“圓”形畢露

劉清泉　楊一麗

圓是幾何圖形中最規(guī)范、最簡(jiǎn)約的一種，許多數(shù)學(xué)問題與圓密切相關(guān)，特別是一些“直線型”圖形的相關(guān)問題，求解時(shí)若能根據(jù)題意構(gòu)造“輔助圓”，則達(dá)到避繁就簡(jiǎn)的效果，其求解過程流暢清晰。雖然由于新課標(biāo)減少了與圓相關(guān)的知識(shí)和技能的安排，降低了與圓相關(guān)的思想與方法的要求，在中考試題中，平面幾何部分似乎重“直”輕“曲”，但是筆者認(rèn)真研究近幾年的中考試題后，發(fā)現(xiàn)許多直線型的問題若以能“曲”輔“直”，可別開生面.

引例如圖1，在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、M重合），將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示），并加以證明。

（北京市，2012年）

簡(jiǎn)解連結(jié)PC，不難得到PC=PA=PQ，故以P為圓心、PA為半徑作輔助圓⊙P，從而∠ACQ=112∠APQ=α，進(jìn)而，在Rt△CDM中，∠CDB=90°-∠ACD=90°-α.

小結(jié)顯見，輔助圓的巧妙構(gòu)造為直線型問題的解決開辟了一個(gè)新的“曲線”通道。事實(shí)上，借助“輔助圓”求解不僅方法巧妙，而且構(gòu)造緣起自然。筆者發(fā)現(xiàn)在近幾年中考試題的客觀題、主觀題中，許多題目都可以利用“輔助圓”解答，特別地，這些題目往往都具有壓軸的味道。筆者以其中的典型案例簡(jiǎn)要分析，其中案例的具體求解過程及利用直線型相關(guān)方法的求解過程，此處不再贅述.

圖1圖2例1定義：若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線。若四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)。（寧波市，2013年）

簡(jiǎn)析如圖2，可知點(diǎn)B、A、D相對(duì)固定，滿足條件的點(diǎn)C可如下尋找：（1）以B為圓心、AB為半徑作⊙B；（2）分別以A、D為圓心，AD為半徑的作⊙A、⊙D以及AD中垂線；得五個(gè)公共點(diǎn)C1～C5，考慮五種情形進(jìn)而求解（此處不再贅述）.

小結(jié)“等腰三角形”作為特殊三角形，中考試題中很多見，相關(guān)的許多中考題中，常常涉及與例1類似的題目，解答時(shí)首先需要畫出可能情形的示意圖，進(jìn)而分類討論解答，其中用到的“交軌法”涉及到“輔助圓”（利用圓的定義），這一環(huán)節(jié)十分關(guān)鍵，倘若“離散”尋找滿足題目條件的所有情形，除費(fèi)時(shí)、費(fèi)力外，也容易情形疏漏。再比如2012年揚(yáng)州市中考題27、2010年濟(jì)南市中考題12等也都需要運(yùn)用“交軌法”。

例2如圖3，在△ACE中，AC=CE，M、B、D分別是AE、AC、CE的中點(diǎn)。四邊形BCGF和CDHN都是正方形，求證：△FMH是等腰直角三角形。（河北省，2009年）

圖3簡(jiǎn)解連結(jié)CM、CF、CH、AF、EH，由AC=CE及M為AE中點(diǎn)，得CM⊥AE，不難得到，∠AFC=∠AMC=90°，從而，A、M、C、F四點(diǎn)共圓，在⊙B中，∠FMA=112∠FBA=45°，同理，E、M、C、H四點(diǎn)共圓，在⊙D中，∠HME=112∠HDE=45°，進(jìn)而∠FMH=90°，由AC=CE，得∠CAM=∠CEM.又∠FAB=∠HED=45°，則∠FAM=∠HEM，又⊙B與⊙D為等圓，得FM=HM，故△FMH為等腰直角三角形.

小結(jié)本題利用輔助圓求解，主要運(yùn)用圓周角定理，其思路直接、條理清晰，從“圓”的角度解決了直線型問題，極大豐富了解決問題的策略，事實(shí)上，添加輔助圓的依據(jù)可歸結(jié)為：同線異側(cè)張角互補(bǔ)獲得四點(diǎn)共圓（即對(duì)角互補(bǔ)的四邊形為圓內(nèi)接四邊形），本例同線異側(cè)張直角為其中的特殊情形，2013年宜興市中考一模題28第（1）小題、也是這種情況，而2011年莆田中考題25第（2）①題亦可以利用“同線異側(cè)張角互補(bǔ)”獲得四點(diǎn)共圓，進(jìn)而求解。當(dāng)然，本例以“圓的定義”為切入點(diǎn)亦可添加輔助圓⊙B、⊙D.

