注重數(shù)學(xué)探究 演繹精彩課堂

崔文

【摘要】優(yōu)質(zhì)課是課堂教學(xué)中的優(yōu)秀課例，為課堂教學(xué)提供范例.2016年山東省德育優(yōu)質(zhì)課注重數(shù)學(xué)探究，巧妙的問題設(shè)計提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).探究過程中的問題導(dǎo)學(xué)，利于優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)探究；問題設(shè)計；數(shù)學(xué)思維

12月21日—23日，筆者去淄博十一中參加山東省優(yōu)質(zhì)課觀摩活動，選手是優(yōu)中選精，課亦是精心準備，亮點頻現(xiàn)，節(jié)節(jié)精彩！《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》提出的基本理念：學(xué)生發(fā)展為本，“立德樹人”，提升素養(yǎng).課堂教學(xué)以學(xué)生為主體，重視調(diào)動學(xué)生的積極性，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展，成為優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計的共性.如何進行教學(xué)設(shè)計，讓導(dǎo)學(xué)案的“引”和“導(dǎo)”更有效，筆者認為要注重數(shù)學(xué)探究教學(xué).

數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程.這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明.使學(xué)生在這一系列的數(shù)學(xué)活動中進行數(shù)學(xué)創(chuàng)造和獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗.

1數(shù)學(xué)探究教學(xué)的原則

1.1立足教材，精選內(nèi)容

探究問題的選擇要基于以下幾點考慮：（1）突出關(guān)鍵的知識點；（2）突破學(xué)習(xí)中的難點；（3）凸顯知識的易錯點；（4）注重思維的增長點.分析本節(jié)課在本章中的地位和作用，本節(jié)課在本知識模塊中的地位和作用，以及本節(jié)課在高中數(shù)學(xué)中的地位和作用十分必要.一節(jié)課不可能開展次數(shù)過多的探究活動，要根據(jù)教學(xué)的重點和難點，進行一次或兩次高效的探究活動即可.

1.2基于學(xué)情，啟發(fā)思考

探究學(xué)習(xí)要讓學(xué)生利用已知發(fā)現(xiàn)未知，所以要對學(xué)情進行評估.問題設(shè)置要注意起點合理，提倡“跳一跳摘桃子”.可以采取“小步子”的策略，化大為小，分解難點.必要時進行小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的思維進行碰撞，產(chǎn)生新知識的增長點.

1.3提升素養(yǎng)，優(yōu)化思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)探究要幫助學(xué)生提高興趣，認識自我，激發(fā)自信，提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量.數(shù)學(xué)探究活動要注重數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中認識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)，能抓住“主線”進行學(xué)習(xí)，進而提升發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.在探究結(jié)束后，要注意進行小結(jié)，彰顯規(guī)律性.

2數(shù)學(xué)探究教學(xué)的方法

多年來，我們一直強調(diào)“用教材教”而不是“教教材”.其實，這就是要求教師要研究教材，創(chuàng)造性地使用教材，教師要有開發(fā)校本課程資源的意識，提升課堂教學(xué)內(nèi)涵.探究性問題設(shè)計可以將教材內(nèi)容優(yōu)化，變平淡為精彩.

2.1從“特殊”到“一般”

特殊到一般的方法重點在于“鋪墊”，教師創(chuàng)設(shè)問題情境，學(xué)生借助問題情境循序漸進，得到問題的解決思路.

案例1平面上兩點間的距離公式推導(dǎo)（課例：兩點間的距離.）

問題1：在直角坐標(biāo)系中，x軸上有兩點P1（x1，0）和P2（x2，0），那么P1和P2之間的距離為多少？如果線段P1P2平行于x軸呢？

問題2：在直角坐標(biāo)系中，y軸上有兩點P1（0，y1）和P2（0，y2），那么P1和P2之間的距離為多少？如果線段P1P2平行于y軸呢？

問題3：在直角坐標(biāo)系中，已知x軸上一點P1（x0，0）和y軸上一點P2（0，y0），那么P1和P2之間的距離為多少？

問題4：一般地，已知平面上兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2），如何求P1和P2之間的距離？

這4個探究問題的設(shè)計：問題1和問題2提供與坐標(biāo)軸平行或重合的線段長度求法；問題3的解決辦法是勾股定理；問題4與前面3個問題自然銜接，解決辦法是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解，必須首先利用問題1和問題2的方法求出兩條直角邊長.

