淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中教學(xué)的意義

楊維兵

【摘要】本文擬通過對高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、平面解析幾何，立體幾何的教學(xué)分析，對數(shù)形結(jié)合思想方法的作用進(jìn)行初步探究。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)、解析幾何，向量、立體幾何

【中圖分類號(hào)】G424 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1006-5962（2013）06（b）-0132-01

新課標(biāo)對高中數(shù)學(xué)教學(xué)基本要求，突出基本思想方法的教育，數(shù)形結(jié)合的思想方法，始終貫穿在數(shù)學(xué)的教育教學(xué)中。“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最根本的概念，它們互立互補(bǔ)。一方面，每一個(gè)圖形中都潛含著豐富的數(shù)量關(guān)系，另一方面，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^圖形做出直觀地反映和描述。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，特別是引入直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中作用更是得到強(qiáng)化，成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心思想方法之一。在解決代數(shù)問題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路，或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。本文擬通過對高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、平面解析幾何、立體幾何的教學(xué)分析，對數(shù)形結(jié)合思想方法的作用進(jìn)行初步探究。

1、數(shù)形結(jié)合的思想方法是函數(shù)抽象概念理解的助推器

數(shù)形結(jié)合的思想方法在函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用是對初中教學(xué)的發(fā)展和提高，是在初中的直角坐標(biāo)系知識(shí)引入后得以實(shí)現(xiàn)的。高中教材中函數(shù)概念的重新定義和對函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的研究，以及對具體函數(shù)性質(zhì)及其相關(guān)問題的研究，知識(shí)的抽象性和復(fù)雜性空前提高，教與學(xué)的難度加大。而根據(jù)自變量x與因變量f（x）組成的有序?qū)崝?shù)對（x，f（x））與平面內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，畫出具體的函數(shù)圖形輔助教學(xué)會(huì)使相關(guān)問題的研究變得直觀而形象，再借助函數(shù)圖形又會(huì)使學(xué)生對函數(shù)及其性質(zhì)的理解變得更加深刻。如在函數(shù)對稱性教學(xué)中：已知函數(shù)y=f（x），若f（a+x）=f（8-x），則函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于直線x=a對稱，對這一知識(shí)點(diǎn)的理解，學(xué)生感覺比較吃力，但在實(shí)際教學(xué)操作中，如果借助圖像指出：從函數(shù)定義域中任取兩個(gè)值x1、x2，若當(dāng)x1、x2到直線x=a距離相等時(shí)，表現(xiàn)為xl=a+x、x2=a-x，對應(yīng)的函數(shù)值有f（a+x）=f（a-x），即點(diǎn)（a+x，f（a+x））與點(diǎn)（a-x，f（amx））關(guān)于直線x=a對稱，這樣學(xué)生理解起來會(huì)簡單的多。當(dāng)然數(shù)形結(jié)合的思想方法還在其它具體函數(shù)問題上也廣泛應(yīng)用，如函數(shù)單調(diào)性的判斷，求函數(shù)最值，求方程解的個(gè)數(shù)等。這需要在操作過程中抓住潛存的幾何背景的數(shù)量關(guān)系，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題來處理。

2、數(shù)形結(jié)合的思想方法是貫穿平面解析幾何知識(shí)的核心思想方法。

平面解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，最根本的做法就是把平面的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量化。即在平面中建立直角坐標(biāo)系，使平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對建立一一對應(yīng)的關(guān)系，從而使平面內(nèi)的一個(gè)曲線可以用帶兩個(gè)變量的一個(gè)方程表示，也就實(shí)現(xiàn)了曲線的“代數(shù)化”。這樣，幾何問題就可以用代數(shù)形式表示，在求解析幾何問題時(shí)，就可以運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行研究。因此，就可以在解析幾何教學(xué)過程中，把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體形式，把有關(guān)圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題，或把有關(guān)數(shù)量的問題轉(zhuǎn)化為與圖形性質(zhì)有關(guān)的問題，使復(fù)雜的問題簡單化，抽象問題具體化，直觀的問題深刻化，從而使問題得到迅速而正確有效的解決。在高中教材中的平面解析幾何初步和圓錐曲線與方程兩章的教學(xué)中，無不貫穿著數(shù)形結(jié)合思想方法。如對具體直線（或曲線），求軌跡方程及曲線性質(zhì)的問題，就是實(shí)現(xiàn)了對圖形的數(shù)量化，而由直線（或曲線）的方程產(chǎn)生的問題，解決策略往往需要同學(xué)們快速理解，正確的畫出圖形，根據(jù)圖形來找出解決問題的方法。

3、向量解決立體幾何問題是數(shù)形結(jié)合思想方法的完美體現(xiàn)。

在高中立體幾何的教學(xué)中，對學(xué)生空間圖形的想象能力要求比較高，這給部分同學(xué)的學(xué)習(xí)造成了較大困難。通過向量與空間直角坐標(biāo)系的結(jié)合，使向量及其運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了幾何問題與向量問題的相互轉(zhuǎn)化。向量具有數(shù)的特征（大小或模），又有形的特點(diǎn)（方向）。其表達(dá)式既可以是字母（數(shù)），又可以是有向線段（形），特別是在解決有關(guān)立體幾何問題中，更是數(shù)與形的完美體現(xiàn)，倍受廣大高中師生的青睞，如空間的平行和垂直問題可以轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，各類求距離問題可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的射影的絕對值的運(yùn)算，求夾角問題可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算相應(yīng)兩向量夾角來解決。實(shí)現(xiàn)了立體幾何的問題由空間想象向數(shù)量運(yùn)算的轉(zhuǎn)化。

當(dāng)然，在具體教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想方法使用、滲透，需要教師逐步培養(yǎng)，但在數(shù)形轉(zhuǎn)化過程中，必須遵循等價(jià)轉(zhuǎn)換原則、數(shù)形互補(bǔ)原則，應(yīng)注重以下幾點(diǎn)：1、能識(shí)圖，發(fā)掘圖形中的數(shù)量關(guān)系；2、會(huì)做圖，用圖形正確反映相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；3、能切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖助數(shù)，以數(shù)釋形。