折疊問題如何解

華騰飛

近年來，各地的中考試卷中頻頻出現圖形折疊的考題，有些同學對求解此類問題感到無從下手，其實求解此類問題的關鍵是要充分利用軸對稱圖形，靈活運用相關知識容易求解。下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法，希望對提高同學們的解題技能和技巧能夠有所幫助。

1翻折三角形的一角

例1（2013煙臺）如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為度。

解析連接BO、CO，因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=63°。根據垂直平分線、角平分線的性質及等腰三角形的對稱性可知，∠ABO=∠BAO=∠ACO=27°，所以∠OBC=∠BCO=36°，所以∠COE=∠BCO=36°，所以在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠BCO=180°-36°-36°=108°。

圖1圖2例2（2013徐州）如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使點C落在斜邊AB上的某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）。當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由。

解析連接CD，與EF交于O點。因為CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，所以CD=DB=112AB，所以∠DCB=∠B。由折疊知，∠COF=90°，所以∠DCB+∠CFE=90°。因為∠B+∠A=90°，所以∠CFE=∠A。又因為∠C=∠C，所以△CEF∽△CBA。

2翻折正方形的一角

例3（2013成都）如圖3所示，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C與點C′重合。若AB=2，則C′D的長為（）

A。1B。2C。3D。4

解析根據矩形的對邊相等，得CD=AB=2，由折疊可知C′D=2。故應選B.

圖3圖4例4（2013河南）如圖4所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上的一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處。當△CEB′為直接三角形時，BE的長為。

解析（1）當點B′落在AD上時，如圖5所示，∠B′EC=90°，此時∠BAB′=∠B=∠AB′E=90°，AB′=AB，則四邊形ABEB′是正方形，BE=AB=3。

（2）如圖6所示，連結AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=5。當B′落在AC上時，∠EB′C=90°，此時∠AB′E=∠B=90°，AB′=AB=3，B′E=BE，則B′C=5-3=2。

設BE=x，則B′E=x，EC=4-x。在Rt△B′EC中，由勾股定理，得B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4-x）2，解之得：x=1。5。故本題應填：3或1。5。

圖5圖63翻折菱形的一角

例5（2013南京）如圖7所示，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF。若菱形ABCD的邊長為2cm，∠A=120°，則EF=cm。

圖7圖8解析如圖8所示，連結BD、AO，則B、O、D三點共線，BO=112BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD，所以∠BAO=60°。

在Rt△AOB中，BO=AB·sin60°=2×312=3cm。

由折疊知，AO垂直平分EF，所以EF∥BD，所以EF是△ABD的中位線，所以EF=112BD=BO=3cm。

4翻折四邊形的一角

例6（2013蘭州）如圖9所示，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8。以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E。

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖10所示，將圖9中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長。圖9圖10證與解（1）在Rt△OAB中，D為OB的中點，所以DO=DA，所以∠DAO=∠DOA=30°。因為△OBC為等邊三角形，所以∠BCO=∠COB=60°，所以∠EOA=90°，所以OC∥AB，∠AEO=60°=∠BCO，所以BC∥AE，所以四邊形ABCE是平行四邊形。

（2）由題意知OC=OB=8。

設OG=x，則由折疊可知，AG=GC=8-x。

在Rt△ABO中，因為∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，所以OA=OB·cos30°=8×312=43。

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：OG2+OA2=AG2，即x2+（43）2=（8-x）2，解得x=1，所以OG=1。endprint

近年來，各地的中考試卷中頻頻出現圖形折疊的考題，有些同學對求解此類問題感到無從下手，其實求解此類問題的關鍵是要充分利用軸對稱圖形，靈活運用相關知識容易求解。下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法，希望對提高同學們的解題技能和技巧能夠有所幫助。

1翻折三角形的一角

例1（2013煙臺）如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為度。

解析連接BO、CO，因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=63°。根據垂直平分線、角平分線的性質及等腰三角形的對稱性可知，∠ABO=∠BAO=∠ACO=27°，所以∠OBC=∠BCO=36°，所以∠COE=∠BCO=36°，所以在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠BCO=180°-36°-36°=108°。

圖1圖2例2（2013徐州）如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使點C落在斜邊AB上的某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）。當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由。

解析連接CD，與EF交于O點。因為CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，所以CD=DB=112AB，所以∠DCB=∠B。由折疊知，∠COF=90°，所以∠DCB+∠CFE=90°。因為∠B+∠A=90°，所以∠CFE=∠A。又因為∠C=∠C，所以△CEF∽△CBA。

2翻折正方形的一角

例3（2013成都）如圖3所示，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C與點C′重合。若AB=2，則C′D的長為（）

A。1B。2C。3D。4

解析根據矩形的對邊相等，得CD=AB=2，由折疊可知C′D=2。故應選B.

