例析“動點的路徑長”中考壓軸題解題策略

☉江蘇省淮安市淮海中學(xué) 張建華

著名數(shù)學(xué)家弗蘭登塔爾曾說：“從來沒有一種數(shù)學(xué)的思想會像當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)時那樣付諸文字，一旦問題解決了，思考的程序便顛倒過來，把火熱的思考變成冰冷的美麗”.動點問題是近年來中考的熱點，其中有關(guān)直接寫出動點的路徑長的中考題也備受各地中考命題者的青睞，由于動點所經(jīng)過的路徑是隱性的，這類試題能全面考查數(shù)學(xué)活動過程、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累、解決問題的能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，動點問題要經(jīng)過火熱的思考，才能得出冰冷的美麗，因此，這類問題常是填空題、選擇題、解答題中的壓軸題，而在解答題中常是直接寫出動點的路徑長．

一、解題策略

因動點所經(jīng)過的路徑長可求，故常見的動點所經(jīng)過的路徑有線段和圓弧兩類．路徑雖是“隱性”，但用三點這“X光”顯其形（即起點、過程點和終點三點確定其形狀），五步解決問題．具體五步是：一畫，畫出動點的起點、過程點和終點；二看，觀察三點是否在一直線上；三猜想，在一直線上是線段，不在一直線上是圓??；四驗證，線段型常用中位線或垂直平分線等知識解決，圓弧型常利用“有對稱性”和“90°的圓周角所對弦是直徑”等知識確定圓心和半徑；五計算，常用勾股定理、相似三角形等知識進行求解.多媒體的普及，對于數(shù)學(xué)教學(xué)的作用是不容忽視的，特別是幾何畫板在解決動態(tài)問題的作用真是妙不可言的，讓我們在圖形變化的過程中體驗、把握、認知數(shù)學(xué)的美.本文例舉近幾年的中考題進行歸類剖析，供2013年中考復(fù)習(xí)教學(xué)參考，并試圖用幾何畫板進行動感體驗.

二、分類剖解

圖1

（一）線段型

1.中位線型

例1 （2012年湖南張家界）如圖1，已知線段AB=6，C、D是AB上兩點，且AC=DB=1，P是線段CD上一動點，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為______.

解析：如圖1，分別延長AE、BF交于點H，連接HD，過點G作MN∥AB分別交HA、HD于點M、N.

因為△APE和△PBF是等邊三角形，所以∠A=∠FPB=60°，∠B=∠EPA=60°.

所以AH∥PF，BH∥PE.

所以四邊形EPFH為平行四邊形.

所以EF與HP互相平分.

因為點G為EF的中點，所以點G也正好為PH中點，即在點P的運動過程中，點G始終為PH的中點.

所以點G的運行軌跡為△HCD的中位線MN.

因為AB=6，AC=DB=1，所以CD=6-1-1=4.

所以MN=2，即G的移動路徑長為2.

動感體驗：打開幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標(biāo)系］→在x軸上取點A、C、D、B→選中點C、D→［構(gòu)造］→［線段］→在線段CD上取點P→選中線段CD→右鍵→［隱藏線段］；（2）選中點A、P→［構(gòu)造］→［線段］→雙擊點A→［變換］→［旋轉(zhuǎn)］→［固定角60度］→回車得到線段AE→點A、E→［構(gòu)造］→［線段］→等邊△APE；（3）同樣方法構(gòu)造等邊△BPF；（4）點E、F→［構(gòu)造］→［線段］→選中EF→［構(gòu)造］→［中點］→記為G.

如圖2，選中點G，右鍵→［追蹤點］，拖動點P，G點的路徑是一線段.

圖2

例2（2010年江蘇南京）如圖3，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG.

（1）設(shè)AE=x時，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長.

圖3

圖4

分析：（1）略.（2）如圖4，畫出當(dāng)動點E在起點E1、過程中E1E2上、終點E2時，對應(yīng)P點為P1、P和P2，發(fā)現(xiàn)P1、P、P2這三點在一直線上，易證點P的路徑為△MG1G2的中位線，又易證△MG1G2∽△BAM，從而求出G1G2=4，故P1P2=2.

當(dāng)點E與點A不重合時，0＜x≤2.

在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，

所以∠MDF=90°，所以∠A=∠MDF.

因為AM=DM，∠AME=∠DMF，所以△AME≌△DMF.所以ME=MF.

過M作MN⊥BC于N，則∠MNG=90°，∠AMN=90°.

因為MN=AB=AD=2AM，所以∠AME+∠EMN=90°.

因為∠EMG=90°，所以∠NMG+∠EMN=90°.

所以∠AME=∠GMN，所以Rt△AME∽Rt△NMG.

所以y=2x2+2（0≤x≤2）.

（2）點P的運動路線長為2.

動感體驗：打開幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標(biāo)系］→在y軸上取點A，原點B→選中點A、B→［構(gòu)造］→［線段］→雙擊點A→［變換］→［旋轉(zhuǎn)］→［固定角90°］→回車得到線段選中線段AD，同樣方法將線段AD繞點D旋轉(zhuǎn)90°，得線段CD，連接BC，得正方形ABCD；（2）選中線段AD→［構(gòu)造］→［中點］得AD中點M；（3）在線段AB上取一點E→選中E、M→［構(gòu)造］→［射線］；（4）選中線段CD→右鍵→［隱藏線段］→選中C、D→［構(gòu)造］→［射線］，兩射線交點為F；（5）選中M、射線EM→［構(gòu)造］→［垂線］→交BC于點G；（6）選中射線ME→右鍵→［隱藏射線］→選中點M、G→［構(gòu)造］→［線段］→［構(gòu)造］→［中點］記為P.

