四邊形中的蝴蝶定理

☉江蘇省連云港市新海實驗中學 趙 淵

蝴蝶定理 過圓的弦AC的中點I，作兩條不同的弦EF、HG.如果EG、HF分別交AC于點M、N，那么IM=IN.

蝴蝶定理是初等幾何中的近代名題之一，它于1815年在西歐出版的雜志《男士日記》上問世，它引起了眾多數(shù)學愛好者的關(guān)注，其中有些人給出了簡單、優(yōu)美的證明，還有一些人給出了各種不同的圖形變式以及一般化結(jié)論.特別地，有人在圓中對蝴蝶定理作了推廣，并運用面積的方法進行證明：

圖1

本文中我們將用類似的方法證明四邊形中的蝴蝶定理.

我們先來看有關(guān)三角形面積的一些性質(zhì).

圖 2（1）

圖 2（2）

圖 2（3）

我們將蝴蝶定理推廣到四邊形中：

證明：如圖3所示，我們發(fā)現(xiàn)12對三角形，每一對三角形具有公共的邊或公共的角或相等的角.運用三角形面積的兩個性質(zhì)，我們有：

圖3

1.周春荔.蝴蝶定理——研究性學習的一個好課題［J］.數(shù)學通報，2004（1）.

2.肖秉林.蝴蝶定理的另一呈現(xiàn)形式［J］.數(shù)學通報，2006（5）.

3.郝志剛.花蝴蝶定理［J］.數(shù)學通報，2010（4）.