三視圖易錯點分析與反思

耿麗麗

空間幾何體的三視圖是人教版高中數(shù)學(xué)必修二的內(nèi)容，也是新課改后增添的新內(nèi)容.它是在初中學(xué)習(xí)過三視圖的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生作圖、識圖及運用圖形解決幾何問題的能力，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力及運算能力.對于這部分內(nèi)容，學(xué)生實質(zhì)上在初中已經(jīng)接觸過一些簡單幾何體的三視圖，并會畫一些常見簡單幾何體的三視圖，尤其是圓柱、圓錐、長方體、正方體的三視圖.但是初中對幾何體更多的是直觀感知，而高中要求學(xué)生能從定性和定量上對簡單幾何體進(jìn)行研究.實際上，學(xué)生在做具體題目時卻常常出錯，這里對學(xué)生在三視圖中常犯的錯誤進(jìn)行分析與反思.

1根據(jù)幾何體識別三視圖

例1如圖1，多面體ABCD-EFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C=GD=2EA，其俯視圖如圖2，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是（）.

解析本題重點考查學(xué)生是否領(lǐng)會三視圖的定義及內(nèi)涵，在教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生從空間幾何體的整體入手，直觀認(rèn)識和理解三視圖的本質(zhì).這個題學(xué)生容易犯的錯誤是選B，對三視圖中實、虛線的畫法掌握不牢.在作三視圖時，看得見的部分的輪廓畫成實線，看不見部分的輪廓畫成虛線.注意BE，BG在平面CDGF上的投影為實線，且由已知長度關(guān)系確定投影位置，E的投影點落在GD的中點上，排除A，C選項，觀察B，D選項，側(cè)視圖是指光線從幾何體的左面向右面正投影，所以BG，BF的投影為虛線，故選D.

例2已知正三棱錐V—ABC的主視圖、俯視圖如下圖所示，其中，則該三棱錐的左視圖的面積為（）

A. 9B. 6C.33 D39.

解析本題重點考查正三棱錐的三視圖及其面積運算，考查學(xué)生運用三視圖的基本知識及空間想象、羅輯思維能力.對于正三棱錐V—ABC的三視圖，學(xué)生比較常見，但不同的放置方法，卻影響其三視圖的形狀.所以，要引導(dǎo)學(xué)生從主視圖、俯視圖入手，想象其左視圖應(yīng)為等腰三角形（如上）.由于俯視圖是邊長為23的等邊三角形，所以根據(jù)三視圖作圖的原則：“長對正，高平齊，寬相等”，可以得到左視圖的三角形的底邊也為23，欲求左視圖的面積，關(guān)鍵在于求左視圖對應(yīng)三角形的高.而這卻是學(xué)生容易出錯的地方，因為學(xué)生很容易將正三棱錐V—ABC的側(cè)棱長或側(cè)高誤以為是左視圖對應(yīng)三角形的高，實際上正三棱錐V—ABC的體高h(yuǎn)才是所要求的側(cè)視圖的高.利用勾股定理可得，底面正三角形的高為3，正三棱錐的體高 ，所以左視圖的面積 .故選B.

2利用三視圖還原幾何體

在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要結(jié)合三個視圖綜合考慮，所以讓學(xué)生熟練掌握簡單幾何體三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化是教學(xué)的關(guān)鍵.

例3某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為（）.

解析本題以三視圖還原幾何體為載體，結(jié)合面積的計算進(jìn)行命題，主要考查學(xué)生由三視圖還原幾何體的能力.通過觀察三視圖，此幾何體并非常規(guī)四棱錐，頂點在底面的投影落在底面正方形的外部.由于此類型題目學(xué)生見的較少，所以學(xué)生很容易出現(xiàn)錯誤.實際上，幾何體是底面邊長為1的正方形，高為1的四棱錐，直觀圖如圖3，其中平面ADE⊥平面BCDE，四個側(cè)面面積分別為 ， 最大面積是 ，故選B.

例4一個幾何體的三視圖及其尺寸如下圖所示，則該幾何體的表面積為 .

解析在這道題中，學(xué)生很容易就判斷出該幾何體是一個正四棱錐.由此，學(xué)生馬上算出幾何體的表面積為

在這里，學(xué)生雖然判斷出了幾何體的形狀，但卻誤把投影當(dāng)成了側(cè)面，由此可見，學(xué)生對于三視圖的理解并不透徹.根據(jù)“長對正，高平齊，寬相等”這個原則可以發(fā)現(xiàn)， 中的4是幾何體的體高，而主視圖的邊長5才是側(cè)高即斜高.所以該幾何體的表面積應(yīng)為

從以上題目可以看出，學(xué)生對于空間幾何體的三視圖掌握的并不清楚，所以在教學(xué)中應(yīng)教給學(xué)生注意以下幾個方面的問題：1.簡單幾何體的三視圖是該幾何體在三個兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形；2.三視圖中的數(shù)據(jù)與原幾何體中的數(shù)據(jù)不一定一一對應(yīng)，識圖要注意甄別，重點把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，如幾何體的形狀，平行垂直等，這些正是數(shù)據(jù)運算的關(guān)鍵.

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.不識廬山真面目，只緣身在此山中.”大文豪蘇東坡的這首詩也讓我們體會到了三視圖的數(shù)學(xué)魅力.2017年普通高考考試大綱對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了修訂，增加了對數(shù)學(xué)文化的考查要求.在我國古代名著《九章算術(shù)》中，就記載了三視圖的題型，所以將數(shù)學(xué)文化與三視圖結(jié)合的創(chuàng)新題可能會成為高考試題的“新寵兒”！基于此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生對空間幾何體三視圖的認(rèn)識與理解，提高學(xué)生的空間想象力和數(shù)學(xué)建模能力，并逐步滲透數(shù)學(xué)文化，關(guān)注數(shù)學(xué)文化，研究數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)傳授給學(xué)生.