圖5

如圖5，選中點P，右鍵→［追蹤點］.拖動點E，P點的路徑是一線段.

2.線段的垂直平分線型

例3（2011年福建三明）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF（如圖6）.

圖6

圖7

（1）當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖7），求PC的長.

（2）探究：將直尺從圖7中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E和點A重合時停止.在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由.

②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長.

圖8

圖9

又因為∠BPC=90°，所以∠APB+∠DPC=90°.

所以∠ABP=∠DPC.

（2）①tan∠PEF的值不變.

理由：過點F作FG⊥AD，垂足為點G，則四邊形ABFG是矩形.

所以∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2.

所以∠AEP+∠APE=90°.

又因為∠EPF=90°，所以∠APE+∠GPF=90°.

所以∠AEP=∠GPF，所以△APE∽△GPF.

所以tan∠PEF的值不變.

（二）圓弧型

1.利用對稱性確定圓心和半徑

例4 （2012年江蘇鎮(zhèn)江）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，2），直線OP經(jīng)過原點，且位于第一、三象限，∠AOP=45°（如圖10），設(shè)點A關(guān)于直線OP的對稱點為B.

（1）寫出點B的坐標(biāo)______.

（2）過原點O的直線l從直線OP的位置開始，繞原點O順時針旋轉(zhuǎn).

①當(dāng)直線l沿順時針方向旋轉(zhuǎn)10°到直線l1的位置時（如圖10），點A關(guān)于直線l1的對稱點為C，則∠BOC的度數(shù)是______，線段OC的長為______；

②當(dāng)直線l沿順時針方向旋轉(zhuǎn)55°到直線l2的位置時（如圖11），點A關(guān)于直線l2的對稱點為D，則∠BOD的度數(shù)是______；

③當(dāng)直線l沿順時針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤90°）時，在這個運動過程中，點A關(guān)于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑長為______（用含n的代數(shù)式表示）.

圖10

圖11

解析：（1）如圖10，由∠AOP=45°，點A在y軸上，得點A關(guān)于直線OP的對稱點B在x軸上.根據(jù)“軸對稱和線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等”的性質(zhì)可知B（2，0）.

動感體驗：打開幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標(biāo)系］→在y軸上取點A（0，2）；（2） 點擊畫圓工具→畫出⊙O；（3）任取點C，選中O、C→［構(gòu)造］→［直線］，得直線l；（4）選中點A、直線l→［構(gòu)造］→［垂線］，交⊙O于點B；（5）選中⊙O→右鍵→［隱藏圓］.

圖12

如圖12，選中點B，右鍵→［追蹤點］.旋轉(zhuǎn)直線l，B點的路徑是圓.

2.利用90°的圓周角所對弦是直徑確定圓心和半徑

例5（2011年浙江湖州）如圖13，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D.

（1）求點D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時，求m的值；

（3）設(shè)過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖14），當(dāng)點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點H所經(jīng)過的路徑長.（不必寫解答過程）

圖13

圖14

圖15

解：（1）由題意得CM=BM.

因為∠PMC=∠DMB，所以Rt△PMC≌Rt△DMB.

所以DB=PC，所以DB=2-m，AD=4-m.

所以點D的坐標(biāo)為（2，4-m）.

②若PD=PA，過P作PF⊥AB于點F（如圖13），

③若PD=DA，因為△PMC≌△DMB，

動感體驗：打開幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標(biāo)系］中，畫出正方形ABCD.（2）選中線段BC→［構(gòu)造］→［中點］得BC中點M.（3）在OC上取點P→［度量］→［縱坐標(biāo)］，記為m；同樣方法，點M的橫坐標(biāo)為xm點B的縱坐標(biāo)為yB.（4）［數(shù)據(jù)］→［新建函數(shù)］→輸入g（x）→回車→選中g(shù)（x）右鍵→［繪制函數(shù)］，得拋物線g（x）.（5）拋物線g（x）與x軸交點為E.（6）選中M、E→［構(gòu)造］→［直線］→選中O→［構(gòu)造］→［垂線］，垂足為H.

如圖16，選中點H，右鍵→［追蹤點］.拖動P，H點的路徑是圓弧.

圖16

三、幾點思考

1.要引導(dǎo)學(xué)生解題后要反思

在解題過程中，要求學(xué)生不能僅滿足于問題已解決，要引導(dǎo)學(xué)生審視問題，探究問題的本質(zhì)，通過歸納總結(jié)，從而提高學(xué)生的思維水平，使思維得到拓展，從而達到做一題會一類，甚至知一片的目的.

2.沒有過程就沒有思想

在教學(xué)中，讓學(xué)生自主探究問題的過程，要留有余地，讓學(xué)生有思有想，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的方法，體會從幾個特殊點入手，通過觀察、猜想、驗證、證明的過程，從中積累經(jīng)驗，從而達到“授之以漁”的目的.

3.要通過典型問題，進行適當(dāng)拓展

在中考復(fù)習(xí)時，要立足課本，瞄準(zhǔn)課標(biāo)和中考說明，既要訓(xùn)練好基礎(chǔ)題，也要在知識方法上適當(dāng)拓展，提高學(xué)生中考的適應(yīng)性.

4.不斷更新教學(xué)理念，提高教學(xué)能力

教學(xué)中要不斷更新教學(xué)理念，提高教學(xué)能力，多媒體的普及，對于數(shù)學(xué)教學(xué)的作用是不容忽視的，特別是幾何畫板在解決動態(tài)問題的演示時，很直觀地讓我們在圖形變化的過程中體驗、把握、認知數(shù)學(xué)的美.因此，作為教師也要不斷地學(xué)習(xí)，才能與時俱進，為提高教學(xué)質(zhì)量而達到事半功倍的效果.