圖3圖4例4（2013河南）如圖4所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上的一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處。當△CEB′為直接三角形時，BE的長為。

解析（1）當點B′落在AD上時，如圖5所示，∠B′EC=90°，此時∠BAB′=∠B=∠AB′E=90°，AB′=AB，則四邊形ABEB′是正方形，BE=AB=3。

（2）如圖6所示，連結AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=5。當B′落在AC上時，∠EB′C=90°，此時∠AB′E=∠B=90°，AB′=AB=3，B′E=BE，則B′C=5-3=2。

設BE=x，則B′E=x，EC=4-x。在Rt△B′EC中，由勾股定理，得B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4-x）2，解之得：x=1。5。故本題應填：3或1。5。

圖5圖63翻折菱形的一角

例5（2013南京）如圖7所示，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF。若菱形ABCD的邊長為2cm，∠A=120°，則EF=cm。

圖7圖8解析如圖8所示，連結BD、AO，則B、O、D三點共線，BO=112BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD，所以∠BAO=60°。

在Rt△AOB中，BO=AB·sin60°=2×312=3cm。

由折疊知，AO垂直平分EF，所以EF∥BD，所以EF是△ABD的中位線，所以EF=112BD=BO=3cm。

4翻折四邊形的一角

例6（2013蘭州）如圖9所示，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8。以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E。

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖10所示，將圖9中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長。圖9圖10證與解（1）在Rt△OAB中，D為OB的中點，所以DO=DA，所以∠DAO=∠DOA=30°。因為△OBC為等邊三角形，所以∠BCO=∠COB=60°，所以∠EOA=90°，所以OC∥AB，∠AEO=60°=∠BCO，所以BC∥AE，所以四邊形ABCE是平行四邊形。

（2）由題意知OC=OB=8。

設OG=x，則由折疊可知，AG=GC=8-x。

在Rt△ABO中，因為∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，所以OA=OB·cos30°=8×312=43。

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：OG2+OA2=AG2，即x2+（43）2=（8-x）2，解得x=1，所以OG=1。endprint

近年來，各地的中考試卷中頻頻出現圖形折疊的考題，有些同學對求解此類問題感到無從下手，其實求解此類問題的關鍵是要充分利用軸對稱圖形，靈活運用相關知識容易求解。下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法，希望對提高同學們的解題技能和技巧能夠有所幫助。

1翻折三角形的一角

例1（2013煙臺）如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為度。

解析連接BO、CO，因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=63°。根據垂直平分線、角平分線的性質及等腰三角形的對稱性可知，∠ABO=∠BAO=∠ACO=27°，所以∠OBC=∠BCO=36°，所以∠COE=∠BCO=36°，所以在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠BCO=180°-36°-36°=108°。

圖1圖2例2（2013徐州）如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使點C落在斜邊AB上的某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）。當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由。

解析連接CD，與EF交于O點。因為CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，所以CD=DB=112AB，所以∠DCB=∠B。由折疊知，∠COF=90°，所以∠DCB+∠CFE=90°。因為∠B+∠A=90°，所以∠CFE=∠A。又因為∠C=∠C，所以△CEF∽△CBA。

2翻折正方形的一角

例3（2013成都）如圖3所示，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C與點C′重合。若AB=2，則C′D的長為（）

A。1B。2C。3D。4

解析根據矩形的對邊相等，得CD=AB=2，由折疊可知C′D=2。故應選B.

圖3圖4例4（2013河南）如圖4所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上的一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處。當△CEB′為直接三角形時，BE的長為。

解析（1）當點B′落在AD上時，如圖5所示，∠B′EC=90°，此時∠BAB′=∠B=∠AB′E=90°，AB′=AB，則四邊形ABEB′是正方形，BE=AB=3。

（2）如圖6所示，連結AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=5。當B′落在AC上時，∠EB′C=90°，此時∠AB′E=∠B=90°，AB′=AB=3，B′E=BE，則B′C=5-3=2。

設BE=x，則B′E=x，EC=4-x。在Rt△B′EC中，由勾股定理，得B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4-x）2，解之得：x=1。5。故本題應填：3或1。5。

圖5圖63翻折菱形的一角

例5（2013南京）如圖7所示，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF。若菱形ABCD的邊長為2cm，∠A=120°，則EF=cm。

圖7圖8解析如圖8所示，連結BD、AO，則B、O、D三點共線，BO=112BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD，所以∠BAO=60°。

在Rt△AOB中，BO=AB·sin60°=2×312=3cm。

由折疊知，AO垂直平分EF，所以EF∥BD，所以EF是△ABD的中位線，所以EF=112BD=BO=3cm。

4翻折四邊形的一角

例6（2013蘭州）如圖9所示，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8。以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E。

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖10所示，將圖9中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長。圖9圖10證與解（1）在Rt△OAB中，D為OB的中點，所以DO=DA，所以∠DAO=∠DOA=30°。因為△OBC為等邊三角形，所以∠BCO=∠COB=60°，所以∠EOA=90°，所以OC∥AB，∠AEO=60°=∠BCO，所以BC∥AE，所以四邊形ABCE是平行四邊形。

（2）由題意知OC=OB=8。

設OG=x，則由折疊可知，AG=GC=8-x。

在Rt△ABO中，因為∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，所以OA=OB·cos30°=8×312=43。

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：OG2+OA2=AG2，即x2+（43）2=（8-x）2，解得x=1，所以OG=1。endprint