例3如圖4，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上的點(diǎn)?！螦EF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF。（臨沂市，2009年）

簡(jiǎn)解連結(jié)AF、AC，易得∠ACF=90°=∠AEF，故A、E、C、F四點(diǎn)共圓，從而∠AFE=∠ACE=45°，進(jìn)而易得AE=EF.

小結(jié)證明線段相等，除考慮全等三角形外，等腰三角形也是常用的方法，故“連結(jié)AF”比較自然，進(jìn)而連結(jié)AC利用輔助圓證明，其解法簡(jiǎn)約大方，輔助線的類別是“連結(jié)線”，比構(gòu)造“全等三角形”添加的輔助線更直接。本例中，由同線同側(cè)張角相等獲得四點(diǎn)共圓，進(jìn)而求解。另外，北京市2011年中考題24的（2）、（3）小題也是同類情形的案例.

上述案例求解時(shí)大體上“挖掘隱含的輔助圓解題”：?jiǎn)栴}的題設(shè)或圖形本身隱含“點(diǎn)共圓”，此時(shí)，補(bǔ)出輔助圓，合理挖掘圖形隱含的性質(zhì)，從而使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化。

圖4圖5例4如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（6，0），B（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CD、DE，以CD，DE為邊作CDEF。點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在唯一的位置，使得CDEF為矩形，求出所有滿足條件的m的值。（溫州市，2013年）

簡(jiǎn)析顯然，“CDEF為矩形”等價(jià)于“在CDEF中，∠CDE=90°”，“x軸上的點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在唯一的位置，使得CDEF為矩形”等價(jià)于“在運(yùn)動(dòng)過程中，x軸上存在唯一的點(diǎn)，使∠CDE=90°”，進(jìn)而等價(jià)于“以CE為直徑的圓與x軸相切（包括圓位于x軸上方、下方兩種）或過原點(diǎn)O（包括O、C重合與E、A重合兩種）”?？紤]四種情形進(jìn)而求解（此處不再贅述）.

小結(jié)顯然，本例中的“CDEF為矩形”等價(jià)于“△CDE為直角三角形（D為直角頂點(diǎn)）”，“直角三角形”作為特殊三角形，中考試題中也很多見，例如2013年福州市中考題21、2012年海南省中考題24、2012年廣州市中考題24、2012年云南省中考題23、2008年天津市中考題10等，涉及“線段張直角”的情形?！皬堉苯恰钡木€段有“固定”的、亦有“運(yùn)動(dòng)”的（如本例），求解時(shí)，圖6常常轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而尋求解決的策略.endprint

例5如圖6，點(diǎn)M（x，y）為拋物線y=112x2-312x-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠AMB≤45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍。（寧波市副卷，2012年）

簡(jiǎn)解不難確定，點(diǎn)M不可能位于x軸下方。當(dāng)M位于x軸上方，且∠AMB=45°時(shí)，作△AMB的外接圓⊙P，連結(jié)PA、PB，作PQ⊥x軸，由題意不難得到，P（312，512）、且⊙P半徑r=5122，

則（x-312）2+（y-512）2=5122，（1）

y=112x2-312x-2。（2）

由（2），得（x-312）2=2y+2514，代入（1），

進(jìn)而求得y1=0（舍），y2=3，此時(shí)x1=-2，x2=5，故x≤-2或x≥5時(shí)，∠AMB≤45°.

小結(jié)本例中，由定線AB張角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圓⊙P，通過構(gòu)造“輔助外接圓”將問題轉(zhuǎn)化為拋物線與圓交點(diǎn)問題，利用方程組思想求解。盡管方程組求解有較高要求，不過本例實(shí)是“數(shù)形結(jié)合”的集大成者，有以形助數(shù)，亦有以數(shù)輔形。數(shù)形結(jié)合，使代數(shù)與幾何等知識(shí)相互滲透，綜合應(yīng)用，不但能較好的達(dá)到解題的目的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.

