數(shù)學(xué)史視野下的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入

邱大為

摘 要：情境創(chuàng)設(shè)是課堂導(dǎo)入的重要環(huán)節(jié)，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入是情境創(chuàng)設(shè)的一種，根據(jù)情境認(rèn)知理論，數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入除了能激發(fā)學(xué)生的興趣，還能幫助學(xué)生系統(tǒng)性地把握所學(xué)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)概念的理解. 教師在數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入過程中應(yīng)注意其實(shí)效性、啟發(fā)性、連貫性、機(jī)智性等問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；課堂導(dǎo)入；中學(xué)數(shù)學(xué)；情境導(dǎo)入

新課導(dǎo)入是課堂教學(xué)的開始，同時(shí)也是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，數(shù)學(xué)史導(dǎo)入是新課導(dǎo)入的一種，通過數(shù)學(xué)史導(dǎo)入新課，能使學(xué)生在數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中生趣、生疑，促使他們積極主動(dòng)地思考問題、探求知識(shí)，產(chǎn)生“課伊始，趣亦生”的良好教學(xué)效果，從而形成良好的心理動(dòng)態(tài)，成為新課啟發(fā)教學(xué)的先導(dǎo).

[?] 數(shù)學(xué)史導(dǎo)入新課的必要性

就學(xué)習(xí)理論發(fā)展來看，情境認(rèn)知理論已替代建構(gòu)主義成為主流. 盡管建構(gòu)主義有各種不同的流派與范型，但就整體而言，所有的建構(gòu)主義者都強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者個(gè)人的大腦內(nèi)部發(fā)生的活動(dòng). 中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)史納入其中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候了解自己學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是如何來的，是和怎樣的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)直接聯(lián)系的，從而對(duì)知識(shí)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)和深度理解，可見數(shù)學(xué)史有其出現(xiàn)的必要性.

（一）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

興趣是人的情意領(lǐng)域中最為活躍的成分，興趣的形成有助于情感態(tài)度價(jià)值觀的形成. 夸美紐斯說：“興趣是創(chuàng)造一個(gè)歡樂和文明的教育環(huán)境的主要途徑之一.” 興趣是傾向于力求認(rèn)識(shí)某種事物和從事某項(xiàng)活動(dòng)的具有積極情緒色彩的心理傾向，是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力. 在新課程改革下，如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，已成為數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一. 數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐也表明：如果用歷史回顧和歷史軼事點(diǎn)綴枯燥的問題求解和幾何證明，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就會(huì)大大增加. 學(xué)生在歷史的解說中明白：數(shù)學(xué)并不是一門枯燥呆板的學(xué)科，而是一門不斷進(jìn)步而生動(dòng)有趣的學(xué)科.

（二）加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解

隨著學(xué)習(xí)研究的深入，我們對(duì)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)也日益深刻， 目前研究界已就學(xué)習(xí)達(dá)成的有關(guān)共識(shí)包括：深度理解概念的重要性、注重學(xué)與教、創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)者在先前知識(shí)基礎(chǔ)上建構(gòu)知識(shí)的重要性以及反思的重要性. 通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，能夠幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，了解數(shù)學(xué)問題、概念、定理、公式和思想方法的來龍去脈，了解引入它們的動(dòng)機(jī)與產(chǎn)生的后果. 例如，講到無理數(shù)這個(gè)概念時(shí)，講述希勃索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的歷史. 人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”—— 這便是“無理數(shù)”的由來. 當(dāng)然，“無理數(shù)”并非“無理”，而是“不可通約”之意；“無理”二字，在數(shù)學(xué)史上有可能是畢達(dá)哥拉斯為維護(hù)“神權(quán)”，懼怕存在著不可通約的數(shù)的真理，迫害數(shù)學(xué)人才的無理.

對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)，鑒于數(shù)學(xué)概念形成與發(fā)展的特點(diǎn)，除了要講清概念的內(nèi)涵與外延，介紹概念的起源與發(fā)展也是十分必要的. 同時(shí)，學(xué)生在獲得概念的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中還體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)抽象過程又是怎樣完成的，透過概念的抽象規(guī)定，具體感受數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的實(shí)質(zhì)，將間接經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)思維能力，從根本上理解概念何以這樣規(guī)定，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念的深層次理解. 同建構(gòu)性學(xué)習(xí)一樣，深度學(xué)習(xí)也通常發(fā)生在復(fù)雜的社會(huì)環(huán)境和學(xué)習(xí)環(huán)境中， 通過創(chuàng)設(shè)有意義的學(xué)習(xí)環(huán)境，能夠幫助學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)和深度理解.

