傳承數(shù)學(xué)文化培養(yǎng)學(xué)習(xí)信心

俞求是

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第17章是“勾股定理”.勾股定理是初等幾何的一個重要定理，有廣泛的應(yīng)用.本章主要介紹了勾股定理及其逆定理，并介紹這兩個定理的一些初步的應(yīng)用，另外，結(jié)合這兩個定理，介紹了逆命題和逆定理的有關(guān)知識.

1本章內(nèi)容概述

直角三角形是一種極常見而特殊的三角形，它有許多性質(zhì)，如兩個銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性質(zhì)，有極其廣泛的應(yīng)用.平角的一半就是直角，空間中一條水平方向的直線和另一條鉛垂方向的相交直線也相交成一個直角，直角是生產(chǎn)和生活中最常見的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，這就搭建起了幾何圖形和數(shù)量關(guān)系之間的一座橋梁，從而發(fā)揮了重要的作用.勾股定理不僅在平面幾何中是重要的定理，而且在三角學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)中都是理論的基礎(chǔ)，定理對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響.沒有勾股定理，就難以建立起整個數(shù)學(xué)的大廈.所以，勾股定理不僅被認(rèn)為是平面幾何中最重要的定理之一，也被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一.

本章分為兩節(jié)，第一節(jié)介紹勾股定理及其應(yīng)用，第二節(jié)介紹勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.

在第一節(jié)中，教科書安排了對勾股定理的觀察、計(jì)算、猜想、證明及簡單應(yīng)用的過程.教科書首先簡略講述了畢達(dá)哥拉斯從觀察地面圖案的面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)勾股定理的傳說故事，并讓學(xué)生也去觀察同樣的圖案，以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形這種特殊直角三角形下的特殊面積關(guān)系.在進(jìn)一步的“探究”中又讓學(xué)生對某些直角三角形進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和以斜邊為邊長的正方形的面積，發(fā)現(xiàn)以兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.然后對更一般的結(jié)論提出了猜想.

歷史上對勾股定理證明的研究很多，得到了很多證明方法.教科書正文中介紹了公元3世紀(jì)三國時期中國數(shù)學(xué)家趙爽的證明方法.這是一種面積證法，依據(jù)是圖形在經(jīng)過適當(dāng)切割后再另拼接成一個新圖形，切割拼接前后圖形的各部分的面積之和不變，即利用面積不變的關(guān)系和對圖形面積的不同算法推出圖形的性質(zhì).在教科書中，圖17.1-6（1）中的圖形經(jīng)過切割拼接后得到圖17.1-6（3）中的圖形，證明了勾股定理.

根據(jù)勾股定理，已知兩條直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長.根據(jù)勾股定理還可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜邊和一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長.也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長.教科書相應(yīng)安排了兩個例題和一個“探究”欄目，讓學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用勾股定理解決問題，并運(yùn)用定理證明了斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

在第二節(jié)中，教科書首先讓學(xué)生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角形都是直角三角形，從而作出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.教科書借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）證明了這個猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一個三角形是直角三角形的一種重要依據(jù).教科書安排了兩個例題，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用這個定理.本節(jié)結(jié)合勾股定理的逆定理的內(nèi)容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立.為鞏固這些內(nèi)容，相應(yīng)配備了一些練習(xí)和習(xí)題.

2編寫時考慮的幾個問題

2.1讓學(xué)生經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過程

勾股定理及其逆定理都是初等數(shù)學(xué)中的重要定理，同時，這兩個定理也都是多數(shù)初中學(xué)生在教師的精心引導(dǎo)下通過探索能夠發(fā)現(xiàn)并證明的定理，教學(xué)中要重視這兩個定理的教學(xué)，在教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得兩個定理的證明.

教科書對勾股定理的教學(xué)，設(shè)計(jì)了一個從特殊到一般的探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的結(jié)論證明的趙爽證法的引入.這是一個典型的探索和證明的過程.類似地，對勾股定理的逆定理，教科書也設(shè)計(jì)了從特殊結(jié)論到一般結(jié)論的探索和證明的完整過程.

這樣安排教學(xué)，有利于學(xué)生認(rèn)識結(jié)論研究的必要性，培養(yǎng)學(xué)生對結(jié)論的探索興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力和嚴(yán)密審慎的思考習(xí)慣.

2.2通過介紹我國古代研究勾股定理的成就培養(yǎng)民族自豪感

我國古代對數(shù)學(xué)有許多杰出的研究成果，許多成就為世界所矚目和高度評價，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)介紹我國古代數(shù)學(xué)成就，培養(yǎng)學(xué)生愛國熱情和民族自豪感.

