數(shù)域上矩陣公分母的一些基本性質(zhì)

王 禮 想

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

數(shù)域上矩陣公分母的一些基本性質(zhì)

王 禮 想

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

文章引入了數(shù)域上矩陣公分母的概念，并且討論了數(shù)域上特殊線性群中矩陣公分母的一些基本性質(zhì)。在數(shù)域的整數(shù)環(huán)是主理想環(huán)的特殊情況下，研究了最小公分母滿足的一些重要條件。

整數(shù)環(huán)；K-矩陣；Ok-矩陣；公分母

在研究數(shù)域K上的矩陣(以下簡(jiǎn)稱K-矩陣)A(本文總假設(shè)A不是零矩陣)時(shí)，常把它與K的代數(shù)整數(shù)環(huán)Ok上的一個(gè)矩陣(以下簡(jiǎn)稱Ok-矩陣)B建立關(guān)系，其中常用的方法：給A乘以O(shè)k中的一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)整數(shù)α，使得B=αA是Ok-矩陣，顯然這樣的α不唯一，易驗(yàn)證集合QA：={α∈Ok|αA是Ok-矩陣}是Ok的一個(gè)理想。

定義1 稱上述理想QA為矩陣A在域K上的公分母。如果QA是主理想，則把QA的任意生成元稱為A在域K上的一個(gè)最小公分母。

注1 在不致混淆的情況下，上述概念總是簡(jiǎn)稱為A的公分母及A的最小公分母。特別地，在K是有理數(shù)域Q，Ok是有理整數(shù)環(huán)Z的情況下，熟知存在正整數(shù)n使得QA=(n)，所以在此情況下，總是選擇n作為A的最小公分母。

在數(shù)域?yàn)橛欣頂?shù)域這一特殊情況下，作為公分母這一概念的應(yīng)用，文獻(xiàn)[4]中研究了在P∈SL(2,Q)，且q級(jí)主同余子群Γq的共軛子群PΓqP-1為SL(2,Z)的子群時(shí)，P的最小公分母的如何取值的問(wèn)題。文中有關(guān)模論的基本知識(shí)可參考文獻(xiàn)[1-2]，代數(shù)數(shù)域的內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[3,5]。

本文主要是考慮數(shù)域K上n階特殊線性群SL(n,K)中矩陣公分母的一些基本性質(zhì)。

定義2 給定K-矩陣A，稱A的一切元素在K中生成的分式理想IA為A的理想。

根據(jù)數(shù)域中分式理想的定義以及基本性質(zhì)，下面命題1是顯然的。

命題2 給定n階K-矩陣A，B，AB乘積的公分母QAB整除QAQB。

證明 任取ω∈QA，θ∈QB，(ωθ)·(AB)=(ωA)·(θB) 是Ok-矩陣，而QAQB是包含一切ωθ的最小理想，即得QAQB?QAB。

證明 設(shè)Sn是對(duì)稱群，sgnσ是置換的符號(hào)，即sgnσ=1僅當(dāng)σ是偶置換，否則sgnσ=-1。因A是SL(n,K)中矩陣，故其行列式為

命題5n階K-矩陣A∈SL(n,K)乘以SL(n,Ok)中一個(gè)矩陣后，公分母不變。

證明 由于A乘以可逆矩陣B∈SL(n,Ok)后的理想IAB?IA，當(dāng)然I(AB)B-1?IAB，即IA=IAB，再由命題3即得。

下面主要是討論當(dāng)Ok是主理想環(huán)時(shí)，最小公分母滿足的一些重要條件。這里除非特別說(shuō)明，總是假設(shè)Ok是主理想環(huán)。由定義2知，用最小公分母代替公分母來(lái)討論是方便的。以下稱Ok中某一可逆元為單位，相差Ok中一個(gè)單位的兩元α,β稱為相伴。

命題6 給定K-矩陣A∈SL(n,K)，非零元π∈Ok是A的一個(gè)最小公分母當(dāng)且僅當(dāng)矩陣B=πA的理想IB=Ok，即B的所有元素的最大公因子與1相伴。

證明 必要性。由于Ok是主理想環(huán)，且B的理想IB?Ok，因此存在非零元θ∈Ok使得IB=(θ)。因此C=θ-1B是Ok-矩陣，即存在α∈Ok，使得detC=α，故θn·α=detB=det(πA)=πn，即θn整除πn。如果θ,π的最大公因子與1相伴，則θ是單位，即證；否則存在Ok中不可約元ω同時(shí)整除θ,π，且是π的真因子，有πω-1∈IA=(π)，矛盾。

充分性。設(shè)QA=(β)。由IB=Ok，則B=πA必然是Ok-矩陣，即π∈QA，故存在υ∈Ok，使得π=βυ。有必要性C=βA的理想IC=Ok，所以O(shè)k=υO(shè)k，即υ是Ok的一個(gè)單位，而π是一個(gè)最小公分母。

根據(jù)模論的知識(shí)[1]，對(duì)于主理想整環(huán)Ok上的矩陣有下面重要結(jié)論：

定理1 對(duì)于Ok上任意n階非零矩陣A，存在U,V,P,Q∈SL(n,Ok)，使得UA為上三角形矩陣，AV為下三角形矩陣，而PAQ為對(duì)角形矩陣D：