（三）增強(qiáng)學(xué)生的人文意識(shí)

情境認(rèn)知的突出特點(diǎn)是把個(gè)體認(rèn)知放在更大的物理和社會(huì)的情境脈絡(luò)中，這一情境脈絡(luò)具有互動(dòng)性，包含了文化性建構(gòu)的工具和意義. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，以及數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)自身的促進(jìn)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系在人類文明史中的地位和作用，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和人文價(jià)值.

（四）幫助學(xué)生把握知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

情境認(rèn)知的注意焦點(diǎn)主要是學(xué)生在認(rèn)知方面的成長(zhǎng)，其基本目的是讓學(xué)生和教師去體驗(yàn)有關(guān)自己所處環(huán)境的感知與理解的新知識(shí)的效果. 在情境學(xué)習(xí)中，學(xué)生能經(jīng)歷從一個(gè)只具有單一觀點(diǎn)的新手轉(zhuǎn)變?yōu)槟軓亩喾N觀點(diǎn)出發(fā)探究環(huán)境的、相對(duì)比較老練的專家的歷程，并在其中體驗(yàn)所經(jīng)歷的一切. 通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河，把握數(shù)學(xué)發(fā)展的整體概貌，從而能夠從整體上對(duì)知識(shí)加以認(rèn)識(shí)和把握，組織起結(jié)構(gòu)良好的知識(shí)體系. 在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)史知識(shí)，雖然學(xué)了許多知識(shí)，但卻不知所學(xué)知識(shí)有何用，不知所學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)科中的歷史地位和作用. 如果想要把握所學(xué)知識(shí)，適當(dāng)?shù)耐緩绞橇私夂蛯W(xué)習(xí)這門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀.例如高中必修一在引入“函數(shù)”概念的過程中，可根據(jù)圖1進(jìn)行講述，以后高二還會(huì)學(xué)習(xí)函數(shù)的深化內(nèi)容微積分，即數(shù)學(xué)發(fā)展史上所謂的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，在此過程中由初中所學(xué)的“不定方程”的歷史開始演變到現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)的函數(shù)，并在后面還會(huì)進(jìn)行深化，使得學(xué)生對(duì)“函數(shù)”這個(gè)概念形成結(jié)構(gòu)體系.

[萌芽時(shí)期][公元200年，丟番圖研究不定方程.][過渡時(shí)期][產(chǎn)生時(shí)期] [16世紀(jì)，函數(shù)概念在不同科學(xué)家那里有著不同形式的描述；伽利略用文字和比例的語言描述函數(shù)關(guān)系，并討論變量和函數(shù)，但沒有做出一般抽象.] [1673年，萊布尼茲用“函數(shù)”一詞表示任一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)的量，還引進(jìn)了“常量”、“變量”和“參變量”等概念，是“函數(shù)概念的幾何起源”.]

[?] 數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入過程中應(yīng)注意的問題

情境認(rèn)知理論對(duì)教師的要求日益增高，教師必須構(gòu)建能反映數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和目標(biāo)的真實(shí)的任務(wù)，并通過這個(gè)任務(wù)測(cè)查學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步情況，從而進(jìn)一步改善數(shù)學(xué)的教與學(xué).