例6如圖7，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=8。點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP，以DP所在直線為對(duì)稱軸，△DPC經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△DPC′，射線PC′交邊AB于點(diǎn)E，當(dāng)E是AB中點(diǎn)時(shí)，求CP的長(zhǎng)。（寧波市副卷，2013年）

簡(jiǎn)析在運(yùn)動(dòng)的過程中，對(duì)于PC′，保持不變的條件為：（1）DC′=DC=DA；故點(diǎn)C′在以D為圓心，DC為半徑的圓弧上；（2）∠PC′D=90°，故PC′切⊙D于C′；（3）射線PC′過AB中點(diǎn)E，故過點(diǎn)E作⊙D的兩條切線，切點(diǎn)為C′（C″）、與BC交點(diǎn)為P（P′）.

小結(jié)本例若是“離散”探尋，也會(huì)獲得滿足題意的兩種情形，不過從“輔助圓”的角度審視問題，更加和諧地統(tǒng)一了兩種情形。這樣，兩種情形不再是“離散”的，同時(shí)，由于兩種情形的內(nèi)在統(tǒng)一，使得接下來的求解更加容易.

圖7圖8例7如圖8，A在半徑為3的⊙O內(nèi)，且OA=3，P為⊙O上一點(diǎn)，當(dāng)∠OPA最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)。（北京市西城區(qū)中考一模，2011年）

簡(jiǎn)解過O作⊙O′與⊙O內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為P′（顯然P′唯一），故O、O′、P′共線，從而，OP′為⊙O′直徑，進(jìn)而，在Rt△OAP′中，求得P′A=6，即為所求，事實(shí)上，對(duì)于在⊙O上除P′外的所有點(diǎn)P，均有∠OPA<∠OP′A.

小結(jié)本例構(gòu)造“輔助內(nèi)切圓”其構(gòu)造緣起“定線張角”，求解的方法令人嘆為觀止，立意很高。作為解決問題的思路之一，可謂高屋建瓴，可以引領(lǐng)學(xué)生開闊思路。不過，對(duì)于學(xué)生，與利用“銳角三角函數(shù)”等方法求解相比，這種方法的要求較高。之所以以本例的“輔助圓”解法為尾例，主要是讓我們意識(shí)到：利用“輔助圓”解決問題是一種靈動(dòng)巧妙的策略，但一般不是唯一的策略，可以說，在中考試題中，利用“輔助圓”的策略是利用“直線型”相關(guān)求解策略的有益補(bǔ)充.

上述案例求解時(shí)大體上“構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題”：?jiǎn)栴}的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息，此時(shí)，可構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓，將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.

縱觀文中的八個(gè)案例，利用“輔助圓”巧妙地解決“直線形”問題，可謂：道是無(wú)“圓”也有“圓”?？梢钥闯?，這些案例在中考試題中很重要，運(yùn)用“輔助圓”對(duì)其解答也很重要。事實(shí)上，利用“弦切角”、“相交弦”、“雙割線”等定理的逆定理也可構(gòu)造“輔助圓”解決相關(guān)的問題，不過，顯然在中考命題中出現(xiàn)不大妥當(dāng)，應(yīng)該說，新課標(biāo)降低與“圓”相關(guān)問題的要求有其必然性，同時(shí)，我們也絕對(duì)反對(duì)讓與圓相關(guān)的諸多“偏、難、繁”的題目“死灰復(fù)燃”，借助輔助圓解決問題的“模型思想”是關(guān)鍵.

文中的案例的解決方法大都有多種方法，其中不乏經(jīng)典的“直線型”解法，筆者只是從以“曲”輔“直”的角度闡述了構(gòu)建“輔助圓”的模型思想，另外，文中案例對(duì)應(yīng)的原題，大都有多個(gè)小問題，問題之間，層層遞進(jìn)、層層深入，引導(dǎo)學(xué)生探究對(duì)應(yīng)的解決策略，凝聚了命題老師的集體智慧，筆者為縮短篇幅簡(jiǎn)約表達(dá)，在不影響題意的前提下對(duì)原題作以修改，而且沒有完整解答，要揣摩案例更深層次的內(nèi)涵，請(qǐng)讀者參閱對(duì)應(yīng)的中考試題，這里不再贅述.

