例談超級(jí)畫板支持下如何優(yōu)化解析幾何教學(xué)

鄧城

【摘要】超級(jí)畫板在數(shù)形結(jié)合和動(dòng)態(tài)展示方面有著強(qiáng)大的功能，能很好地彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足.在解析幾何的教學(xué)中，應(yīng)用超級(jí)畫板可以幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)解析幾何概念的理解，幫助學(xué)生探索定點(diǎn)和最值問題，優(yōu)化解析幾何的教學(xué)方式.

【關(guān)鍵詞】超級(jí)畫板；解析幾何；數(shù)學(xué)探究

在教育教學(xué)中，利用信息技術(shù)促進(jìn)教學(xué)，已成為現(xiàn)代教育的一個(gè)標(biāo)志.超級(jí)畫板在數(shù)形結(jié)合和動(dòng)態(tài)展示等方面上有著強(qiáng)大功能，能有力地彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足，但具體到教學(xué)中何時(shí)用、何處用、怎么用來優(yōu)化教學(xué)卻是亟待研究的問題.筆者對(duì)自身的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了初步反思，得到幾點(diǎn)粗淺的看法，望能起到拋磚引玉的作用.1應(yīng)用超級(jí)畫板幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)解析幾何概念的理解

高中數(shù)學(xué)中解析幾何部分內(nèi)容相對(duì)抽象和復(fù)雜，特別是圓錐曲線的概念涉及到的限制條件較多，定義方式不單一，對(duì)應(yīng)圖象的生成方式多樣化，同時(shí)各種圓錐曲線間的性質(zhì)容易混淆，這些都造成了學(xué)習(xí)上的困難.筆者曾經(jīng)在講授完橢圓的定義后給學(xué)生布置了課本中的一道習(xí)題作為作業(yè)（人教版選修2-1的習(xí)題22），題目如下：圖1

如圖1，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

作業(yè)的效果不是很好，什么原因？學(xué)生知道橢圓的定義中有“動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值……”這樣的條件，但此題并沒有直接給出這個(gè)條件來，需要學(xué)生自己去構(gòu)建，這時(shí)觀察能力和聯(lián)想能力就很重要了.事實(shí)上觀察能力和聯(lián)想能力恰恰是解析幾何教學(xué)中需要重點(diǎn)培養(yǎng)的方面，基于軌跡的動(dòng)態(tài)特征，借助超級(jí)畫板等信息技術(shù)來輔助教學(xué)就很有必要.

筆者在后來上橢圓的新課時(shí)干脆把上面這個(gè)題目當(dāng)成新課的引入部分，利用超級(jí)畫板中的“跟蹤”功能，慢慢拖動(dòng)P點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，讓學(xué)生觀察軌跡的特點(diǎn)和其中隱含的條件，進(jìn)而引出橢圓的概念.這樣的橢圓概念新課處理方式激發(fā)了學(xué)生對(duì)Q點(diǎn)軌跡的好奇心，極大地方便學(xué)生觀察變化規(guī)律，同時(shí)也給學(xué)生留下了一種印象深刻的橢圓生成方式.

上面用到的超級(jí)畫板課件還可以在講授離心率時(shí)派上用場(chǎng)，拖動(dòng)A點(diǎn)使得OA的距離變大，利用超級(jí)畫板的“軌跡”功能容易發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的橢圓越來越扁.在此過程中可引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)OA的距離變大（即焦距2c變大）時(shí)，又由于圓O不變即有2a不變，從而離心率e=ca變大，與此同時(shí)橢圓越來越扁.如此一展示，學(xué)生容易理解離心率對(duì)橢圓扁平程度的影響關(guān)系.另外，在新授雙曲線的概念時(shí)上述超級(jí)畫板的課件仍然可以繼續(xù)使用，拖動(dòng)A點(diǎn)到圓O外時(shí)就得到Q點(diǎn)軌跡為雙曲線，這個(gè)結(jié)果容易引發(fā)學(xué)生的疑問，為什么軌跡會(huì)由橢圓變成了雙曲線？正所謂“學(xué)起于思，思源于疑”，教師應(yīng)及時(shí)抓住這個(gè)學(xué)習(xí)的良機(jī)，讓學(xué)生類比橢圓研究雙曲線的特征.

