探明路徑，后求其長

解答中考題時，經(jīng)常會碰到求動點的運動路徑長問題。此類問題往往因運動路徑比較抽象，以至于搞不清楚運動路徑是何種圖形，所以常常讓答題者束手無策，甚至頗費周折。事實上，此類問題可以先在一般圖形中探究動點軌跡，探明運動路徑，然后設(shè)法求出其長?，F(xiàn)舉兩例，供讀者參考.

例1 （2011福建三明）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1。將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF（如圖1）.

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖2），求PC的長；

（2）探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當點E和點A重合時停止。在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長.

圖1圖2解析 （1）如圖2，由條件，易知，∠PCD=∠BPA，∠D=∠A=90°，所以△PCD∽△BPA，所以PC1PB=CD1AP，所以PC122+12=211，所以PC=25.

（2）①tan∠PEF的值不變（過程略）.

②如圖1，取EF的中點O1，連結(jié)O1B、O1P、BP，在Rt△EFB和Rt△EFP中，

圖3因為∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，所以O(shè)1P=O1B=112EF，所以點O1在BP的垂直平分線上，這就說明線段EF的中點始終在BP的垂直平分線上運動。如圖3，作出直角尺在開始與停止時的位置圖（以下簡稱“始末位置圖”），設(shè)EF在開始時的中點為O，在停止時的中點為O′，連結(jié)OO′，則線段OO′就是線段EF的中點經(jīng)過的路線。易知，OO′是△PBC的中位線，所以O(shè)O′=112PC，由（1）知，PC=25，所以O(shè)O′=5，所以從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長為5.

點評 探究EF的中點的運動軌跡時，基于一般性，在圖1中取EF的中點O1，添加了輔助線O1B、O1P、BP，一方面，容易尋找到常量為∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，另一方面，又挖掘出線段BP是固定不動的，這就引發(fā)了O1P=O1B，決定了線段EF的中點始終在BP的垂直平分線上運動，這為下一步畫線段OO′奠定了重要的基礎(chǔ).

例2 （2013浙江湖州）如圖4，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為23的一個定點，AM⊥x軸于點M，AM的延長線交直線y=-x于點N。若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動。求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

圖4圖5圖6解析 依題意，設(shè)A（23，m）（m是大于0的常數(shù)），P（t，-t）（t≥0），B（x，y）。如圖4，過點A作直線l∥x軸，過點P作PC⊥l于點C，過點B作BD⊥l于點D，因為BA⊥PA，所以∠PAC+∠BAD=90°，因為PC⊥l，所以∠PAC+∠APC=90°，所以∠APC=∠BAD。

又∠PCA=∠ADB=90°，所以△PAC∽△ABD，所以AC1BD=PC1AD=PA1AB，因為AC=23-t，BD=m-y，PC=m+t，AD=x-23，所以23-t1m-y=m+t1x-23=PA1AB。在Rt△PBA中，因為∠APB=30°，所以tan 30°=AB1PA，所以PA1AB=3，所以23-t1m-y=m+t1x-23=3，所以23-t=3（m-y）……（1），m+t=3（x-23）……（2），（1）+（2），得23+m=3（m-y）+3（x-23），解得y=x+（m-2）-（23+313m），很明顯，這是一次函數(shù)的解析式，這就說明點B始終在直線y=x+（m-2）-（23+313m）上運動，所以當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑是一條線段.

如圖5，當點P與點O重合時，設(shè)B（x′，y′），過點A作直線l′∥x軸，設(shè)l′與y軸交于點E，過點B作BF⊥l′于點F，則AE=23，PE=m，AF=x′-23，BF=m-y′，易知△PAE∽△ABF，所以AE1BF=PE1AF=PA1AB，所以231m-y′=m1x′-23=3，解得x′=23+313m，y′=m-2，所以B（23+313m，m-2）。

如圖6，當點P與點N重合時，易知PA=m+23，在Rt△PBA中，由tan 30°=AB1PA，得AB=2+313m，所以B（23+2+313m，m）。所以點B運動的路徑長是

（23+2+313m）-（23+313m）2+m-（m-2）2

=22+22=22.

點評 探究動點B的運動軌跡時，先設(shè)A（23，m），P（t，-t），B（x，y），這樣便于表示圖中的線段AC、BD、PC、AD的長。運用相似三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義后，順利列出了x，y，t所滿足的方程。消去t，得到y(tǒng)=x+（m-2）-（2+m13）3后，即可確定動點B運動的路徑是一條線段，讓人心服口服。在圖5、圖6中，當求出點B在運動開始、結(jié)束時的坐標后，自然會聯(lián)想到運用平面內(nèi)兩點間距離公式求點B運動的路徑長。在計算過程中，常數(shù)m被消去，同時也體現(xiàn)了“設(shè)而不求法”在解題中的應(yīng)用.