作者簡(jiǎn)介劉清泉，男，中學(xué)高級(jí)教師，浙江省教壇新秀，寧波市骨干教師，鎮(zhèn)海區(qū)學(xué)科帶頭人、骨干教師、“輕負(fù)高質(zhì)”先進(jìn)個(gè)人、紅燭獎(jiǎng)，優(yōu)質(zhì)課評(píng)比區(qū)第一名、市二等獎(jiǎng)，綜合素質(zhì)競(jìng)賽區(qū)一等獎(jiǎng)，命題競(jìng)賽區(qū)一等獎(jiǎng)，榮獲全國(guó)聯(lián)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師四次，十余篇論文在國(guó)家級(jí)、省級(jí)雜志上發(fā)表.endprint

例5如圖6，點(diǎn)M（x，y）為拋物線y=112x2-312x-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠AMB≤45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍。（寧波市副卷，2012年）

簡(jiǎn)解不難確定，點(diǎn)M不可能位于x軸下方。當(dāng)M位于x軸上方，且∠AMB=45°時(shí)，作△AMB的外接圓⊙P，連結(jié)PA、PB，作PQ⊥x軸，由題意不難得到，P（312，512）、且⊙P半徑r=5122，

則（x-312）2+（y-512）2=5122，（1）

y=112x2-312x-2。（2）

由（2），得（x-312）2=2y+2514，代入（1），

進(jìn)而求得y1=0（舍），y2=3，此時(shí)x1=-2，x2=5，故x≤-2或x≥5時(shí)，∠AMB≤45°.

小結(jié)本例中，由定線AB張角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圓⊙P，通過構(gòu)造“輔助外接圓”將問題轉(zhuǎn)化為拋物線與圓交點(diǎn)問題，利用方程組思想求解。盡管方程組求解有較高要求，不過本例實(shí)是“數(shù)形結(jié)合”的集大成者，有以形助數(shù)，亦有以數(shù)輔形。數(shù)形結(jié)合，使代數(shù)與幾何等知識(shí)相互滲透，綜合應(yīng)用，不但能較好的達(dá)到解題的目的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.

例6如圖7，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=8。點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP，以DP所在直線為對(duì)稱軸，△DPC經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△DPC′，射線PC′交邊AB于點(diǎn)E，當(dāng)E是AB中點(diǎn)時(shí)，求CP的長(zhǎng)。（寧波市副卷，2013年）

簡(jiǎn)析在運(yùn)動(dòng)的過程中，對(duì)于PC′，保持不變的條件為：（1）DC′=DC=DA；故點(diǎn)C′在以D為圓心，DC為半徑的圓弧上；（2）∠PC′D=90°，故PC′切⊙D于C′；（3）射線PC′過AB中點(diǎn)E，故過點(diǎn)E作⊙D的兩條切線，切點(diǎn)為C′（C″）、與BC交點(diǎn)為P（P′）.

小結(jié)本例若是“離散”探尋，也會(huì)獲得滿足題意的兩種情形，不過從“輔助圓”的角度審視問題，更加和諧地統(tǒng)一了兩種情形。這樣，兩種情形不再是“離散”的，同時(shí)，由于兩種情形的內(nèi)在統(tǒng)一，使得接下來的求解更加容易.

圖7圖8例7如圖8，A在半徑為3的⊙O內(nèi)，且OA=3，P為⊙O上一點(diǎn)，當(dāng)∠OPA最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)。（北京市西城區(qū)中考一模，2011年）

簡(jiǎn)解過O作⊙O′與⊙O內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為P′（顯然P′唯一），故O、O′、P′共線，從而，OP′為⊙O′直徑，進(jìn)而，在Rt△OAP′中，求得P′A=6，即為所求，事實(shí)上，對(duì)于在⊙O上除P′外的所有點(diǎn)P，均有∠OPA<∠OP′A.

小結(jié)本例構(gòu)造“輔助內(nèi)切圓”其構(gòu)造緣起“定線張角”，求解的方法令人嘆為觀止，立意很高。作為解決問題的思路之一，可謂高屋建瓴，可以引領(lǐng)學(xué)生開闊思路。不過，對(duì)于學(xué)生，與利用“銳角三角函數(shù)”等方法求解相比，這種方法的要求較高。之所以以本例的“輔助圓”解法為尾例，主要是讓我們意識(shí)到：利用“輔助圓”解決問題是一種靈動(dòng)巧妙的策略，但一般不是唯一的策略，可以說，在中考試題中，利用“輔助圓”的策略是利用“直線型”相關(guān)求解策略的有益補(bǔ)充.

