數(shù)學(xué)求異性思維的發(fā)現(xiàn)與探究

劉國(guó)林

一次批改中，一道“在 和 之間填入一個(gè)分?jǐn)?shù)”的題目，多數(shù)同學(xué)用通分方法求得：

> ，通分后 > ，推得 > ，找到所填數(shù) ，即 > > 。但偶爾發(fā)現(xiàn)一個(gè)同學(xué)填 >（ ）> 。我問他，他說是把分子相加1+1=2做分子，分母相加2+3=5做分母，得到 > > 的。這樣做對(duì)嗎？于是我用30做公分母，通分驗(yàn)證得到 > > ，可見在 和 之間填 是正確的。而后我又舉例驗(yàn)證：在 和 之間填一個(gè)分?jǐn)?shù)，使得 >（ ）> ，按上面學(xué)生的方法 = ，我把 >（ ）> ，通分驗(yàn)證得出： >（ ）> ，即 >（ ）> 正確。那么這種解法具有可靠性嗎？于是我又做了如下推廣證明：假設(shè) > （a、b、c、d均為正整數(shù)，且a、c不為0），那么 > > 。

證明（1）因?yàn)?> （已知），用ac做公分母通分得 > ，推得bc>ad（同分母分?jǐn)?shù)比較大小，分子大的分?jǐn)?shù)值大）；（2）求證 > 是否成立。

證明（2）：將 > 通分得 >

推得b（a+c）>a（b+d）（分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)值大），展開后得ab+bc>ab+ad。左右兩邊同時(shí)減去ab推得：bc>ad，這個(gè)結(jié)果與已知條件推得證明（1）結(jié)果相同，證得 > 成立。求證（3） > 是否成立。

證明（3）：將 > ，通分得 > ，

推得：（b+d）c>（a+c）d，展開后得bc+cd>ad+cd （分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大），兩邊都減去cd推得bc>ad。與證明（1）推得結(jié)果相同。

此結(jié)論與已知條件推得結(jié)果相同，證得 > 成立。所以經(jīng)證明得知，如果 > （a、b、c、d均為正整數(shù)，且a、c不為0），那么 > > 成立。

為此，我確信“在兩個(gè)不等的分?jǐn)?shù)之間填上一個(gè)分?jǐn)?shù)，或幾個(gè)分?jǐn)?shù)”的題目，不但可以用通分方法解答，還可以用“兩個(gè)分母和做分母，兩個(gè)分子和做分子”的方法，寫出之間的分?jǐn)?shù)，而且這種方法比通分方法更快捷。

例如：在 與 之間依次填出5個(gè)分?jǐn)?shù)

即： > > > > > > 。

但這種方法有局限性，如果在兩個(gè)不等分?jǐn)?shù)之間填十幾個(gè)或更多的分?jǐn)?shù)，就不如通分方法快捷了。

如在 和 之間填分?jǐn)?shù)時(shí)之間

填1個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母：6*（1+1）

填2個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母：6*（1+2）

填3個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母：6*（1+3）

填n個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母：6*（1+n）

當(dāng) > （a、b、c、d均為正數(shù)，a、c互質(zhì)且均不為0）時(shí)，之間

填1個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母：ac*（1+1）

填2個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母：ac*（1+2）

填3個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母：ac*（1+3）

填n個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母：ac*（1+n）

如在 和 之間依次填出10個(gè)分?jǐn)?shù)，用通分的方法就比較快。要填入10個(gè)分?jǐn)?shù)，他們的公分母應(yīng)是2*3（10+1）=66， = ， = .那么在 和 之間填的10個(gè)分?jǐn)?shù)依次是 > > > > > > > > > > > .

再如，在 和 之間一次填出100個(gè)分?jǐn)?shù)，其中最小的是多少？最大的是多少？利用“分子相加得分子，分母相加得分母”的方法就更難以解決了。而利用通分方法就很容易。方法是所有分?jǐn)?shù)公分母是：2*3*（100+1）=606，

= ， = ，在 和 之間填入100個(gè)分?jǐn)?shù)中最小的是 ，最大的是 .

經(jīng)歷批改中的發(fā)現(xiàn)和偶得，不僅使我獲得學(xué)生成長(zhǎng)的驚喜，也收獲了教學(xué)相長(zhǎng)的快樂與思考。感謝學(xué)生求異性思維的發(fā)現(xiàn)與探究。