“理解教材”的靈動(dòng)思考與教學(xué)創(chuàng)新

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅

教材是教師進(jìn)行教學(xué)的重要資源，是專家們精挑細(xì)選出來供學(xué)生學(xué)習(xí)的材料，因此“理解教材”是教師根據(jù)學(xué)校、班級(jí)學(xué)生實(shí)際情況對(duì)教材進(jìn)行創(chuàng)造性靈活運(yùn)用、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思考有效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.結(jié)合湘教版八（下）部分內(nèi)容談幾個(gè)觀點(diǎn)：

一、理解教材要讀懂知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系

案例1：八年級(jí)下冊“梯形定義”的緣起思考.

在學(xué)習(xí)梯形前已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形，由平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形（AB∥CD、AD∥BC）是平行四邊形，對(duì)“條件弱化”即只有一組對(duì)邊平行（AD∥BC、AB與CD不平行），又會(huì)是什么圖形呢？從而引起認(rèn)知沖突，引出課題：梯形.

受上述定義緣起“平行四邊形條件弱化”的啟發(fā)來思考梯形的第二個(gè)定義.先由“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形也是平行四邊形”（AD∥BC、AD=BC），拋出問題：如何弱化？不難發(fā)現(xiàn)，依據(jù)梯形的定義必須有一組對(duì)邊平行即需保留AD∥BC，故條件弱化的對(duì)象是AD=BC變?yōu)锳D≠BC，從而得出“AD∥BC、AD≠BC”，能否作為梯形的第二定義？并挑逗、激發(fā)學(xué)生的理性思考，即由“AD∥BC、AD≠BC”化歸出“AD∥BC、AB與CD不平行”即可.因由AD∥BC、AB∥CD即是平行四邊形了，故有AD=BC，此時(shí)與已知AD≠BC矛盾了，即“一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形”是梯形的自然產(chǎn)生，且從中學(xué)到了“問題是怎么提出的”科學(xué)有效的探思方法.

二、理解教材要盡力找出一條線索主線，統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)內(nèi)容體系

案例2：八年級(jí)下冊平行四邊形一章內(nèi)容多、繁、雜，如何有效“穿針引線”？

筆者的方法是：充分利用湘教版的“變換”特點(diǎn)，由“任意三角形繞一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形”結(jié)論出發(fā)，依次按邊、按角、按邊角條件不斷強(qiáng)化，引出課題：菱形、矩形、正方形.

具體做法：從“邊條件強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)榈妊切?，繞底邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一組鄰邊相等的平行四邊形”是菱形的課題！再依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等效仿平行四邊形，展開對(duì)菱形的學(xué)習(xí).

從“角條件強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)橹苯侨切?，繞斜邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形”是矩形的課題！受菱形單元學(xué)習(xí)的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等方面展開對(duì)矩形的學(xué)習(xí).

最后從“邊和角條件同時(shí)強(qiáng)化”，一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，繞斜邊中點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點(diǎn)？得出“一組鄰邊相等、一個(gè)內(nèi)角為直角的平行四邊形”是正方形的課題！受菱形、矩形單元學(xué)習(xí)的啟發(fā)，也依次從“三大方面”（定義、性質(zhì)、判定）、“四條線索”（邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性）等展開對(duì)正方形的學(xué)習(xí).

顯然，按上述方式學(xué)習(xí)條理清晰、方向明確、思路自然，類比探究科學(xué)、順利、流暢，對(duì)學(xué)生邏輯類比學(xué)習(xí)方法做了一個(gè)非常有效的鋪墊和示范.

三、理解教材要?jiǎng)?chuàng)造性地引出、發(fā)現(xiàn)、“證明”結(jié)論

案例3：由“任意三角形繞一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成一個(gè)平行四邊形”結(jié)論出發(fā)，經(jīng)歷圖1→圖2→圖3→圖4可創(chuàng)造性地提出、引導(dǎo)、“證明”三角形的中位線定理.

圖1

圖2

圖3

圖4

從而打破了三角形中位線定理是通過測量、猜想、提出、全等論證的長久的思維定勢，創(chuàng)造性地引出、發(fā)現(xiàn)、甚至論證的新方法和新思路，更凸顯引進(jìn)現(xiàn)代幾何變換數(shù)學(xué)思想的無窮魅力與價(jià)值，更是創(chuàng)造性地使用教材的典范.

四、理解教材要挖出與重組教材中能讓學(xué)生靈動(dòng)的素材

案例4：多邊形的內(nèi)角和定理的證明.

先引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)頂點(diǎn)（如點(diǎn)A）出發(fā)引對(duì)角線，轉(zhuǎn)化成三角形的方法（書上的）；再從“運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)”出發(fā)，讓學(xué)生思考：點(diǎn)A還可以是什么位置？依次得出點(diǎn)O在邊上、在多邊形內(nèi)部、在多邊形外部三大類情況.

點(diǎn)O“在邊上、在內(nèi)部”這兩種情況很快解決了；但點(diǎn)O在外部時(shí)，出現(xiàn)不同的圖形、產(chǎn)生了爭執(zhí)；出現(xiàn)了“靈動(dòng)點(diǎn)”：即在學(xué)生中出現(xiàn)了下面三種類型圖，圖5、圖6、圖7.