我國古代對勾股定理的研究就是一個突出的例子.根據(jù)成書年代不晚于公元前2世紀(jì)西漢時期的《周髀算經(jīng)》進(jìn)行推算，有可能在公元前21世紀(jì)大禹治水時人們就會應(yīng)用“勾三股四弦五”的特殊結(jié)論，公元前6、7世紀(jì)時人們還知道了勾股定理的一般結(jié)論并能靈活運(yùn)用結(jié)論解決許多實(shí)際測量問題.約公元3世紀(jì)三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注寫《勾股圓方圖注》，用“弦圖”對勾股定理給出了一般的證明，這是我國對勾股定理一般結(jié)論的最早的證明.我國古代不僅較早獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理有關(guān)“勾三股四弦五”的一些特殊結(jié)論，而且也比較早使用了巧妙的方法獨(dú)立證明了勾股定理一般結(jié)論，在勾股定理的應(yīng)用方面也有許多深入的研究并達(dá)到熟練的程度.從《周髀算經(jīng)》對勾股定理的多方面的論述，此書所記錄的在公元前6、7世紀(jì)時在我國人們已經(jīng)能夠熟練且自信地把勾股定理應(yīng)用到任意邊長的直角三角形的事實(shí)，可以推測在比《周髀算經(jīng)》成書早得多的時候，我國對勾股定理不僅知其然而且知其所以然，只是缺少文獻(xiàn)明確記載對定理的論證.這些，都說明我國古代勞動人民的卓越聰明才智，也是我國對世界數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)，是值得我們自豪的.

本章教科書結(jié)合教學(xué)內(nèi)容介紹了我國古代對勾股定理的有關(guān)研究成果.在引言中介紹了現(xiàn)存的我國古代的數(shù)學(xué)著作中最早的著作《周髀算經(jīng)》的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的證法很多，教科書為了弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)成就，介紹了趙爽的證法.首先介紹趙爽“弦圖”，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路.這些內(nèi)容表現(xiàn)了我國古代勞動人民對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.正因?yàn)榇耍w爽“弦圖”被選為2002年在北京召開的世界數(shù)學(xué)家大會的會徽.教科書還在習(xí)題中安排了我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題，展現(xiàn)我國古代在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果.endprint

本章也介紹了國外對勾股定理的有關(guān)研究成果.勾股定理在西方通常仍被稱為畢達(dá)哥拉斯定理.畢達(dá)哥拉斯是古希臘偉大數(shù)學(xué)家，現(xiàn)在國外一般認(rèn)為是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早證明了此定理.在勾股定理的教學(xué)內(nèi)容中，教科書從和畢達(dá)哥拉斯有關(guān)傳說故事引入對定理的探索，并介紹了這位古希臘數(shù)學(xué)家.在勾股定理的逆定理的有關(guān)內(nèi)容中，教科書則從古埃及人畫直角的方法引入.在本章的復(fù)習(xí)題中還引入了古希臘哲學(xué)家柏拉圖對勾股數(shù)的研究結(jié)論作為練習(xí)題.在“閱讀與思考勾股定理的證明”中還介紹了國外幾種證明勾股定理的方法.在這次教材修訂所增寫的另一個“閱讀與思考費(fèi)馬大定理”中則進(jìn)一步介紹了和勾股定理有一定關(guān)系的費(fèi)馬大定理的研究進(jìn)展，從另一個角度說明了勾股定理對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，并以數(shù)學(xué)家在攻克費(fèi)馬大定理的過程中所表現(xiàn)出來的精神去影響學(xué)生，培育學(xué)生的良好品質(zhì).

和勾股定理有關(guān)的數(shù)學(xué)歷史文化背景知識非常豐富，在教學(xué)中，應(yīng)注意適度引入，使學(xué)生對勾股定理的有關(guān)歷史發(fā)展有所了解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.特別應(yīng)通過向?qū)W生介紹我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國的思想感情，培養(yǎng)民族自豪感，教導(dǎo)學(xué)生打好數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，為中華民族的偉大復(fù)興而努力學(xué)習(xí).

3對教學(xué)的幾個建議

3.1通過教學(xué)提高學(xué)生分析問題解決問題的能力

本章內(nèi)容雖然不多，但教學(xué)內(nèi)涵卻很豐富.勾股定理及其逆定理不僅在數(shù)學(xué)理論體系中有重要的地位，定理本身也有重要的實(shí)際應(yīng)用價值.本章還結(jié)合兩個定理引入了逆命題、逆定理等比較抽象的概念.這些知識本身易混易錯，學(xué)習(xí)有一定的難度.應(yīng)該對本章的教學(xué)引起重視，使本章的教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力等方面發(fā)揮應(yīng)有的作用.

