側(cè)，所以y1

問題轉(zhuǎn)化為證明“兩個(gè)較小量的和大于最大的量”，即證明y1+y2>y3.

由于y1+y2-y3

=（m-1）2-4+m2-4-[（m+1）2-4]

=m2-4m-4=（m-2）2-8

因?yàn)閙≥5時(shí)，（m-2）2-8≥（5-2）2-8>0，即y1+y2-y3>0，所以y1+y2>y3。

所以，當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，y1、y2、y3一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長.

本題考查了二次函數(shù)的增減性、數(shù)與形之間的關(guān)系，重點(diǎn)考查簡單的代數(shù)推理能力，尤其是考查學(xué)生思維的縝密性。不少學(xué)生還停留在直覺階段，并將直覺作為結(jié)論予以默認(rèn)。事實(shí)上，從直覺思維到邏輯證明，再到有條理地表述是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的飛躍，也是學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行更高層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，教學(xué)時(shí)應(yīng)予以高度重視.

應(yīng)當(dāng)說：數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的解題源于數(shù)學(xué)的知識(shí)技能、抽象概括、邏輯推理和一定量的解題的訓(xùn)練，源于數(shù)學(xué)思想、方法和策略的統(tǒng)攝，更需要數(shù)學(xué)常識(shí)、數(shù)學(xué)直觀、合情推理和數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)的積累，這就要求在平時(shí)的教學(xué)中，將三者有機(jī)整合，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中將相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系的能力，在思維受阻時(shí)尋求突破的能力，在成功解題后的歸納反思的能力。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能達(dá)到思維的勝境。

參考文獻(xiàn)

[1]裴光亞。高考數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)的途徑——三個(gè)“三步曲”[J]。數(shù)學(xué)通訊，2010（10）：43-50。

[2]中華人民共和國教育部。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）[S]。北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：5。

圖4從學(xué)生答題看，思維定勢也是影響本題有效解決的原因之一。根據(jù)題意，問題可以轉(zhuǎn)化為：在二次函數(shù)y=-112x2+6的圖像上是否存在點(diǎn)Q，使AQ=AB，以A為圓心、AB為半徑作圓與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)就應(yīng)該是符合條件的點(diǎn)（見圖4中的Q1、Q2兩點(diǎn)）。按常規(guī)思路，可以設(shè)拋物線上點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，-112m2+6），由AQ=AB得：

（m+23）2+（-112m2+6）2=（43）2，

化簡后得m4-20m2+163m=0.

顯然，以初中學(xué)生現(xiàn)有水平難以求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這決非命題者的考查意圖。眾多中考試題都是這樣的問題格式：“是否存在××，使××？如果存在，請(qǐng)求出××；如果不存在，請(qǐng)說明理由。”這里的“求出”是指求出符合要求的所有可能情形，然而例2中的“如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想”，許多學(xué)生（包括教師）受大多這類問題呈現(xiàn)方式定勢的影響，總是試圖求出符合要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而出現(xiàn)思維障礙。其實(shí)，這里的“舉例說明”意味著“如果存在”，不論存在多少種情形，只要舉一例說明符合要求即可，不必論述“找”的過程。至于從哪里來、怎么得到的，與答題無關(guān).

4縝推演，云帆濟(jì)海

李白詩言：長風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。解決問題僅有可行方案還不夠，還需要思路上的清晰、算法上的嫻熟，需要運(yùn)算的準(zhǔn)確性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和表達(dá)的規(guī)范性。惟此，才能達(dá)到“直掛云帆濟(jì)滄?！钡木辰?。2011年泰州中考卷第27題就體現(xiàn)了這樣的能力要求.

例3已知：二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（-2，5）.

（1）求b的值，并寫出當(dāng)1

（2）設(shè)點(diǎn)P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在這個(gè)二次函數(shù)的圖像上.

①當(dāng)m=4時(shí)，y1、y2、y3能否作為同一個(gè)三角形三邊的長？請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，y1、y2、y3一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長。請(qǐng)說明理由.