借助以上幾次超級(jí)畫板課件的應(yīng)用，學(xué)生對(duì)圓錐曲線的概念及生成方式能留下深刻的印象，并在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中形成了合理的圖式.值得一提的是這樣的超級(jí)畫板課件制作起來非常容易，當(dāng)前學(xué)校的多媒體設(shè)備都較為普及，完全可以讓學(xué)生親自操作，教師只在關(guān)鍵時(shí)刻加以指導(dǎo)幫助，這樣學(xué)生的探索積極性較高，且在動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中能夠獲得更加深刻的數(shù)學(xué)感悟.2應(yīng)用超級(jí)畫板幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)解析幾何中的定點(diǎn)問題

解析幾何中含參數(shù)的直線或曲線變化多端，但通常都隱藏著過定點(diǎn)的規(guī)律，如果學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律則往往簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化，事倍功半.在傳統(tǒng)教學(xué)中限于信息技術(shù)的局限往往只能對(duì)這類問題通過常規(guī)推理證明，難以直觀展示動(dòng)態(tài)變化中的過定點(diǎn)特征，使得學(xué)生對(duì)該類問題印象不深，容易忘記相關(guān)結(jié)論，更不用說記得怎么推理出來的了.新課標(biāo)提出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容”.通過超級(jí)畫板的軌跡跟蹤功能將動(dòng)直線或曲線的變化情況展示出來，將有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，并將極大地激發(fā)學(xué)生探索現(xiàn)象背后的規(guī)律證明，從而主動(dòng)建構(gòu)起新的知識(shí)，這樣的教學(xué)方式要比原來直接告訴學(xué)生有新規(guī)律然后證明的接受式教學(xué)更加有效.

例如筆者在必修2中講直線系過定點(diǎn)問題時(shí)先引入一個(gè)問題：判斷直線l：ax+（2a-1）y+a=0（a∈R）與圓O：x2+y2=1的位置關(guān)系.學(xué)生一般都會(huì)先嘗試下判斷圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，于是寫出d=a5a2-4a+1，但接著大部分學(xué)生就發(fā)現(xiàn)很難將d與半徑1作比較.正在學(xué)生一籌莫展之時(shí)，筆者笑著說：“何苦單戀一枝花呢，不如使用超級(jí)畫板畫出直線l和圓O，看看它們的位置關(guān)系到底怎樣.”相對(duì)比幾何畫板，超級(jí)畫板在參數(shù)變量的設(shè)置和操作方面特別方便，且直觀明了，方便教師和學(xué)生使用.圖2操作如下：在超級(jí)畫板中使用“變量尺”新定義一個(gè)參數(shù)a（可以自定義取值范圍），接著利用繪制“直線”的功能直接輸入直線l的方程ax+（2a-1）y+a=0即可得到含參數(shù)a的直線，然后將圓O也繪制出來.拖動(dòng)變量尺中參數(shù)a的取值，利用“跟蹤”功能可以發(fā)現(xiàn)直線l一直過定點(diǎn)（-1，0），直線l與圓O相交或相切（如圖2所示）！

面對(duì)這樣魔術(shù)般的直觀效果，學(xué)生們大開眼界，同時(shí)也對(duì)為什么會(huì)過定點(diǎn)（-1，0）感到好奇，筆者乘熱打鐵，提示學(xué)生可以先驗(yàn)證直線是否真的過點(diǎn)（-1，0），學(xué)生將點(diǎn)（-1，0）代入直線方程發(fā)現(xiàn)方程等式成立，且與a無關(guān).筆者繼續(xù)引導(dǎo)道：“從驗(yàn)證過程可以發(fā)現(xiàn)怎樣才能跟a無關(guān)？”學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)a與0相乘時(shí)就與a無關(guān)，于是筆者順勢(shì)提出可以將方程中的a提取出來，變成a（x+2y+1）-y=0.此時(shí)學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x+2y+1=0且y=0時(shí)，方程恒成立，聯(lián)立上面兩個(gè)方程便發(fā)現(xiàn)直線真的過定點(diǎn)（-1，0）.筆者進(jìn)一步指出：“這類問題屬于含參數(shù)的直線系過定點(diǎn)問題，知道動(dòng)直線過定點(diǎn)對(duì)于解決直線與曲線的相關(guān)問題非常有益.”筆者舉例人教版必修2的“復(fù)習(xí)參考題”（P144）中的一題作為應(yīng)用，題目如下：

已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0.

（1）求證：直線l恒過定點(diǎn).（2）判斷直線l被圓C截得的弦何時(shí)最長、何時(shí)最短？并求截得的弦長最短時(shí)m的值以及最短長度.