作者簡介馬先龍，男，江蘇淮陰人，中學(xué)高級教師，江蘇省淮安市淮陰區(qū)骨干教師。一直從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和解題教學(xué)研究工作，在省級以上數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表文章60余篇.endprint

解答中考題時，經(jīng)常會碰到求動點的運動路徑長問題。此類問題往往因運動路徑比較抽象，以至于搞不清楚運動路徑是何種圖形，所以常常讓答題者束手無策，甚至頗費周折。事實上，此類問題可以先在一般圖形中探究動點軌跡，探明運動路徑，然后設(shè)法求出其長。現(xiàn)舉兩例，供讀者參考.

例1 （2011福建三明）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1。將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF（如圖1）.

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖2），求PC的長；

（2）探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當點E和點A重合時停止。在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長.

圖1圖2解析 （1）如圖2，由條件，易知，∠PCD=∠BPA，∠D=∠A=90°，所以△PCD∽△BPA，所以PC1PB=CD1AP，所以PC122+12=211，所以PC=25.

（2）①tan∠PEF的值不變（過程略）.

②如圖1，取EF的中點O1，連結(jié)O1B、O1P、BP，在Rt△EFB和Rt△EFP中，

圖3因為∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，所以O(shè)1P=O1B=112EF，所以點O1在BP的垂直平分線上，這就說明線段EF的中點始終在BP的垂直平分線上運動。如圖3，作出直角尺在開始與停止時的位置圖（以下簡稱“始末位置圖”），設(shè)EF在開始時的中點為O，在停止時的中點為O′，連結(jié)OO′，則線段OO′就是線段EF的中點經(jīng)過的路線。易知，OO′是△PBC的中位線，所以O(shè)O′=112PC，由（1）知，PC=25，所以O(shè)O′=5，所以從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長為5.

點評 探究EF的中點的運動軌跡時，基于一般性，在圖1中取EF的中點O1，添加了輔助線O1B、O1P、BP，一方面，容易尋找到常量為∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，另一方面，又挖掘出線段BP是固定不動的，這就引發(fā)了O1P=O1B，決定了線段EF的中點始終在BP的垂直平分線上運動，這為下一步畫線段OO′奠定了重要的基礎(chǔ).

例2 （2013浙江湖州）如圖4，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為23的一個定點，AM⊥x軸于點M，AM的延長線交直線y=-x于點N。若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動。求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

圖4圖5圖6解析 依題意，設(shè)A（23，m）（m是大于0的常數(shù)），P（t，-t）（t≥0），B（x，y）。如圖4，過點A作直線l∥x軸，過點P作PC⊥l于點C，過點B作BD⊥l于點D，因為BA⊥PA，所以∠PAC+∠BAD=90°，因為PC⊥l，所以∠PAC+∠APC=90°，所以∠APC=∠BAD。

又∠PCA=∠ADB=90°，所以△PAC∽△ABD，所以AC1BD=PC1AD=PA1AB，因為AC=23-t，BD=m-y，PC=m+t，AD=x-23，所以23-t1m-y=m+t1x-23=PA1AB。在Rt△PBA中，因為∠APB=30°，所以tan 30°=AB1PA，所以PA1AB=3，所以23-t1m-y=m+t1x-23=3，所以23-t=3（m-y）……（1），m+t=3（x-23）……（2），（1）+（2），得23+m=3（m-y）+3（x-23），解得y=x+（m-2）-（23+313m），很明顯，這是一次函數(shù)的解析式，這就說明點B始終在直線y=x+（m-2）-（23+313m）上運動，所以當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑是一條線段.

如圖5，當點P與點O重合時，設(shè)B（x′，y′），過點A作直線l′∥x軸，設(shè)l′與y軸交于點E，過點B作BF⊥l′于點F，則AE=23，PE=m，AF=x′-23，BF=m-y′，易知△PAE∽△ABF，所以AE1BF=PE1AF=PA1AB，所以231m-y′=m1x′-23=3，解得x′=23+313m，y′=m-2，所以B（23+313m，m-2）。

如圖6，當點P與點N重合時，易知PA=m+23，在Rt△PBA中，由tan 30°=AB1PA，得AB=2+313m，所以B（23+2+313m，m）。所以點B運動的路徑長是

（23+2+313m）-（23+313m）2+m-（m-2）2

=22+22=22.

點評 探究動點B的運動軌跡時，先設(shè)A（23，m），P（t，-t），B（x，y），這樣便于表示圖中的線段AC、BD、PC、AD的長。運用相似三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義后，順利列出了x，y，t所滿足的方程。消去t，得到y(tǒng)=x+（m-2）-（2+m13）3后，即可確定動點B運動的路徑是一條線段，讓人心服口服。在圖5、圖6中，當求出點B在運動開始、結(jié)束時的坐標后，自然會聯(lián)想到運用平面內(nèi)兩點間距離公式求點B運動的路徑長。在計算過程中，常數(shù)m被消去，同時也體現(xiàn)了“設(shè)而不求法”在解題中的應(yīng)用.

