巧用對應(yīng)思想 妙解計數(shù)問題

王榮峰

眾所周知，學(xué)好數(shù)學(xué)離不開解題，而解題的一個核心思想就是將遇到的問題合理地轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的問題，而對應(yīng)就是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略之一，下面就如何利用對應(yīng)思想解計數(shù)問題加以盤點，以期能對大家解題能力的提升有所幫助.

1先分步再對應(yīng)

評注該題并不復(fù)雜，可將所有“理想配集”逐個寫出而獲解，但不如借助分步計數(shù)原理先計算出自由元素2，4，6分配方式的種數(shù)再進行對應(yīng)來解決更顯簡單.

2先分類再對應(yīng)

例2從集合M=1，2，3，4，…，20中任取4個不同的元素，使這4個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則不同的等差數(shù)列共有（ ）個.

A.57B.114C.171D.228

評注該題也可通過分類找規(guī)律的方法來解決，但將集合M按照被3除的余數(shù)分成三類，再巧妙進行對應(yīng)，過程更簡潔，當(dāng)集合M中元素個數(shù)較多時，更看出該方法的優(yōu)越性！

3先構(gòu)建再對應(yīng)

評注對于x1=0，通過在xii≤2≤10上加1可實現(xiàn)非負整數(shù)解到正整數(shù)解的轉(zhuǎn)化，這為構(gòu)建“隔板”這種模型創(chuàng)造了條件，再利用對應(yīng)完成該題就是順理成章的事了.

4先對應(yīng)再對應(yīng)

例4如圖2所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為“L”形（每次旋轉(zhuǎn)90°仍為L形圖案），那么在由6×8個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案的個數(shù)是（）.

A.35B.48C.140D.980

根據(jù)題意分析可得在一個“田”字型的方格中，可作出四個“L”形圖案，即一個“田”字型方格對應(yīng)四個“L”形圖案；而一個“田”字型方格與網(wǎng)格上“橫著相鄰的三條直線和豎著相鄰的三條直線”是一一對應(yīng)的，橫著相鄰的三條線有5組，豎著相鄰的三條線有7組，故“田”字型方格共有5×7=35個， 故可以畫出不同位置的“L”形圖案的總數(shù)是35×4=140.選C.

評注挖掘到一個“田”字型方格恰好對應(yīng)四個“L”形圖案，進而將問題等價轉(zhuǎn)化成探索網(wǎng)格中“田”字型的個數(shù)，為再進一步借助對應(yīng)解該題找到了切入點.

5先對應(yīng) 再排列

例5如圖3，坐標平面內(nèi)有一質(zhì)點P從原點O出發(fā)，目標是點M4，3，若質(zhì)點P每次只能沿坐標軸移動1個單位，則它到達目標點M的“最短路徑”共有（）條.

A.7 B.12 C.35D.81

評注解此題的關(guān)鍵在于要弄清質(zhì)點P從點O到點M的“最短路徑”是怎樣構(gòu)成的，這是借助對應(yīng)思想用排列知識破解該題的前提條件.

6先對應(yīng)再插空

評注該題難度較大，可以應(yīng)用我們熟悉的“隔板法”來求解，但不如上述先對應(yīng)，再插空，最后再排序獨辟蹊徑，解題過程令人耳目一新.

7先對應(yīng)再選取

評注解該題的關(guān)鍵點是用0，1，2，…，r-1逐個加到ai1≤i≤r上，進而實現(xiàn)從“可重組合”到“無重復(fù)組合”的一一對應(yīng)，為只需從集合B中選取r個元素就可巧妙解決該題做了重要鋪墊！

“對應(yīng)”作為一種數(shù)學(xué)思想和方法，在處理較難的計數(shù)問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，用該方法解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造對應(yīng)關(guān)系，但卻沒有通法可尋，只有平時勤于積累，善于總結(jié)，才能依據(jù)具體問題的特征進行分析，進而建模轉(zhuǎn)化、合理對應(yīng)，使問題順利獲解！