從“特殊”到“一般”的問題探究思路是優(yōu)質(zhì)課中大部分選手采用的方法，遞進的問題設(shè)計，得出一般問題的解決思路，小梯度、慢節(jié)奏，最后思維得到提升.

2.2趣味性的問題設(shè)計

通常情況下，學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的感受要差于對數(shù)學(xué)圖形的理解，而對數(shù)學(xué)圖形的理解要差于對空間幾何體的感受.問題的設(shè)計能夠激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣很關(guān)鍵.

案例2點到直線的距離公式的推導(dǎo)（課例：點到直線的距離.）

引入：有一天，笛卡爾生病臥床，但他一直在反復(fù)思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？同樣幾何圖形可不可以通過代數(shù)形式來表達？

不經(jīng)意間，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲.蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗.他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數(shù)確定下來呢？據(jù)此，他創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁.

同學(xué)們請看：

現(xiàn)在蜘蛛網(wǎng)上有一只蜘蛛P.

思考1：蜘蛛網(wǎng)上粘住一只蜻蜓M，蜘蛛如何爬行才能最快到達蜻蜓的位置？為什么？

思考2：蜘蛛要用最短的時間到達蜘蛛網(wǎng)上的直線l，蜘蛛應(yīng)該如何爬行？為什么？

總結(jié)：這個最短距離就是點到直線的距離.

假設(shè)蜘蛛的位置P（1，-1），

問題1：如何求出點P到x軸的距離？

問題2：如何求出點P到y(tǒng)軸的距離？

假設(shè)直線l的方程為x+y-2=0，

問題3：如果蜘蛛在蜘蛛網(wǎng)中心的位置，如何求出蜘蛛到直線l的距離？

問題4：如何求出點P（1，-1）到直線l的距離？

小組合作學(xué)習(xí)：有幾種不同的解決辦法？

注：選擇最優(yōu)化的解決方案.

問題5：請同學(xué)們自主推導(dǎo)，平面直角坐標(biāo)系中點P（x，y）到直線l∶Ax+By+C=0的距離公式.

2.3開放性問題設(shè)計

這里講的開放性的問題，是指答案不固定的題目.高考中數(shù)學(xué)問題的答案一般唯一，但是日常教學(xué)有些問題的答案不必唯一，給學(xué)生足夠的想象空間，發(fā)散思維，利于學(xué)生的思維拓展.

案例3習(xí)題設(shè)計（課例：兩點間的距離.）

習(xí)題：精準扶貧是全面建成小康社會、實現(xiàn)中華民族偉大“中國夢”的重要保障.某地政府在實施精準扶貧的工作中，為幫助位于省級公路同一側(cè)的A、B兩個貧困村實現(xiàn)脫貧，準備在該公路的邊上選擇一點P，修兩條可直達A、B兩村的鄉(xiāng)村公路.

（1）假如你是決策人，你將如何選擇P點的位置？

（2）若以該公路所在直線為x軸，公路上某一點O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系.此時A（-1，2），B（2，7），當(dāng)點P滿足到兩村的距離相等時，試求出點P的坐標(biāo)，并求出|PA|的值.

本題（1）的答案開放，合理即可.

思路1：到兩村的距離之和最近，成本最低，體現(xiàn)節(jié)約；

思路2：也可以是到兩村的距離相等，體現(xiàn)公平、公正.

眾所周知，國家“精準扶貧”的目的是為了“人民幸?！?，所以這道題目體現(xiàn)了“中國夢”、“四節(jié)”和“核心價值觀”，與時俱進，德育滲透較好.既拓展了學(xué)生思維，又體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》數(shù)學(xué)教學(xué)要 “立德樹人”的基本理念.

2.4選擇“入口寬”的題目

“入口寬”的題目是指容易尋找突破口，思路多的題目.高考中許多題目都屬于這種類型，這種類型的題目既適合自主探究，又適合開展小組合作學(xué)習(xí).

案例4一題多解（課例：點到直線的距離.）

習(xí)題：求三角形ABC的面積，這里A（-1，0），B（3，1），C（1，3）.

注：事先老師準備好小黑板，把圖形畫在黑板上，分到每個小組.