作者簡介馬先龍，男，江蘇淮陰人，中學(xué)高級教師，江蘇省淮安市淮陰區(qū)骨干教師。一直從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和解題教學(xué)研究工作，在省級以上數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表文章60余篇.endprint

解答中考題時，經(jīng)常會碰到求動點的運動路徑長問題。此類問題往往因運動路徑比較抽象，以至于搞不清楚運動路徑是何種圖形，所以常常讓答題者束手無策，甚至頗費周折。事實上，此類問題可以先在一般圖形中探究動點軌跡，探明運動路徑，然后設(shè)法求出其長?，F(xiàn)舉兩例，供讀者參考.

例1 （2011福建三明）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1。將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF（如圖1）.

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖2），求PC的長；

（2）探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當點E和點A重合時停止。在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長.

圖1圖2解析 （1）如圖2，由條件，易知，∠PCD=∠BPA，∠D=∠A=90°，所以△PCD∽△BPA，所以PC1PB=CD1AP，所以PC122+12=211，所以PC=25.

（2）①tan∠PEF的值不變（過程略）.

②如圖1，取EF的中點O1，連結(jié)O1B、O1P、BP，在Rt△EFB和Rt△EFP中，

圖3因為∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，所以O(shè)1P=O1B=112EF，所以點O1在BP的垂直平分線上，這就說明線段EF的中點始終在BP的垂直平分線上運動。如圖3，作出直角尺在開始與停止時的位置圖（以下簡稱“始末位置圖”），設(shè)EF在開始時的中點為O，在停止時的中點為O′，連結(jié)OO′，則線段OO′就是線段EF的中點經(jīng)過的路線。易知，OO′是△PBC的中位線，所以O(shè)O′=112PC，由（1）知，PC=25，所以O(shè)O′=5，所以從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長為5.

點評 探究EF的中點的運動軌跡時，基于一般性，在圖1中取EF的中點O1，添加了輔助線O1B、O1P、BP，一方面，容易尋找到常量為∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，另一方面，又挖掘出線段BP是固定不動的，這就引發(fā)了O1P=O1B，決定了線段EF的中點始終在BP的垂直平分線上運動，這為下一步畫線段OO′奠定了重要的基礎(chǔ).

例2 （2013浙江湖州）如圖4，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為23的一個定點，AM⊥x軸于點M，AM的延長線交直線y=-x于點N。若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動。求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

圖4圖5圖6解析 依題意，設(shè)A（23，m）（m是大于0的常數(shù)），P（t，-t）（t≥0），B（x，y）。如圖4，過點A作直線l∥x軸，過點P作PC⊥l于點C，過點B作BD⊥l于點D，因為BA⊥PA，所以∠PAC+∠BAD=90°，因為PC⊥l，所以∠PAC+∠APC=90°，所以∠APC=∠BAD。

又∠PCA=∠ADB=90°，所以△PAC∽△ABD，所以AC1BD=PC1AD=PA1AB，因為AC=23-t，BD=m-y，PC=m+t，AD=x-23，所以23-t1m-y=m+t1x-23=PA1AB。在Rt△PBA中，因為∠APB=30°，所以tan 30°=AB1PA，所以PA1AB=3，所以23-t1m-y=m+t1x-23=3，所以23-t=3（m-y）……（1），m+t=3（x-23）……（2），（1）+（2），得23+m=3（m-y）+3（x-23），解得y=x+（m-2）-（23+313m），很明顯，這是一次函數(shù)的解析式，這就說明點B始終在直線y=x+（m-2）-（23+313m）上運動，所以當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑是一條線段.

如圖5，當點P與點O重合時，設(shè)B（x′，y′），過點A作直線l′∥x軸，設(shè)l′與y軸交于點E，過點B作BF⊥l′于點F，則AE=23，PE=m，AF=x′-23，BF=m-y′，易知△PAE∽△ABF，所以AE1BF=PE1AF=PA1AB，所以231m-y′=m1x′-23=3，解得x′=23+313m，y′=m-2，所以B（23+313m，m-2）。

如圖6，當點P與點N重合時，易知PA=m+23，在Rt△PBA中，由tan 30°=AB1PA，得AB=2+313m，所以B（23+2+313m，m）。所以點B運動的路徑長是

（23+2+313m）-（23+313m）2+m-（m-2）2

=22+22=22.

點評 探究動點B的運動軌跡時，先設(shè)A（23，m），P（t，-t），B（x，y），這樣便于表示圖中的線段AC、BD、PC、AD的長。運用相似三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義后，順利列出了x，y，t所滿足的方程。消去t，得到y(tǒng)=x+（m-2）-（2+m13）3后，即可確定動點B運動的路徑是一條線段，讓人心服口服。在圖5、圖6中，當求出點B在運動開始、結(jié)束時的坐標后，自然會聯(lián)想到運用平面內(nèi)兩點間距離公式求點B運動的路徑長。在計算過程中，常數(shù)m被消去，同時也體現(xiàn)了“設(shè)而不求法”在解題中的應(yīng)用.

作者簡介馬先龍，男，江蘇淮陰人，中學(xué)高級教師，江蘇省淮安市淮陰區(qū)骨干教師。一直從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和解題教學(xué)研究工作，在省級以上數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表文章60余篇.endprint