在勾股定理的教學(xué)中，一方面要重視學(xué)生觀察、猜想能力的培養(yǎng)，也要重視從特殊結(jié)論到一般結(jié)論的嚴(yán)密思維能力的培養(yǎng).從勾股定理到它的逆定理，學(xué)生往往會從直覺出發(fā)想當(dāng)然地認(rèn)為勾股定理的逆命題也一定成立，而從這種直覺上升到邏輯進(jìn)一步進(jìn)行嚴(yán)密地思考和證明，認(rèn)識到兩個結(jié)論有聯(lián)系卻并不相同，認(rèn)識到新的結(jié)論仍需要經(jīng)過嚴(yán)格地證明，這是思維能力提高的重要體現(xiàn)，這在教學(xué)中是應(yīng)該引起重視的.另外，逆命題概念的教學(xué)也是一個教學(xué)難點(diǎn)，怎樣寫出一個命題的逆命題，原命題和逆命題真假的多種可能性，怎樣的命題可以稱為逆定理，這些都是學(xué)生容易出錯的知識點(diǎn).

勾股定理及其逆定理在解決實(shí)際問題中也有廣泛的應(yīng)用價值，在證明幾何結(jié)論中則起著非常重要的作用，在教學(xué)中要引起充分的重視.教學(xué)中可以適當(dāng)把一些中外數(shù)學(xué)史中的材料充實(shí)到課堂教學(xué)中，使本章的教學(xué)更加充實(shí)以取得更好的教學(xué)效果.

3.2圍繞證明勾股定理培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心

一個缺乏自信的人是不可能成就一番事業(yè)的.自信就是不示弱，自信就是自強(qiáng)不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困難作斗爭.數(shù)學(xué)課往往是初中學(xué)生最想學(xué)好又不容易學(xué)好的一門課，而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所培養(yǎng)起來的自信心往往成為學(xué)生今后成長的重要力量，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中要特別重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，進(jìn)而培養(yǎng)更廣泛的自信心.勾股定理被公認(rèn)是初等幾何中最重要的定理之一，定理結(jié)論奇異、形式優(yōu)美，尋找勾股定理的新證法成為古今中外名家百姓都熱衷研究的問題，而勾股定理的趙爽證法被認(rèn)為是極其優(yōu)美簡潔的證明方法.了解、理解甚至獨(dú)立發(fā)現(xiàn)一個重要定理的證明方法對樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心往往能起到特別的作用.勾股定理的證明方法相當(dāng)多，讓學(xué)生從定理?xiàng)l件和結(jié)論去分析找到一個新的證明方法并非高不可攀，所以，在本定理的教學(xué)中，除正文介紹的有關(guān)內(nèi)容外，可以根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，對學(xué)生提出不同的教學(xué)要求，可以讓學(xué)生自主探究定理的證明，既可以讓學(xué)生根據(jù)圖形分析自主得到證法，也可以安排收集定理多種證法的數(shù)學(xué)課外活動，通過這些活動，使學(xué)生對勾股定理有較好的理解，從而培養(yǎng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

3.3適當(dāng)總結(jié)和定理、逆定理有關(guān)的內(nèi)容

本章引出了逆定理的概念，為了讓學(xué)生對這一概念掌握得更好，可以在小結(jié)時結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的一些結(jié)論以加深理解.例如，可以結(jié)合在本套教科書第十二章“全等三角形”中的兩個定理：“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”和“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”來進(jìn)行復(fù)習(xí).這里，前一個結(jié)論是角的平分線的性質(zhì)定理，后一個結(jié)論是角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理.還可以舉出其他的一些適當(dāng)?shù)睦?這樣就可以從定理、逆定理的角度認(rèn)識已學(xué)的一些結(jié)論，明確其中一些結(jié)論之間的關(guān)系.

對互逆命題、互逆定理的概念，學(xué)生理解它們通常困難不大，但對那些不是以“如果……那么……”形式給出的命題，敘述它們的逆命題有時就會有困難，可以嘗試首先把命題變?yōu)椤叭绻敲础钡男问?當(dāng)然，要注意把握教學(xué)要求，不宜涉及結(jié)構(gòu)太復(fù)雜的命題.

概括提煉：

勾股定理及其逆定理是初等數(shù)學(xué)的重要定理，它們溝通了形數(shù)關(guān)系，應(yīng)用廣泛影響深遠(yuǎn).定理的教學(xué)應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生觀察、探索、猜想，并得到嚴(yán)格的證明.定理的教學(xué)過程應(yīng)該傳播相關(guān)數(shù)學(xué)文化知識，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.endprint