如何應用二次函數(shù)求解一元二次不等式

徐煥奎

摘 要：本文探討應用二次函數(shù)的性質直接簡單地求解一元二次不等式的方法。

關鍵詞：二次函數(shù) 求解 一元二次不等式

在求解一個一元二次不等式的時候，我們都是先將一元二次不等式化為一元一次不等式組，再解一元一次不等式組，其不等式組的解，也是原一元二次不等式的解。然而，一元二次方程和一元二次不等式與二次函數(shù)有著密切的關系。如求二次方程ax2+bx+c=0的解，就是求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的根；求不等式ax2+bx+c<0的解集，就是求使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值小于零的自變量的取值區(qū)間。同樣求不等式ax2+bx+c>0的解集，就是求使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于零的自變量的取值區(qū)間。因此，我們可以應用二次函數(shù)的性質直接簡單地求解一個一元二次不等式。

一、求解一個一元二次不等式的三種情況及分析

對任意一個一元二次不等式ax2+bx+c>0（<0）與其相應的一元二次方程為ax2+bx+c=0，相應的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a≠0）。若a>0時，y=ax2+bx+c的圖像開口向上，而且有以下三種情況，如圖1所示。

圖1

其一，若ax2+bx+c=0有兩個根x1、x2，即Δ>0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1（1）所示，結果見表1。

表1

ax2+bx+c=0 x=x1，x=x2

y=ax2+bx+c xx2時，y>0；x1

ax2+bx+c>0 xx2 x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞）

ax2+bx+c<0 x1

其二，若ax2+bx+c=0有一個根，即Δ=0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1（2）所示，結果見表2。

表2

ax2+bx+c=0 x=x0

y=ax2+bx+c x =x0時，y=0，x≠x0時，y>0

ax2+bx+c>0 x≠x0 x∈（-∞，x0）∪（x0，+∞）

ax2+bx+c<0 無解 x∈φ

其三，若ax2+bx+c=0無根，即Δ<0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1（3）所示，結果見表3。

表3

ax2+bx+c=0 無解

y=ax2+bx+c x∈R y>0

ax2+bx+c>0 x∈R

ax2+bx+c<0 x∈φ

下面通過實例分析：

例1：解不等式x2-x-6>0

解：由x2-x-6=0解得x1=-2，x2=3

∴ x2-x-6>0的解為：x<-2或x>3

即：x∈（-∞，-2）∪（3，+∞）

例2：解不等式x2+5x+6<0

解：由x2+5x+6=0得x1=-3，x2=-2

∴ x2+5x+6<0的解為：-3

即：x∈（-3，-2）

例3：解不等式，①x2+2x+1>0，②x2+2x+1<0

解：①由x2+2x+1=0得x=-1

∴ x2+2x+1>0的解為x≠-1

即：x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）

②由x2+2x+1=0，得x=1

∴ x2-2x+1<0，無解，即x∈φ

例4：解不等式，①x2+x+2>0，②x2+2x+3<0

解：①由x2+x+2=0，得Δ<0

∴ x2+x+2>0的解為一切實數(shù)

即：x∈R

②由x2+2x+3=0得Δ<0

∴ x2+2x+3<0，無解，即x∈φ

二、求解一個一元二次不等式的三種結論及分析

對任意一個一元二次不等式ax2+bx+c>0（<0）與其相應的一元二次方程為ax2+bx+c=0，相應的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a≠0），若a<0時，y=ax2+bx+c的圖像開口向下，而且有以下三種情況，如圖2所示。

圖2

這樣由ax2+bx+c=0的三種情況，①Δ>0，②Δ=0，③Δ<0，確定其相應ax2+bx+c>0（或<0）的解集。其討論方法和a>0時的完全一樣，不再一一總結。這三種結論記著更好，可直接得解集。其實也沒有必要死記a<0的情況，因為凡是ax2+bx+c>0（<0）當a<0時總可先將其轉化為：ax2+bx+c>0（或<0）的情況，然后按a>0的一種情況求解之。下面通過例題分析。

例5：解不等式-x2+x+6>0

解：由-x2+x+6=0得x1=-2，x2=3

∴ -x2+x+6>0的解為：-2

即x∈（-2，3）

例6：解不等式-2x2+3x-1<0

解：原不等式-2x2+3x-1<0，即是不等式2x2-3x+1>0

由2x2-3x+1=0得x1= 2—1，x2=1

∴ 2x2-3x+1>0的解為：x< 2—1 或x>1

即 -2x2+3x-1<0的解集為：x∈（-∞，1/2）∪（1，+∞）

三、例題分析

通過具體例題分析，在解一元二次不等式的時候是將其轉化為一元一次不等式組求解簡單，還是應用二次函數(shù)求解簡單。

例7：解不等式x2+5x+6>0

解1：由x2+5x+6>0分解因式得

（x+2）（x+3）>0

即： 或

=> 或

∴ x>-2或x<-3

即x∈（-∞，-3）∪（-2，+∞）

解2：由x2+5x+6=0解得

x1=-3，x2=-2

∴ x<-3或x>-2

即x∈（-∞，-3）∪（-2，+∞）

顯然，解1是先將一元二次不等式化為一元一次不等式組，再解一元一次不等式組求解，其步驟多，比較麻煩；解2是根據二次函數(shù)的性質直接簡單地求解一元二次不等式。