通過超級(jí)畫板作圖演示發(fā)現(xiàn)l恒過定點(diǎn)（3，1），筆者引導(dǎo)學(xué)生類比直線ax+（2a-1）y+a=0的研究方法，證得直線l恒過定點(diǎn)（3，1）.另外，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點(diǎn)解決后通過數(shù)形結(jié)合很容易解決第2問.

從上面筆者對(duì)直線系過定點(diǎn)的教學(xué)案例可以發(fā)現(xiàn)，超級(jí)畫板不僅給課堂呈現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，定點(diǎn)數(shù)據(jù)還給我們提供了研究的突破口，教師在應(yīng)用超級(jí)畫板時(shí)一定要將課堂的重心放在如何利用超級(jí)畫板的演示效果引導(dǎo)學(xué)生對(duì)背后的規(guī)律本質(zhì)進(jìn)行深入研究.

在圓錐曲線中還有其它重要的動(dòng)直線過定點(diǎn)問題，一樣可以應(yīng)用超級(jí)畫板輔助教學(xué)，例如：點(diǎn)A和點(diǎn)B均為拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB，試問直線AB恒過何定點(diǎn)？

使用超級(jí)畫板演示發(fā)現(xiàn)直線AB恒過點(diǎn)（2，0）（如圖3所示），教師此時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生多加觀察，可提問：點(diǎn)（2，0）和y2=2x都有共同的2，是否巧合？通過這個(gè)提問進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的好奇心，在超級(jí)畫板中調(diào)整拋物線為y2=2px，發(fā)現(xiàn)直線AB恒過點(diǎn)（2p，0），于是新的猜想就出來了，而怎么證明這個(gè)猜想也成了學(xué)生迫不及待想知道的事情，此時(shí)教師應(yīng)順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生思考過定點(diǎn)問題該如何解決.圖33應(yīng)用超級(jí)畫板幫助學(xué)生探索解析幾何中的最值問題

解析幾何中常涉及長度、斜率和面積等變量的最值問題的探討.這原本是解析幾何的重點(diǎn)研究內(nèi)容，也是高考難題命制的青睞對(duì)象，更是展示解析幾何的魅力之所在.然而，在傳統(tǒng)教學(xué)中由于畫圖和測(cè)量的不便，師生對(duì)最值問題的處理只能靠手工演算，但由于圖形復(fù)雜和數(shù)據(jù)繁多容易導(dǎo)致推導(dǎo)出錯(cuò)，還難以檢查哪個(gè)步驟出錯(cuò).另外整個(gè)推導(dǎo)過程還枯燥無味，大部分學(xué)生難以保持高強(qiáng)度的注意力，容易游離在課堂之外，變成教師自己的獨(dú)角戲.而對(duì)于需要自主探索結(jié)論的開放性問題，學(xué)生對(duì)推導(dǎo)下去能否成功更是缺乏信心，容易半途而廢.

超級(jí)畫板具備強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)跟蹤、動(dòng)態(tài)測(cè)量和復(fù)雜計(jì)算功能，能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)中畫圖和測(cè)量困難，使用者可以選取解析幾何動(dòng)態(tài)變化中的任意一個(gè)位置來進(jìn)行靜態(tài)觀察和研究，也能在動(dòng)態(tài)變化中通過觀察測(cè)量值的變化情況發(fā)現(xiàn)規(guī)律.在最值問題的教學(xué)中適時(shí)借助超級(jí)畫板能幫助學(xué)生掌握動(dòng)態(tài)變化情況，輕松發(fā)現(xiàn)取到最值時(shí)的特征，合理形成初步的數(shù)學(xué)猜想，也為學(xué)生對(duì)規(guī)律的證明提供了方向和信心.

例如筆者在教學(xué)中曾讓學(xué)生探索如下一道解析幾何的最值問題：已知點(diǎn)A（0，-2）和橢圓E：x24+y2=1，設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓E相交于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ的面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.學(xué)生畫圖后很快發(fā)現(xiàn)直線l在繞著點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)過程中確實(shí)存在最大值，通過解析幾何的方法表達(dá)出△OPQ的面積并用基本不等式得到最大值為1，直線l的方程為y=±72x-2.接著筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察△OPQ面積的最大值1與橢圓方程E：x24+y2=1的關(guān)系，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)1=12×2×1即有△OPQ面積的最大值1等于橢圓E中長半軸a與短半軸b圍成的三角形面積12ab.是巧合還是真有這個(gè)結(jié)論？這個(gè)問題引起了學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和探索的熱情，筆者建議學(xué)生在課后利用超級(jí)畫板自主探索，看能否得出猜想并加以證明.

