以數(shù)學(xué)三個世界理論為視角探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)

俞昕

【摘要】數(shù)學(xué)三個世界理論涉及概念—具體化、過程—符號化、公理——形式化，以此理論為依據(jù)可以分析數(shù)學(xué)概念的認知層次.《等差數(shù)列前n項和》是高中數(shù)學(xué)中的重點教學(xué)內(nèi)容，以此為課例，采用聯(lián)結(jié)主義教學(xué)模式進行教學(xué)實踐分析并與傳統(tǒng)的講授法、發(fā)現(xiàn)法教學(xué)進行比較，獲得具有一定價值的教學(xué)啟示.【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)三個世界；教學(xué)研究；聯(lián)結(jié)主義；等差數(shù)列

1數(shù)學(xué)三個世界理論結(jié)構(gòu)簡介

進入21世紀，英國知名數(shù)學(xué)教育家Warwick大學(xué)教授David Tall在認知主義、建構(gòu)主義基礎(chǔ)上，融合了認知科學(xué)、新皮亞杰主義等相關(guān)研究于2004年提出了數(shù)學(xué)三個世界理論，該理論是Tall關(guān)于認知發(fā)展研究的最新成果.Tall認為人的認知過程是以“前集”與“前變量”為基礎(chǔ)經(jīng)數(shù)學(xué)三個世界而得以發(fā)展的.“前集”表示的是一種與生俱來的心理結(jié)構(gòu)，該理論中特指“識別、重復(fù)、語言”；“前變量”即為個人以往的經(jīng)驗在大腦中建立的聯(lián)結(jié).

概念—具體化世界：現(xiàn)實中的具體對象與概念性具體都稱作“具體化”的，即以對世界的感知為基礎(chǔ)，通過反思利用語言形成精致的意義.在這個世界中，既包括對外部世界的認識，又包括對內(nèi)部世界的感知.其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象是具體的、形象的、可見的，簡稱具體化世界.

過程—符號化世界：將操作壓縮并用符號表示，進一步壓縮形成概念的過程稱為“符號化”的，即開始于過程操作，通過符號的使用實現(xiàn)由解決數(shù)學(xué)問題到進行數(shù)學(xué)思考的有效轉(zhuǎn)換.在這個世界中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象具有符號過程性和符號概念性兩面特征，符號過程性是指具體化數(shù)學(xué)世界的操作過程，符號概念性則是指通過對這個操作過程的概括、抽象等心智活動得到的數(shù)學(xué)對象，簡稱符號化世界.

公理—形式化世界：把利用形式化定義和證明建立公理體系的過程稱為“形式化”的，即以對象性質(zhì)為基礎(chǔ)，通過高度抽象，主要是對符號世界進行自反抽象，發(fā)展為形式化定義，有時需要進一步證明，使之發(fā)展為形式化公理，簡稱形式化世界.

Tall認為，人以“前集”為生理基礎(chǔ)，以“前變量”為社會基礎(chǔ)，形成了數(shù)學(xué)認知發(fā)展的3種途徑：具體化世界、符號化世界、形式化世界，認知以感覺、操作和反思等基本活動為基礎(chǔ)，經(jīng)具體化、符號化、形式化的過程發(fā)展.

2用數(shù)學(xué)三個世界理論分析“向量”概念的認知層次分析

第一層次：通過力與力的分析實例，了解向量的實際背景.物理的合力，有向線段的加減，知道平行四邊形法則，用作圖方法獲得結(jié)論.這可以列為初中階段的數(shù)學(xué)或物理課程.第二層次：將向量符號化，加入數(shù)乘，使得向量既能合成又能分解，構(gòu)成一個有加、減、數(shù)乘三種運算的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).第三層次：引入向量的坐標(biāo)表示以及向量的數(shù)量積，成為內(nèi)積空間，在這個架構(gòu)上，解決包括幾何、物理在內(nèi)的一系列中學(xué)數(shù)學(xué)問題，并為后來的線性代數(shù)課程提供基礎(chǔ).文[2]用三個世界理論對向量教學(xué)提出一些具體的建議，可供我們一線教師參考.