師：大家小組合作學(xué)習(xí)，將你的結(jié)果畫在小黑板上，然后小組展示.

生1：（展示方法1，分割法）過B作直線平行于x軸，分成兩個三角形求面積，利用底乘以高的一半.

生2：（展示方法2，補形法）過B、C作x軸、y軸的垂線，構(gòu)造矩形，用矩形的面積減去三個直角三角形的面積.

生3：（展示方法3，點到直線的距離公式）求出AB的長度，再求出點C到直線AB的距離，得到三角形ABC的面積.

可能老師原來的預(yù)設(shè)是進行小組合作學(xué)習(xí)，每個小組選擇不同的底邊，然后求出第三個點到底邊所在直線的距離作為高，這樣會得到三種不同的做法.學(xué)生的解法盡管與本節(jié)課的教學(xué)重點“不合節(jié)拍”，但是展示了更多的數(shù)學(xué)方法——“分割法”、“割補法”、“公式法”，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度講，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.

2.5形成結(jié)論

某些數(shù)學(xué)問題不容易理解，并且難以抽象出一個結(jié)論，我們可以采用問題探究的方法尋找結(jié)論，然后加以證明.

案例5經(jīng)過兩條直線交點的直線系方程（課例：兩條直線的交點坐標(biāo).）

問題1：當(dāng)λ變化時，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示什么圖形？

問題2：當(dāng)λ變化時，這些圖形有什么共同的特點？

探究：變換λ的值，并把這個值與此時對應(yīng)的方程填寫到下列表格中，然后在同一坐標(biāo)系中畫出這些圖形.

合作探究：小組合作，匯總?cè)M所有成員的圖形，尋找共同點，選派代表投影展示.

發(fā)現(xiàn)：這些直線的共同特點：.

證明：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示的直線恒過定點.

總結(jié)：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0具體表示什么圖形？

提升：經(jīng)過兩條直線l1∶A1x+B1y+C1=0與l2： A2x+B2y+C2=0的交點的直線的方程如何表示？

至此，經(jīng)過兩直線交點的直線系方程結(jié)論呈現(xiàn)，完成本節(jié)課的一個教學(xué)重點.

這種問題探究的方式起點低，銜接自然，符合學(xué)生的認知規(guī)律.當(dāng)然，探究結(jié)束后，應(yīng)該有必要的數(shù)學(xué)證明和說明，譬如講清楚這不是經(jīng)過兩條直線l1∶A1x+B1y+C1=0與l2： A2x+B2y+C2=0交點的所有的直線的方程.

3對數(shù)學(xué)探究教學(xué)的思考

3.1 數(shù)學(xué)探究有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程.

日常教學(xué)中我們有時會“簡化”教學(xué)過程，直接給出概念或結(jié)論，讓學(xué)生記憶，然后“套公式”解題.學(xué)生盡管會做題了，但是不知道概念和結(jié)論的來龍去脈，不會分析一些概念性的問題，不利于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).

3.2數(shù)學(xué)探究有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣.

數(shù)學(xué)探究離不開“問題串”教學(xué)，在問題解決的過程中，會涉及一些相關(guān)的邊緣知識，或者出現(xiàn)思維“死角”.這樣就會產(chǎn)生“新知”與“舊知”的思維碰撞，學(xué)習(xí)新知需要質(zhì)疑探索，溫故舊知需要反思，能將主動學(xué)習(xí)落到實處.

3.3數(shù)學(xué)探究有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力.

問題探究的過程就是一個尋求問題解決辦法的過程，思維發(fā)散容易創(chuàng)新.探究過程中的合作學(xué)習(xí)往往是一個頭腦風(fēng)暴的過程，眾人拾柴火焰高，會產(chǎn)生許多奇思妙想，譬如一題多解，知識的交匯運用等.

4結(jié)束語

教師和學(xué)生交流的主陣地是課堂，在課堂上將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方法傳授給學(xué)生.對課堂教學(xué)的研究是無止境的，課堂教學(xué)藝術(shù)涵蓋教師對數(shù)學(xué)的理解、教師語言表達、教師的教學(xué)策略、教師的課堂管理能力、教師的親和力等若干要素.現(xiàn)場觀摩，身臨其境，從優(yōu)質(zhì)課中汲取精華，將促進教師業(yè)務(wù)能力快速提升.