幾何畫板平臺(tái)上的問題探究設(shè)計(jì)與適時(shí)介入策略研究

陳敏軍

[摘 要] 本文通過運(yùn)用幾何畫板運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn)，闡述幾何畫板平臺(tái)上的數(shù)學(xué)探究問題設(shè)計(jì)、探索過程和反思過程。在探究過程中，教師根據(jù)問題思維的深度，利用幾何畫板適時(shí)介入，根據(jù)幾何畫板的數(shù)與形結(jié)合的特點(diǎn)，幫助學(xué)生探究問題，歸納知識(shí)，激發(fā)探究的欲望。

[關(guān)鍵詞] 幾何畫板 數(shù)學(xué)探究 適時(shí)介入 反思提高

隨著新課改不斷深入，在“輕負(fù)高質(zhì)”的理念指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)問題探究教學(xué)設(shè)計(jì)已經(jīng)被廣大數(shù)學(xué)教師所重視，在數(shù)學(xué)課堂上呈現(xiàn)了豐富多彩的探究形式。數(shù)學(xué)問題探究是學(xué)生不斷嘗試、不斷思考的過程。我們?cè)O(shè)計(jì)問題探究時(shí)，問題不宜過多，在提問難度和范圍設(shè)計(jì)上要貼切學(xué)生實(shí)際。在教學(xué)中，我們要更新理念，轉(zhuǎn)變問題探究的主體對(duì)象，保障學(xué)生探究問題的時(shí)間，提高學(xué)生的參與率，使學(xué)生的探究過程真實(shí)有效。

我們?cè)陂L期教學(xué)研究中，提出了將問題探究建立幾何畫板平臺(tái)上，教師利用幾何畫板適時(shí)介入，將抽象問題數(shù)學(xué)化，通過數(shù)與形幾何處理，由淺入深。在學(xué)生充分思考、探究的過程中，教師利用學(xué)生之間相互交流、合作等學(xué)習(xí)活動(dòng)形式，引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)問題的探究活動(dòng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望

充分利用幾何畫板運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

探究活動(dòng)是從問題開始的，但問題的設(shè)置需要教師善于把握教材的內(nèi)容，通過設(shè)置問題，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，激發(fā)學(xué)生探究的望。

1.設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為背景，使問題具有發(fā)現(xiàn)性，讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣；

2.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題答案的多樣性，一題多解，答案不唯一等，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；

3.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題串，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，問題難度由易到難，由淺入深，使問題具有一定的層次；

4.設(shè)計(jì)學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)的問題，培養(yǎng)學(xué)生合作的能力。

例如，近幾年，初中數(shù)學(xué)中考屢屢出現(xiàn)利用函數(shù)圖象探索函數(shù)表達(dá)式（含字母系數(shù)）中的系數(shù)取值范圍的問題。這類問題往往比較抽象，需要學(xué)生理解函數(shù)表達(dá)式中字母系數(shù)的變化與函數(shù)圖象的變化的規(guī)律，例如二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c的變化與函數(shù)圖象的變化規(guī)律。在教學(xué)中，讓學(xué)生理解系數(shù)a，b，c對(duì)函數(shù)圖象的影響，有很大困難。究其原因，主要是學(xué)生缺乏抽象思維的能力，僅僅靠老師的傳授，得到的一些規(guī)律，學(xué)生終究還是不理解，就不能運(yùn)用得到的數(shù)學(xué)規(guī)律來解題。如何讓學(xué)生直觀感受這種數(shù)學(xué)規(guī)律呢？筆者借助幾何畫板的運(yùn)動(dòng)變化功能，適時(shí)介入，比較形象地、直觀地展現(xiàn)了比例系數(shù)的變化引起圖象的變化規(guī)律。

對(duì)于這個(gè)問題，我們可以設(shè)計(jì)一堂數(shù)學(xué)探究課，讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)、觀察、探究等過程，親身感受變化過程。

【問題設(shè)計(jì)目的】經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、應(yīng)用等思維過程，讓學(xué)生直觀感受二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系。

【體驗(yàn)】畫出二次函數(shù)y=x2，y=2x2，y=3x2的圖象，試比較他們開口的大小。

【探索】探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c的變化與函數(shù)圖象的變化規(guī)律。

當(dāng) 增大時(shí)，二次函數(shù)的開口是怎樣變化的？b，c的變化對(duì)二次函數(shù)的圖像形狀有什么影響？對(duì)圖像的位置有影響嗎？