D=diag(d1,d2,…,dr,0,…,0)

(1)

其中d1(1≤i≤r)是Ok中一組非零元，且滿足整除關(guān)系d1|d2|…|dr。進(jìn)一步，這些di在Ok中元素相伴的意義下是唯一的。

注2 定理1中di稱為A的第i個(gè)不變因子。若A∈SL(n,K)，則乘以它的最小公分母α，可知存在P,Q∈SL(n,Ok)，使得B=αA可以化為(1)式的形狀，且r=n。故

G=PAQ=α-1diag(d1,d2,…,dn)

(2)

再由命題3與命題5知，G的最小公分母也是α，d1是Ok中的一個(gè)單位。而且由于detG=1，所以d1d2…dn=αn。由此可以討論Ok是主理想環(huán)時(shí)，命題2中，QAB何時(shí)與QAQB相等。

命題7 給定A,B∈SL(n,K)，α,β分別是A,B的最小公分母。如果α,β互素，則乘積AB的最小公分母與αβ相伴，即QAB=QAQB。

證明 對(duì)矩陣A，設(shè)P,Q∈SL(n,Ok)滿足(2)式。這樣由命題5知AB與PAB公分母相同，由定理1知，

PAB=PAQ(Q-1B)=

α-1diag(d1,d2,…,dn)(Q-1B)

(3)

其中d1,d2,…,dn=αn。

再由命題5知，Q-1B與B公分母相同。由定理1設(shè)V∈SL(n,Ok)，使得(Q-1B)V為下三角形，當(dāng)然仍與B公分母相同。設(shè)

其中對(duì)于1≤i,j≤n，hij∈Ok并且h11h22…h(huán)nn=βn。由(3)式可得：

設(shè)H的第j行元的一個(gè)最大公因子hj，顯然hj整除hjj。

由命題6知d1,d2,…,dn與h1,h2,…,hn兩組元素的最大公因子都與1相伴，下面證明d1h1,d2h2,…,dnhn的最大公因子也與1相伴。

反證法 假設(shè)有素元p同時(shí)整除這n個(gè)元，則可知p至少整除一個(gè)di和一個(gè)hj，否則由素元的性質(zhì)，p將整除所有di或hj，這與它們的最大公因子是單位相矛盾。而由此導(dǎo)致p整除d1d2…dn=αn，但是由hj的定義，h1h2…h(huán)n整除h11h22…h(huán)nn=βn，這樣p同時(shí)整除αn與βn，這與α,β互素矛盾，即證AB最小公分母與αβ相伴。

下面證明命題7對(duì)應(yīng)的逆命題也正確。

命題8 設(shè)C∈SL(n,K)，γ=αβ是其一個(gè)最小公分母，則存在A,B∈SL(n,K)，滿足C=AB,且A,B的最小公分母分別與α,β相伴。

證明 取P,Q∈SL(n,Ok)，使得

PCQ=γ-1diag(d1,d2,…,dn)，

如果γ是單位，則結(jié)果顯然，因此可令γ,α,β分解式分別為

如果ei=0，則對(duì)整數(shù)1≤j≤n，令αji=1。

如果ei≠0，因?yàn)閚hi≥nei，且s1i=0，故存在0

此時(shí)令

A=α-1P-1diag(α1,α2,…,αn)，

B=β-1diag(β1,β2,…,βn)Q-1，

容易驗(yàn)證A,B滿足所求。

命題9 給定A∈SL(n,K)，α是A的最小公分母，dn是αA的第n個(gè)不變因子，則α整除dn，且A-1的最小公分母與dnα-1相伴。

證明 取P,Q∈SL(n,Ok)使得(2)式成立。設(shè)p是α的一個(gè)素因子。如果對(duì)于非負(fù)整數(shù)f，pf整除α，則pnf整除αn。如果pf不能整除dn，則d1|d2|…|dr也不能整除di，但是d1是單位，因此由d1d2…dn=αn得p(n-1)f不整除αn，矛盾，即α整除dn。

對(duì)后一斷言，由(2)式得：

由α整除dn得G-1的最小公分母與dnα-1相伴，再由命題5即得。

[1]T. S. Blyth.Module Theory:An Approach to Linear Algebra [M]. Oxford: Clarendon Press, 1977.

[2]J. J. Rotman. 高等近世代數(shù)[M]. 章亮, 譯. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2007:483-490.

[3]馮克勤. 代數(shù)數(shù)論[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2001.

[4]孫廣人. 主同余子群的Γ(n)-正規(guī)化子[J]. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 19(4), 5-7.

[5]張賢科. 代數(shù)數(shù)論導(dǎo)引[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2006.

On the Common Denominator of a Matrix over Some Number Field

WANG Li-xiang

(Department of Mathematics, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

The notion common denominator of a matrix over some number field is introduced in this paper. Some basic facts are cleared when the matrix is belonging to the special linear group over a given number field. When the integer ring of number field is a principal ideal domain, several fundamental properties on minimum common denominator are stated.

integer ring,K-matrix,Ok-matrix, common denominator

2015-05-20

安慶師范學(xué)院青年科研基金(KJ201414)。

王禮想，女，安徽淮北人，碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)閿?shù)字圖像處理。

時(shí)間：2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.005.html

O152.3

A

1007-4260(2015)04-0016-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.005