高等數(shù)學(xué)中定積分計算和應(yīng)用的一點注記

陳 軍 勝

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

高等數(shù)學(xué)中定積分計算和應(yīng)用的一點注記

陳 軍 勝

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

以高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中兩個定積分的計算為例，引導(dǎo)學(xué)生利用已知幾何體體積對定積分計算過程中的錯誤進(jìn)行分析，給出正確解題方法；同時利用定積分的計算結(jié)果來分析探究特殊幾何體的形體。

定積分；幾何體體積；高等數(shù)學(xué)

下面，通過在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的兩個習(xí)題為例，分析學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的錯誤原因，引導(dǎo)學(xué)生利用已知幾何體的體積與二重積分的計算結(jié)果做比較研究。

教材[1]習(xí)題8-3中的一道計算題：

解法2 由于所求的立體關(guān)于xoz面對稱，于是所截立體的體積V是第一卦限那部分曲頂柱體體積的2倍，即

其中，D2={(x,y)|y≥0,x2+y2≤Rx}，如圖3所示。

作極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ，區(qū)域D2的邊界曲線的極坐標(biāo)方程為

下面這個例題是用積分的計算結(jié)果來探究幾何體的形體。

教材[2]習(xí)題5第5題：

例2 計算底面半徑為R的圓，而垂直于底面一固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積。

解 如圖4所示，則底面方程為x2+y2=R2。對任意的x∈[-R,R]，過點x且垂直于x軸的截面是一個等邊三角形，底和高分別為

于是，立體體積

考察用平行于xoz平面y=y0去截割幾何體所得的邊界曲線方程，如圖5所示。

考察用平行于xoy平面z=z0(z0≥0)去截割幾何體所得的邊界曲線方程，如圖6所示。

所以，用平行于xoy平面z=z0(z0≥0)去截割幾何體所得的邊界曲線方程是兩圓的交線。

[1]林偉初. 高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類)下冊[M]. 2版.上海: 復(fù)旦大學(xué)社,2013: 73.

[2] 黃立宏. 高等數(shù)學(xué)上冊[M]．3版. 上海:復(fù)旦大學(xué)社, 2011: 205.

[3] 董艷慧. 對維維安尼(Viviani)體的體積錯解小議[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究, 2011, 30(10): 62-63.

Note on the Integral Calculation and Application Higher Mathematics

CHEN Jun-sheng

(School of Mechanical Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

The calculation problem for example encountered two of the definite integral of taking higher mathematics teaching process, we guide students to use the known geometry volume results, why the process error calculation of the definite integral is analyzed, and given the right method for solving. At the same time, we use the definite integral computation result analysis to explore a special geometry shape.

definite integral, geometry, higher mathematics

2015-04-02

陳軍勝，男，寧夏西吉人，碩士，寧夏大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授，研究方向為隨機(jī)分析、數(shù)學(xué)優(yōu)化。

時間：2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.030.html

O13

A

1007-4260(2015)04-0120-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.030