二、根據(jù)學(xué)情，適時(shí)介入幾何畫板輔助

教師根據(jù)學(xué)生的探究情況，適時(shí)、合理利用幾何畫板輔助介入。

教師是學(xué)生探究問題的引導(dǎo)者，只有在學(xué)生探索問題有困難的情況下，教師才適時(shí)介入學(xué)生的探究活動(dòng)。

1.當(dāng)學(xué)生能探究結(jié)果的數(shù)學(xué)問題，教師不需利用幾何畫板輔助介入；

2.當(dāng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題具有一定困難時(shí)，并且在充分的獨(dú)立思考的情況下，教師組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)，利用小組智慧幫助；

3.當(dāng)小組合作探究仍然存在理解困難時(shí)，教師可利用幾何畫板輔助適時(shí)、合理介入，充分利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)過程顯示，幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)量與量之間的關(guān)系。

根據(jù)前面設(shè)計(jì)的探究二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系的幾個(gè)問題，我們需要做以下輔助。

【體驗(yàn)】學(xué)生獨(dú)立完成，在動(dòng)手操作中，直觀感受圖象的開口大小與a的關(guān)系：a的值越大，圖象的開口就越大。此問題不需要幾何畫板輔助介入。

【探索】有了上面的經(jīng)歷，學(xué)生可能歸納出：a的值越大，圖象的開口就越大。這只是學(xué)生初步的感受，而且是在二次項(xiàng)系數(shù)a是正數(shù)的情況下，得出的一個(gè)片面的結(jié)論。我們不需要急于糾正學(xué)生的這種想法。而且，b和c的值的變化對(duì)圖像有何影響，學(xué)生還沒有直觀感受。因此，需要幾何畫板的輔助介入。

（一）幾何畫板輔助介入過程

1、打開幾何畫板，建立直角坐標(biāo)系，在x軸上取一點(diǎn)計(jì)算該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a；同樣的方法，計(jì)算b和 c。繪制二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像；

2、改變a的大小，a的值與二次函數(shù)的圖像也發(fā)生變化。如圖1、圖2、圖3和圖4；

3、改變b和c的大小，b的值與二次函數(shù)的圖像也發(fā)生變化。如圖5和圖6；

（二）觀察與歸納

當(dāng)改變a的大小時(shí)，二次函數(shù)圖像的開口大小也隨之改變。當(dāng) 越大時(shí)，二次函數(shù)的開口就越??；而b和c的大小變化不影響二次函數(shù)的形狀，影響函數(shù)圖像的位置。

三、倡導(dǎo)動(dòng)手，讓學(xué)生在體驗(yàn)中思考探究

設(shè)計(jì)動(dòng)手操作問題，讓學(xué)生體驗(yàn)問題探究的思想與方法。幾何畫板適時(shí)介入，解決學(xué)生動(dòng)手操作、思維困難的問題。

新課標(biāo)明確提出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力。讓學(xué)生在動(dòng)手操作中，體驗(yàn)、感受數(shù)學(xué)的過程。設(shè)計(jì)一些讓學(xué)生動(dòng)手操作的探索問題，有利于提高學(xué)生的動(dòng)手能力與思維能力。當(dāng)學(xué)生在動(dòng)手操作解決問題存在困難時(shí)，我們利用幾何畫板適時(shí)介入，幫助、引導(dǎo)學(xué)生解決困難。例如，當(dāng)我們完成探索二次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系時(shí)，為了進(jìn)一步鞏固二次項(xiàng)系數(shù)的變化與圖象的關(guān)系，我們可以作以下設(shè)計(jì)，既可以鞏固知識(shí)，又能培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

【合作交流】

（1）動(dòng)手畫一畫：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的頂點(diǎn)在第一象限，且經(jīng)過（0，1），（-1，0），試探究a的范圍。

（2）動(dòng)手試一試：當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的二次項(xiàng)系數(shù)a趨近于零時(shí)，函數(shù)圖象的開口大小變化是怎樣的？

（3）嘗試與鞏固：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的頂點(diǎn)在第二象限，且經(jīng)過（0，2），（2，0）則S=4a-2b+c的范圍是______________

【分析】

（1）學(xué)生可以通過畫圖，發(fā)現(xiàn)a的取值范圍。

（2）教師利用幾何畫板適時(shí)介入，讓學(xué)生觀察：當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的二次項(xiàng)系數(shù)a趨近于零時(shí)，函數(shù)圖象的開口大小變化是怎樣的？

學(xué)生小組合作，感受二次函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a趨近于零時(shí)，拋物線趨近于直線。如圖7、圖8、圖9。