上述案例求解時(shí)大體上“構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題”：?jiǎn)栴}的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息，此時(shí)，可構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓，將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.

縱觀文中的八個(gè)案例，利用“輔助圓”巧妙地解決“直線形”問題，可謂：道是無(wú)“圓”也有“圓”。可以看出，這些案例在中考試題中很重要，運(yùn)用“輔助圓”對(duì)其解答也很重要。事實(shí)上，利用“弦切角”、“相交弦”、“雙割線”等定理的逆定理也可構(gòu)造“輔助圓”解決相關(guān)的問題，不過，顯然在中考命題中出現(xiàn)不大妥當(dāng)，應(yīng)該說，新課標(biāo)降低與“圓”相關(guān)問題的要求有其必然性，同時(shí)，我們也絕對(duì)反對(duì)讓與圓相關(guān)的諸多“偏、難、繁”的題目“死灰復(fù)燃”，借助輔助圓解決問題的“模型思想”是關(guān)鍵.

文中的案例的解決方法大都有多種方法，其中不乏經(jīng)典的“直線型”解法，筆者只是從以“曲”輔“直”的角度闡述了構(gòu)建“輔助圓”的模型思想，另外，文中案例對(duì)應(yīng)的原題，大都有多個(gè)小問題，問題之間，層層遞進(jìn)、層層深入，引導(dǎo)學(xué)生探究對(duì)應(yīng)的解決策略，凝聚了命題老師的集體智慧，筆者為縮短篇幅簡(jiǎn)約表達(dá)，在不影響題意的前提下對(duì)原題作以修改，而且沒有完整解答，要揣摩案例更深層次的內(nèi)涵，請(qǐng)讀者參閱對(duì)應(yīng)的中考試題，這里不再贅述.

作者簡(jiǎn)介劉清泉，男，中學(xué)高級(jí)教師，浙江省教壇新秀，寧波市骨干教師，鎮(zhèn)海區(qū)學(xué)科帶頭人、骨干教師、“輕負(fù)高質(zhì)”先進(jìn)個(gè)人、紅燭獎(jiǎng)，優(yōu)質(zhì)課評(píng)比區(qū)第一名、市二等獎(jiǎng)，綜合素質(zhì)競(jìng)賽區(qū)一等獎(jiǎng)，命題競(jìng)賽區(qū)一等獎(jiǎng)，榮獲全國(guó)聯(lián)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師四次，十余篇論文在國(guó)家級(jí)、省級(jí)雜志上發(fā)表.endprint

例5如圖6，點(diǎn)M（x，y）為拋物線y=112x2-312x-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠AMB≤45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍。（寧波市副卷，2012年）

簡(jiǎn)解不難確定，點(diǎn)M不可能位于x軸下方。當(dāng)M位于x軸上方，且∠AMB=45°時(shí)，作△AMB的外接圓⊙P，連結(jié)PA、PB，作PQ⊥x軸，由題意不難得到，P（312，512）、且⊙P半徑r=5122，

則（x-312）2+（y-512）2=5122，（1）

y=112x2-312x-2。（2）

由（2），得（x-312）2=2y+2514，代入（1），

進(jìn)而求得y1=0（舍），y2=3，此時(shí)x1=-2，x2=5，故x≤-2或x≥5時(shí)，∠AMB≤45°.

小結(jié)本例中，由定線AB張角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圓⊙P，通過構(gòu)造“輔助外接圓”將問題轉(zhuǎn)化為拋物線與圓交點(diǎn)問題，利用方程組思想求解。盡管方程組求解有較高要求，不過本例實(shí)是“數(shù)形結(jié)合”的集大成者，有以形助數(shù)，亦有以數(shù)輔形。數(shù)形結(jié)合，使代數(shù)與幾何等知識(shí)相互滲透，綜合應(yīng)用，不但能較好的達(dá)到解題的目的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.

例6如圖7，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=8。點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP，以DP所在直線為對(duì)稱軸，△DPC經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△DPC′，射線PC′交邊AB于點(diǎn)E，當(dāng)E是AB中點(diǎn)時(shí)，求CP的長(zhǎng)。（寧波市副卷，2013年）

簡(jiǎn)析在運(yùn)動(dòng)的過程中，對(duì)于PC′，保持不變的條件為：（1）DC′=DC=DA；故點(diǎn)C′在以D為圓心，DC為半徑的圓弧上；（2）∠PC′D=90°，故PC′切⊙D于C′；（3）射線PC′過AB中點(diǎn)E，故過點(diǎn)E作⊙D的兩條切線，切點(diǎn)為C′（C″）、與BC交點(diǎn)為P（P′）.