本題實(shí)測難度系數(shù)為0。46，滿分率僅為0。03%，尤其是第（2）題的第②問的得分率極低。學(xué)生認(rèn)為本題比較容易，甚至不少教師也沒有洞察出問題所在。那么，問題究竟在哪里呢？

（Ⅰ）默認(rèn)y1、y2、y3為正數(shù)而不加以證明。本題第（2）題和第①問中，當(dāng)m=4時(shí)P1、P2、P3三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1、y2、y3的對(duì)應(yīng)值分別為5、12、21是具體數(shù)值，且均為正，因?yàn)?+12<21，所以y1、y2、y3不能作為同一個(gè)三角形三邊的長；而第②問中，當(dāng)m≥4時(shí)，y1、y2、y3的對(duì)應(yīng)量是（m-1）2-4、m2-4和（m+1）2-4是函數(shù)圖像上3個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，都是含有m的代數(shù)式，成為三角形的三邊的必要條件是3個(gè)含m的多項(xiàng)式的值是正數(shù)。問題①既為問題②的解決做了鋪墊，客觀上也對(duì)問題②的突破形成了干擾。這里只要說明當(dāng)m≥5時(shí)，y1=（m-1）2-4>0，y2=m2-4>0，y3=（m+1）2-4>0即可.

（Ⅱ）不比較y1、y2、y3的大小而直接證明y1+y2>y3，還有不少學(xué)生將y1、y2、y3三種可能的關(guān)系y1+y2>y3、y1+y3>y2、y2+y3>y1一一列出，試圖通過三個(gè)不等式說明，導(dǎo)致說理不清甚至無法解決?！叭龡l線段構(gòu)成三角形”的充要條件是“其中任意兩條線段之和大于第三條線段的長”，只要證明“兩條較小線段的和大于最長線段”。顯然，利用函數(shù)增減性即可證明最大.

因?yàn)閽佄锞€開口向上，對(duì)稱軸為直線x=1，

當(dāng)x>1時(shí)隨增大而增大

而m≥5時(shí)，點(diǎn)P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在對(duì)稱軸的右側(cè)，所以y1

問題轉(zhuǎn)化為證明“兩個(gè)較小量的和大于最大的量”，即證明y1+y2>y3.

由于y1+y2-y3

=（m-1）2-4+m2-4-[（m+1）2-4]

=m2-4m-4=（m-2）2-8

因?yàn)閙≥5時(shí)，（m-2）2-8≥（5-2）2-8>0，即y1+y2-y3>0，所以y1+y2>y3。

所以，當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，y1、y2、y3一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長.

本題考查了二次函數(shù)的增減性、數(shù)與形之間的關(guān)系，重點(diǎn)考查簡單的代數(shù)推理能力，尤其是考查學(xué)生思維的縝密性。不少學(xué)生還停留在直覺階段，并將直覺作為結(jié)論予以默認(rèn)。事實(shí)上，從直覺思維到邏輯證明，再到有條理地表述是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的飛躍，也是學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行更高層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，教學(xué)時(shí)應(yīng)予以高度重視.

應(yīng)當(dāng)說：數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的解題源于數(shù)學(xué)的知識(shí)技能、抽象概括、邏輯推理和一定量的解題的訓(xùn)練，源于數(shù)學(xué)思想、方法和策略的統(tǒng)攝，更需要數(shù)學(xué)常識(shí)、數(shù)學(xué)直觀、合情推理和數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)的積累，這就要求在平時(shí)的教學(xué)中，將三者有機(jī)整合，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中將相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系的能力，在思維受阻時(shí)尋求突破的能力，在成功解題后的歸納反思的能力。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能達(dá)到思維的勝境。

參考文獻(xiàn)

[1]裴光亞。高考數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)的途徑——三個(gè)“三步曲”[J]。數(shù)學(xué)通訊，2010（10）：43-50。

[2]中華人民共和國教育部。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）[S]。北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：5。