（3）分析：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與直線x=-2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是S的值。因此，只需要根據(jù)圖像觀察，交點(diǎn)的最低處和最高處即可。根據(jù)圖像可以看出，當(dāng)拋物線的開口最小時(shí)，頂點(diǎn)在y軸上，交點(diǎn)最低；當(dāng)拋物線接近一條直線時(shí)，開口最大，交點(diǎn)最高（如下圖10、11所示）。

由上圖可以看出，S的范圍是0

四、引導(dǎo)反思，讓學(xué)生自主歸納方法與成果

探究活動(dòng)后，引導(dǎo)學(xué)生反思、歸納探究的方法和成果，利用幾何畫板變式訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)的成活率。

探究活動(dòng)結(jié)束后，教師應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，就是要引導(dǎo)學(xué)生反思?xì)w納探究的結(jié)果和探究的思想方法。通過引導(dǎo)學(xué)生反思整理探究的思維過程，回顧探究的思維策略，分析解決問題的本質(zhì)和解決問題的方法，還有出錯(cuò)原因的分析等，引導(dǎo)學(xué)生分析反思是怎樣發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的，應(yīng)用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走過哪些彎路，從中獲得哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，進(jìn)行認(rèn)真的剖析，逐漸培養(yǎng)隨時(shí)監(jiān)控自己的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的習(xí)慣。引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，產(chǎn)生“質(zhì)疑”，在學(xué)生自我糾正錯(cuò)誤的過程中透過表面現(xiàn)象，而抓住問題本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生全方位、多角度、多層次地分析、研究、解決問題，從而激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，幫助學(xué)生理解認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和反思能力。通過設(shè)計(jì)一些變式訓(xùn)練，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的訓(xùn)練，提高學(xué)生知識(shí)的成活率，將知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生自己的知識(shí)。促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

例如，前面在探究二次函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)系的時(shí)候，我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)環(huán)節(jié)。

【反思與變式】1、我們探索二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c的變化引起函數(shù)圖象的變化時(shí)，我們采用了哪些方法？或者受到什么啟發(fā)？

2、我們通過觀察探究，我們得到的那些結(jié)論？這些結(jié)論往往用于解決什么類型的問題？

3、變式與鞏固：用探究的結(jié)論解決以下問題？

（1）已知二次函數(shù)y1=a1x2、y2=a2x2、y3=a3x2的圖象如圖所示，請(qǐng)你判斷二次項(xiàng)系數(shù)a1、a2和a3的大小。

（2）在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，4），（1，2），（5，2），（5，4），x軸上有一點(diǎn)E（-1，0）。若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界），且經(jīng)過點(diǎn)E，試求拋物線y=ax2+bx+c中a的取值范圍。

【分析】本過程可以采用學(xué)生合作交流的學(xué)習(xí)方式，并交流學(xué)習(xí)情況。以下是我們學(xué)生的交流成果概要。

1、探索系數(shù)a的變化引起圖象的變化時(shí)，我們保持系數(shù)b和c不變，觀察圖象的變化情況（其它同上）；數(shù)形結(jié)合、對(duì)比、歸納等數(shù)學(xué)思想和方法；通過幾何畫板做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，研究數(shù)學(xué)問題；等等。

2、當(dāng)改變a的大小時(shí)，二次函數(shù)圖像的開口大小也隨之改變。當(dāng) 越大時(shí)，二次函數(shù)的開口就越??；而b和c的大小變化不影響二次函數(shù)的形狀，影響函數(shù)圖像的位置。這個(gè)結(jié)論可以幫助我們解決有關(guān)因開口大小變化引起某些數(shù)量關(guān)系變化的問題。

3、（1）根據(jù)結(jié)論“當(dāng) 越大時(shí)，二次函數(shù)的開口就越小”，即可得到0

（2）如圖13，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口最小時(shí)，頂點(diǎn)在A處，此時(shí)可求出a=-1；開口最大時(shí)，頂點(diǎn)在C處，此時(shí)可求得a=- ，因此a的范圍是-1

基于幾何畫板平臺(tái)的數(shù)學(xué)探究，能動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)出數(shù)量之間的關(guān)系，也能借助于幾何畫板“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷以“數(shù)”解“形”、以“形”助“數(shù)”的過程，幫助學(xué)生理解問題，解決問題。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，多設(shè)計(jì)一些基于幾何畫板平臺(tái)的探究型問題，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納等能力，也提高了學(xué)生解決問題的能力。

參考資料：

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[3] 何林. 勵(lì)耘新中考·數(shù)學(xué)[M]. 延邊人民出版社出版，2013.