圖5

圖6

圖7

圖8

此時(shí)，筆者發(fā)問：還有其他可能嗎？如何統(tǒng)一起來？你是如何想到的？互動(dòng)一段時(shí)間后，由“觀察物體”視角不同觀啟發(fā)出：運(yùn)動(dòng)透視觀即A→O1（AB邊上點(diǎn)）→到達(dá)AC與BD延長線的交點(diǎn)前的O2點(diǎn)→O3點(diǎn)（AC與BD延長線的交點(diǎn)）→O4點(diǎn).（如圖8）

在進(jìn)一步的試證過程中發(fā)現(xiàn)，有一種情形（如圖9）證明的煩瑣程度高一些.互動(dòng)揭示出：點(diǎn)O除了與AC、AB、BD三邊共構(gòu)成n-3個(gè)三角形的度數(shù)，還需加上以點(diǎn)A、點(diǎn)B為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)，再減去混進(jìn)來的角的度數(shù).

圖9

完成上述工作后，從學(xué)生的神態(tài)看出，既有驚奇，更有一種偉大發(fā)現(xiàn)后的得瑟和自耀.更是沖破了資料上的籠哄：點(diǎn)在多邊形外只給出了一種不明晰的證法，從而感到自我創(chuàng)舉的喜悅.

案例5：分式的乘除法運(yùn)算，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)符號(hào)、系數(shù)、結(jié)果問題.

對(duì)策：先重組教材與上相關(guān)例題，集中練習(xí)，再回頭體會(huì)、提煉出“三化”觀：符號(hào)“正化”（分子、分母首項(xiàng)系數(shù)）、系數(shù)“整化”（分子、分母首項(xiàng)系數(shù)）、結(jié)果“簡化”（分子、分母不含公因式）.并認(rèn)識(shí)到原理都是分式的基本性質(zhì)，從而避免對(duì)結(jié)果像“無頭蒼蠅”式亂奔，可見有機(jī)組合“易錯(cuò)點(diǎn)”問題素材是關(guān)鍵.

案例6：梯形相關(guān)計(jì)算，輔助線的使用是難點(diǎn).

對(duì)策：先通過知識(shí)的學(xué)習(xí)，再提煉出五個(gè)重要典型圖，即圖10～圖14.

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

課堂上，在做第109頁練習(xí)1“在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE是它的高，設(shè)∠A=60°，DA=4、DC=3，求下底AB的長”時(shí)，學(xué)生表現(xiàn)出了強(qiáng)烈的表現(xiàn)欲，分別利用圖10、圖11、圖12給出不同的解法，顯示了方法的靈動(dòng)和思維的靈活性.

更表現(xiàn)出在接下來學(xué)習(xí)等腰梯形的判定方法時(shí)，學(xué)生自覺地運(yùn)用上面典型圖形給出了多種不同的證法，顯然這來自于五圖挖掘而帶來的靈性與活力.

五、理解教材要通俗化、本質(zhì)化教學(xué)內(nèi)容

案例7：《異分母分式的加減法》第一課時(shí)教學(xué)片段.

師：最簡公分母90是如何找到的，能否用橫式表達(dá)的方式去發(fā)現(xiàn)之？

眾生：互動(dòng)議論.

生2：（極度興奮）90實(shí)質(zhì)是6和45分解質(zhì)因數(shù)后，由所有的質(zhì)因數(shù)及相同質(zhì)因數(shù)的最高次數(shù)來產(chǎn)生的.

師：太好了，把計(jì)算的過程“淋漓盡致”地表現(xiàn)出來了！最簡公分母實(shí)質(zhì)是所有分母分解質(zhì)因數(shù)后，由所有的質(zhì)因數(shù)及相同質(zhì)因數(shù)的最高次數(shù)來產(chǎn)生的.

生4：實(shí)質(zhì)是把2用字母a、3用字母b、5用字母c替換的結(jié)果.

生5：通過類比，很容易得出最簡公分母是ab2c，即包含分母因式中所有字母因式、相同字母因式的最高次.

生6：最簡公分母是90ab2c.

生7：即最簡公分母是“分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、分母因式中所有字母因式、相同字母因式指數(shù)的最高次”來構(gòu)成的.（下略）

顯然，從熟悉的“異分母的分?jǐn)?shù)加減法”公分母的確定“的本質(zhì)挖掘”類比到“異分母分式的加減法”公分母的確定“清新、自然”更本質(zhì)！凸顯學(xué)習(xí)的是“理解的數(shù)學(xué)”而不是機(jī)械模仿的套路！有效提高了思維的靈性和活力.

教師“理解教材”的目的是讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”，“理解教材”先要理解數(shù)學(xué)．理解數(shù)學(xué)就是要了解數(shù)學(xué)概念的背景，掌握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，把握概念的多元聯(lián)系表示，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性精神等價(jià)值觀資源．教師再把“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”結(jié)合教材課題、學(xué)生實(shí)際轉(zhuǎn)換成“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，也就是“教材數(shù)學(xué)、學(xué)生數(shù)學(xué)”，因此“理解教材”是教好數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的前提與關(guān)鍵.

1.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（初中數(shù)學(xué)）.長沙：湖南教育出版社，2012.

2.陳金紅.在自然拓展中拔高案例解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（4）.

3.陳金紅.處理教材要“大氣”地實(shí)踐與思考［J］.教育科學(xué)論壇，2010（10）.