3數(shù)學(xué)三個世界視野下教師的作用與教學(xué)研究[1]

數(shù)學(xué)的三個世界認為知識是以聯(lián)結(jié)的方式存在的，因此主張采用聯(lián)結(jié)主義教學(xué)模式.該模式要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中基于以前的經(jīng)驗做出合乎邏輯的假設(shè)，并通過積極主動地參與來完成知識的建構(gòu).而教師作為輔導(dǎo)者安排課堂活動，鼓勵學(xué)生通過對本質(zhì)概念的理解建立聯(lián)結(jié)、分組探索、接受問題的挑戰(zhàn)形成認識.教師通過準(zhǔn)確把握知識、思維的聯(lián)結(jié)點，使學(xué)生的探索逐漸深入；設(shè)置具有挑戰(zhàn)性問題不斷增強學(xué)生解決問題的信心和能力；通過學(xué)生間的互動交流使大多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)更加扎實.該模式按照輸入信息、激活信息、建立聯(lián)結(jié)、提取和檢索信息順序進行教學(xué).其優(yōu)點在于充分調(diào)動了教師與學(xué)生的積極性，真正實現(xiàn)教學(xué)相長.

Tall帶領(lǐng)的研究團隊分別按照講授法、聯(lián)結(jié)主義教學(xué)法、發(fā)現(xiàn)教學(xué)法進行教學(xué)，經(jīng)過一段時間后進行跟蹤調(diào)查，并用國家課程測試進行測量，分為非常有效、有效、一般有效.所得數(shù)據(jù)顯示那些主張用聯(lián)結(jié)主義模式的教師教學(xué)效果最明顯，那些主張用傳授法或發(fā)現(xiàn)法的教學(xué)效果僅一般有效，堅持用折中方法教學(xué)的則大多數(shù)有效.因此，教師教學(xué)時要作為輔導(dǎo)者幫助學(xué)生將知識壓縮成可想像的概念，并促使他們建立起知識之間的聯(lián)結(jié).

講授法和聯(lián)結(jié)主義教學(xué)法及發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的比較對比標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)方法基礎(chǔ)知識、基本能力教學(xué)學(xué)生如何學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識教師如何教授基礎(chǔ)知識

講授法依賴于口頭闡述然后按固定步驟依次進行.學(xué)生將講授的知識“輸入”腦中經(jīng)過反復(fù)記憶達到熟識的目的.利用語言給學(xué)生引導(dǎo)性解釋，通過分類練習(xí)建立知識體系.

聯(lián)結(jié)主義教學(xué)用有效運算、優(yōu)化方法提高能力.學(xué)生把新舊知識進行聯(lián)結(jié)再加之互動交流，逐步深入，從而克服挑戰(zhàn)性問題.教學(xué)相長，師生對話探索答案，運用知識推導(dǎo)挑戰(zhàn)性問題.

發(fā)現(xiàn)法任意方法尋找答案，更多依賴于實踐.學(xué)生是整個學(xué)習(xí)活動的主體，利用知識經(jīng)驗進行探索，尋找解決問題的最佳方案.教師起促進作用，學(xué)習(xí)先于教學(xué)，學(xué)生在實踐中發(fā)現(xiàn)問題，運用知識解決實際問題.

4聯(lián)結(jié)主義教學(xué)法嘗試課例

筆者運用聯(lián)結(jié)主義教學(xué)法在《等差數(shù)列前n項和》第一課時中進行嘗試，下面是教學(xué)過程的簡述.