小結(jié)本例若是“離散”探尋，也會(huì)獲得滿足題意的兩種情形，不過從“輔助圓”的角度審視問題，更加和諧地統(tǒng)一了兩種情形。這樣，兩種情形不再是“離散”的，同時(shí)，由于兩種情形的內(nèi)在統(tǒng)一，使得接下來的求解更加容易.

圖7圖8例7如圖8，A在半徑為3的⊙O內(nèi)，且OA=3，P為⊙O上一點(diǎn)，當(dāng)∠OPA最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)。（北京市西城區(qū)中考一模，2011年）

簡(jiǎn)解過O作⊙O′與⊙O內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為P′（顯然P′唯一），故O、O′、P′共線，從而，OP′為⊙O′直徑，進(jìn)而，在Rt△OAP′中，求得P′A=6，即為所求，事實(shí)上，對(duì)于在⊙O上除P′外的所有點(diǎn)P，均有∠OPA<∠OP′A.

小結(jié)本例構(gòu)造“輔助內(nèi)切圓”其構(gòu)造緣起“定線張角”，求解的方法令人嘆為觀止，立意很高。作為解決問題的思路之一，可謂高屋建瓴，可以引領(lǐng)學(xué)生開闊思路。不過，對(duì)于學(xué)生，與利用“銳角三角函數(shù)”等方法求解相比，這種方法的要求較高。之所以以本例的“輔助圓”解法為尾例，主要是讓我們意識(shí)到：利用“輔助圓”解決問題是一種靈動(dòng)巧妙的策略，但一般不是唯一的策略，可以說，在中考試題中，利用“輔助圓”的策略是利用“直線型”相關(guān)求解策略的有益補(bǔ)充.

上述案例求解時(shí)大體上“構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題”：?jiǎn)栴}的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息，此時(shí)，可構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓，將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.

縱觀文中的八個(gè)案例，利用“輔助圓”巧妙地解決“直線形”問題，可謂：道是無(wú)“圓”也有“圓”。可以看出，這些案例在中考試題中很重要，運(yùn)用“輔助圓”對(duì)其解答也很重要。事實(shí)上，利用“弦切角”、“相交弦”、“雙割線”等定理的逆定理也可構(gòu)造“輔助圓”解決相關(guān)的問題，不過，顯然在中考命題中出現(xiàn)不大妥當(dāng)，應(yīng)該說，新課標(biāo)降低與“圓”相關(guān)問題的要求有其必然性，同時(shí)，我們也絕對(duì)反對(duì)讓與圓相關(guān)的諸多“偏、難、繁”的題目“死灰復(fù)燃”，借助輔助圓解決問題的“模型思想”是關(guān)鍵.

文中的案例的解決方法大都有多種方法，其中不乏經(jīng)典的“直線型”解法，筆者只是從以“曲”輔“直”的角度闡述了構(gòu)建“輔助圓”的模型思想，另外，文中案例對(duì)應(yīng)的原題，大都有多個(gè)小問題，問題之間，層層遞進(jìn)、層層深入，引導(dǎo)學(xué)生探究對(duì)應(yīng)的解決策略，凝聚了命題老師的集體智慧，筆者為縮短篇幅簡(jiǎn)約表達(dá)，在不影響題意的前提下對(duì)原題作以修改，而且沒有完整解答，要揣摩案例更深層次的內(nèi)涵，請(qǐng)讀者參閱對(duì)應(yīng)的中考試題，這里不再贅述.

作者簡(jiǎn)介劉清泉，男，中學(xué)高級(jí)教師，浙江省教壇新秀，寧波市骨干教師，鎮(zhèn)海區(qū)學(xué)科帶頭人、骨干教師、“輕負(fù)高質(zhì)”先進(jìn)個(gè)人、紅燭獎(jiǎng)，優(yōu)質(zhì)課評(píng)比區(qū)第一名、市二等獎(jiǎng)，綜合素質(zhì)競(jìng)賽區(qū)一等獎(jiǎng)，命題競(jìng)賽區(qū)一等獎(jiǎng)，榮獲全國(guó)聯(lián)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師四次，十余篇論文在國(guó)家級(jí)、省級(jí)雜志上發(fā)表.endprint