淺談解析幾何題的解題策略

劉峰

摘 要：解析幾何中經(jīng)常碰到處理取值范圍的問題，這類問題著重考查解析幾何與函數(shù)的綜合運(yùn)用. 下文以一道高三一模調(diào)研題為例，在用常規(guī)思路，通解通法的前提下，分析此類問題的切入點(diǎn)及后續(xù)處理方法.

關(guān)鍵詞：解析幾何；求解策略；調(diào)研試題

解析幾何中經(jīng)常碰到處理取值范圍的問題，這類問題著重考查解析幾何與函數(shù)的綜合運(yùn)用. 在這類問題中，往往最終化為函數(shù)值域問題，此時(shí)選取合適的變量尤為重要，所選變量最終決定函數(shù)形式及處理的繁簡(jiǎn)；此外，此類問題的切入點(diǎn)往往是直接或間接設(shè)點(diǎn)或直線，切入點(diǎn)的選取往往又直接決定了變量的選取.

下文以一道高三一模調(diào)研題為例，在用常規(guī)思路，通解通法的前提下，分析此題的切入點(diǎn)及后續(xù)處理方法. 筆者就此問題的解題思路、策略進(jìn)行了整理歸納. 不妥之處，望同仁斧正.

題目：（2013年蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研第19題）已知橢圓E：+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點(diǎn)D，連接DC，PB.

（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；

（2）設(shè)直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍.

（1） 思路分析：在Rt△ADC中，已知斜邊AC=3，要求S△ADC，因?yàn)镾△ADC=DA·DC①或S△ADC=AC·高②，無(wú)論選用公式①還是公式②都離不開對(duì)點(diǎn)D的求解.下面給出3種常見解題策略.

策略1：設(shè)點(diǎn)D（xD，yD）→

DA2+DC2=AC2，

D在橢圓E上或kDA·kDC=-1，

D在橢圓E上或

D在橢圓E上，得D坐標(biāo)→DA，DC→S△ADC=DA·DC；

策略2：（同策略1）→D坐標(biāo)→S△ADC=AC·

策略3：設(shè)kDA→kDC=-→kDA，D→lDA，

kDC，C→lDC→交點(diǎn)D（用kDA表示）在橢圓E上→kDA→lDA，

橢圓E→D坐標(biāo)→S△ADC=AC·

說(shuō)明：策略1與策略2直接設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)求解，策略3間接設(shè)斜率kDA，求解出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)一步計(jì)算求解. 3種策略思路清晰，想法簡(jiǎn)潔，從計(jì)算量及充分運(yùn)用題目條件兩個(gè)角度講，策略2為第1小問的首選解題策略.

（2）思路分析：由條件出發(fā)，點(diǎn)D，C及kAP，k1，k2都為未知變量，則解題時(shí)可從設(shè)點(diǎn)（D（xD，yD），P（xP，yP））或設(shè)斜率（kAP，k1，k2）入手；從所要求目標(biāo)思考，要求λ的取值范圍，就是要求的取值范圍，從而只要將化為關(guān)某個(gè)變量（xD，yD，xP，yP，kAP，k1，k2）的函數(shù)，進(jìn)而求解此函數(shù)的值域即可.

策略1：設(shè)點(diǎn)D（xD，yD）→kDA=kPA，

kPA·k1=-1→k1，

D，C→k2，→λ=

（用xD，yD表示），

D在橢圓E上，

→λ=（關(guān)于xD（或yD）的函數(shù)）；

策略2：設(shè)點(diǎn)P（xP，yP）→P，A→

l，

橢圓E→點(diǎn)D坐標(biāo)→D，C→k2，

P，B→k1→λ=

（用xP，yP表示），

D在橢圓E上，→λ=（關(guān)于xP（或yP）的函數(shù)）.

策略3：設(shè)kAP=k，A→lAP，橢圓E→D，

lAP，圓→P→D，C→k2，

P，B→k1→λ=（用k表示）；

策略4：k1，B→lPB，

圓→點(diǎn)P坐標(biāo)→P，A→lPA，

橢圓E→點(diǎn)D坐標(biāo)，C→k2（關(guān)于k1的函數(shù)）→λ=（關(guān)于k1的函數(shù)）；

策略5：k2，C→lDC，

橢圓E→點(diǎn)D坐標(biāo)→D，A→lDA

圓→點(diǎn)P坐標(biāo)，B→k1（關(guān)于k2的函數(shù)）→λ=（關(guān)于k2的函數(shù)）；

策略6：k2，C→lDC，

橢圓E→點(diǎn)D坐標(biāo)，A→kAD（關(guān)于k2的函數(shù)）→k2=-→λ=（關(guān)于k2的函數(shù)）；

策略7：A，C，設(shè)D（xD，yD），

D在橢圓E上→kDA·k2（關(guān)于xD（或yD）的函數(shù)）→λ==（關(guān)于xD（或yD）的函數(shù)）.

說(shuō)明：策略1、2直接從設(shè)點(diǎn)，策略3—6從設(shè)斜率出發(fā)，單刀直入，一算到底，思維量小，雖計(jì)算量稍大，但屬于常規(guī)解法，易于入手，其中策略2—6都涉及直線方程與橢圓（或圓）方程的聯(lián)列，消元化為一元二次方程處理，此時(shí)若注意直線與橢圓（或圓）的兩交點(diǎn)中的一點(diǎn)A（-2，0）已知，則另一點(diǎn)的坐標(biāo)實(shí)已躍然眼前；策略7考慮了幾何性質(zhì)，大大降低了計(jì)算量，無(wú)疑是第2小問的最佳解題策略.

一點(diǎn)感受：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握就是通過解題來(lái)完成的，所以教會(huì)學(xué)生怎么解題是教師必須認(rèn)真思考的問題，它也將直接影響學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性. 在教學(xué)中，教師要展示的往往是正確結(jié)論和簡(jiǎn)潔的過程，問題的解決也是一帆風(fēng)順，但在學(xué)生實(shí)際的解題過程中，往往是充滿艱辛和錯(cuò)誤. 遇到一些較難題時(shí)，學(xué)生的思維一時(shí)不能到達(dá)，而采用將題目的求解過程整體展示，這樣學(xué)生的思維參與度就很底.

我們要提升解題教學(xué)的效率，就必須準(zhǔn)確把握學(xué)生的思維習(xí)慣以作為解題策略生成的起點(diǎn)，從常規(guī)思路出發(fā)，從通性通法入手，逐層深入，展示其自然性；對(duì)于超出學(xué)生思維習(xí)慣、認(rèn)知基礎(chǔ)的解題策略，教師可以深入挖掘其合理性，層層揭示.