第一個故事教師：當(dāng)年青澀的我來到學(xué)校應(yīng)聘，校長給出這樣的問題來考我（如圖1所示）.以此情境拋出“等差數(shù)列求和”問題.圖1圖2

第二個故事在講解等差數(shù)列求和公式之前先介紹高斯其人，近代數(shù)學(xué)史學(xué)家倍爾對高斯的成就評價道：“在數(shù)學(xué)世界里，高斯處處留芳.”教師娓娓道出耳熟能詳?shù)墓适拢焊咚股闲W(xué)時，有一次數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題：計算從1到100的自然數(shù)之和.這個問題讓學(xué)生自己解決（“高斯算法”學(xué)生小學(xué)時就知道了，在學(xué)生已有的認知范圍內(nèi)），如圖2所示.

圖3圖4

教師引導(dǎo)學(xué)生從另一種視角來研究“高斯算法”（如圖2和3）.讓學(xué)生深刻體會“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”中的含義（如圖4）：前100個自然數(shù)的和可以表示為1001+1002，前99個自然數(shù)的和可以表示為991+992，剛好均為項數(shù)首項+末項2，這是不是巧合呢？留給學(xué)生一定的時間小組討論或自主探究，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在本質(zhì)（如圖5和6）.

圖5圖6

如圖5和6的“逆過程”正是“倒序相加法”，由“高斯算法”演變到“倒序相加法”探究過程的創(chuàng)設(shè)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，符合學(xué)生的認知規(guī)律.由教師搭建認知腳手架，學(xué)生充分舒展自身的思維空間，自然的生成“倒序相加法”.由特殊到一般，再引導(dǎo)學(xué)生運用“倒序相加法”推導(dǎo)探究（1）1+2+3+…+n=？（2）等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an=？（如圖7所示）同時也滲透“合情推理”的思想.

在推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和的兩個公式Sn=na1+an2和Sn=na1+nn-12d后，教師回應(yīng)之前的第一個故事，播放續(xù)集：（1）假設(shè)我2000年剛進單位第一個月工資1000元，在現(xiàn)有工資基礎(chǔ)上以后每月增加20元.請問2001年年底我的工資總和為多少？（2）假設(shè)我2000年剛進單位第一個月工資1000元，在現(xiàn)有工資基礎(chǔ)上以后每月增加相同的量，到2001年年底我的月工資為1230元.請問到2001年年底我的工資總和為多少？讓學(xué)生學(xué)會選用合適的公式解決問題.

如圖8所示，進入第三個故事環(huán)節(jié)：四面云山都入眼，人文史事總關(guān)心.在南北朝時期，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法.我國南北朝《張丘建算經(jīng)》中有這一問題的記載：今有女子善織布，逐日所織布以同數(shù)遞增，初日織五尺，計織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？（一匹為四丈，一丈為十尺）請學(xué)生將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號：已知？求？讓學(xué)生體會在等比數(shù)列前n項和公式五個量Sn，an，a1，n，d中至少已知幾個量可以求出其他量？（課例其余環(huán)節(jié)省略）

我們的數(shù)學(xué)教學(xué)既要顧及學(xué)生的探究與發(fā)現(xiàn)，也要注重教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).建構(gòu)主義的弊端其實已經(jīng)顯露，數(shù)學(xué)知識應(yīng)建立在教師在新舊知識之間搭建適當(dāng)橋梁的基礎(chǔ)上再由學(xué)生去探究發(fā)現(xiàn)，若將學(xué)生的數(shù)學(xué)探究比喻為遨游在天空中的風(fēng)箏，則教師的教學(xué)指引就應(yīng)比喻為握在手中的風(fēng)箏線，教師掌握好手中的線，就能讓學(xué)生更有效的進行數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn).因此，“聯(lián)結(jié)主義”為我們提供了比較合理的數(shù)學(xué)教學(xué)模式.

參考文獻

[1]周士民，聶立川，王君.認知發(fā)展研究新成果——David Tall的“數(shù)學(xué)三個世界”理論[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（3）：8-10

[2]任偉芳，朱賽飛.韜爾的三個世界學(xué)說與向量教學(xué)認知層次[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（11）