第二天的數(shù)學(xué)課堂上筆者讓學(xué)生展示成果.

學(xué)生甲：我通過改變點(diǎn)A（與y軸的交點(diǎn)）的位置發(fā)現(xiàn)△OPQ面積的最大值仍然是1，改變橢圓的方程仍然有△OPQ面積的最大值為12ab.于是得到猜想：已知橢圓E：x2a2+y2b2=1，過點(diǎn)A（0，m）的動(dòng)直線l與橢圓E相交于P、Q兩點(diǎn)，則有△OPQ面積的最大值為12ab.

學(xué)生甲對(duì)猜想證明如下：

依題意，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立x2a2+y2b2=1，

y=kx+m，得到（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2-b2）=0，

x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2（m2-b2）b2+a2k2.

原點(diǎn)到直線l的距離d=mk2+1，弦長L=1+k2（x1+x2）2-4x1x2，

所以S△OAB=12m（x1+x2）2-4x1x2=12m4k2m2a4（b2+a2k2）2-4a2（m2-b2）b2+a2k2

=maba2k2+b2-m2（b2+a2k）2，令a2k2+b2-m2=t（t≥b2-m2）則有

S△OAB=mabt（t+m2）2=mab1t+m4t+2m2≤mab12m4+2m2=12ab.證畢.

師：“這個(gè)猜想和證明有沒問題？”

學(xué)生乙：“我用超級(jí)畫板發(fā)現(xiàn)有相同的結(jié)論，證明過程也跟猜想相符合，應(yīng)該沒問題.”其他學(xué)生也點(diǎn)頭附和.

筆者當(dāng)場(chǎng)演示超級(jí)畫板，當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），橢圓E的方程為x24+y2=1時(shí)，情況如圖4所示：

圖4

師：“就點(diǎn)A此時(shí)位置，猜想是對(duì)的.把點(diǎn)A的位置稍微上下移動(dòng)，一樣有相同的結(jié)論，所以你們就這樣得到猜想？”

眾學(xué)生點(diǎn)頭，但似乎感覺到有點(diǎn)問題了.

師：“剛才的實(shí)驗(yàn)考慮到了全部情形嗎？”

這時(shí)學(xué)生們才注意到點(diǎn)A的位置如果在更大范圍移動(dòng)可能有其它結(jié)果.隨后筆者和學(xué)生一起動(dòng)手實(shí)驗(yàn)探索，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)A的位置很靠近原點(diǎn)時(shí)△OPQ面積的最大值取不到1，且容易發(fā)現(xiàn)取到最大值時(shí)直線l的斜率為0，這與前面的實(shí)驗(yàn)情形大不相同（如圖5所示）！

圖5

師：“那么前面的證明哪里出了問題？”

學(xué)生丙：“從超級(jí)畫板看出最大值跟點(diǎn)A的位置有關(guān)，也就是與m的大小有關(guān)，前面證明的最后一步用了含m的不等式，但沒有說明不等式取等號(hào)時(shí)應(yīng)成立的條件.”

師：“沒錯(cuò)，前面證明中使用基本不等式時(shí)一定要考慮‘正定等的！”

經(jīng)過師生合作，前面的證明修正如下：

（前面一樣）令a2k2+b2-m2=t（t≥b2-m2）則有

所以S△OAB=mabt（t+m2）2=mab1t+m4t+2m2，

①當(dāng)b2-m2≤m2即m≥22b時(shí)，由基本不等式有

S△OAB=mab1t+m4t+2m2≤mab12m4+2m2=12ab，

當(dāng)且僅當(dāng)t=m4t，即t=m2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有a2k2+b2=2m2.

②當(dāng)b2-m2>m2即m<22b時(shí)，u（t）=t+m4t在t≥b2-m2時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=b2-m2，即k=0時(shí)，S△OAB有最大值mab2-m2b.

從上面的案例可以發(fā)現(xiàn)，在解析幾何的支持下，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)部分情況下的規(guī)律，但也容易早下定論，以偏概全.教師應(yīng)當(dāng)適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生借助超級(jí)畫板全面觀察對(duì)象的變化情況，完整歸納實(shí)驗(yàn)的結(jié)論并得出數(shù)學(xué)猜想，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)證明中的討論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，加深對(duì)證明思路的理解.