（一）數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入應(yīng)具有實(shí)效性

有一教學(xué)案例，教師描述這樣一個(gè)數(shù)學(xué)史改編的故事：有一個(gè)狡猾的地主，把一塊邊長(zhǎng)為x的正方形土地租給老實(shí)巴交的張老漢種植，一年后，莊主對(duì)老漢說：“我把這塊地一邊增加5米，另一邊減少5米繼續(xù)租給你，你也沒吃虧，如何？”老漢一聽，覺得是沒吃虧，就答應(yīng)了，回到家中，就把這事跟鄰居講了，鄰居卻嘆了口氣，告訴他說：“你吃虧了！”老漢很吃驚. 這時(shí)教師開始問：“聰明的同學(xué)們，你們認(rèn)為老漢有沒有吃虧呢？為什么？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的平方差公式.” 接著這位教師通過復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過的完全平方公式再歸納出平方差公式. 本來通過故事的引入方式一下子激起了學(xué)生的興趣，能很順利地導(dǎo)入新課，但是這位教師為了迎合自己的備課從而回歸到?jīng)]講故事前，這樣的導(dǎo)入并無實(shí)效性，可見教學(xué)過程應(yīng)服從于學(xué)生的認(rèn)知感受.

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出， 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上. 課堂導(dǎo)入要服從于教學(xué)任務(wù)和目的，以學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知、理解為重點(diǎn)，不能只顧追求形式新穎而不顧學(xué)生感受. 比如在學(xué)習(xí)“二元一次方程組”時(shí)，可以用中國古代著名數(shù)學(xué)問題“雞兔同籠”問題創(chuàng)設(shè)問題情境直接導(dǎo)入新課. 學(xué)生被這種有趣的問題吸引，積極思考問題的答案，不但能增長(zhǎng)知識(shí)，了解我國古代的數(shù)學(xué)發(fā)展，而且還能以“趣”引思，使學(xué)生處于興奮狀態(tài)和積極思維狀態(tài)，誘發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，自然過渡到本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容.

（二）數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入應(yīng)具有系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的呈現(xiàn)是以知識(shí)邏輯體系組成的，它是形式化的東西，因而掩去了知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，把數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的火熱思考丟在一邊，這雖有利于學(xué)生接受知識(shí)，但會(huì)影響學(xué)生正確思維的形成，課本中的字斟句酌不能表現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造過程中的斗爭(zhēng)，以及數(shù)學(xué)家們所經(jīng)歷的艱苦漫長(zhǎng)的道路，對(duì)此，教師的主要任務(wù)就是要返璞歸真，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，介紹數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)，把形式化的邏輯鏈條恢復(fù)為當(dāng)初數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的火熱思考，展現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維過程，讓學(xué)生體會(huì)創(chuàng)造過程中數(shù)學(xué)活的思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的創(chuàng)新過程. 比如在講復(fù)數(shù)時(shí)，如圖2介紹數(shù)系的發(fā)展，從而產(chǎn)生了復(fù)數(shù)，最后由于生產(chǎn)、生活和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，從19世紀(jì)中葉開始不斷有人研究超復(fù)數(shù)的問題，直到20世紀(jì)初才完成超復(fù)數(shù)的一般理論. 令人感到欣慰的是，現(xiàn)行新教材改變了以往將某一知識(shí)以完整的知識(shí)體系，一氣呵成地呈現(xiàn)在學(xué)生面前的模式，而是將同一知識(shí)按不同的要求，分層次地分布在不同的時(shí)段，以問題探究的方式引領(lǐng)學(xué)生去觀察、去發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而獲得知識(shí)，既考慮了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，又考慮了知識(shí)從發(fā)生、發(fā)展到逐步完善的漸進(jìn)過程，這是新教材的一大進(jìn)步.

（三）數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入應(yīng)具有啟發(fā)性

學(xué)生的發(fā)展水平有兩種：現(xiàn)有發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平. 現(xiàn)有發(fā)展水平表現(xiàn)為學(xué)生能夠獨(dú)立地完成教師提出的智力任務(wù)；潛在發(fā)展水平表現(xiàn)為學(xué)生還不能獨(dú)立地完成任務(wù)，但可以通過自己的努力才能完成智力任務(wù). 數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入就在于激發(fā)那些正待成熟的心理機(jī)能的發(fā)展， 從而進(jìn)入更高一級(jí)的認(rèn)知水平. 在講到《勾股定理》這節(jié)課時(shí)，可用數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入貫穿于整節(jié)課，首先講述我國《周髀算經(jīng)》中的“商高定理”，其次講述古希臘的畢達(dá)哥拉斯對(duì)這一定理的證明及以其名命名的定理，接著向?qū)W生提出問題：“這是最早的證明方法，在盧米斯（E.S.Loomis）的《畢氏命題》一書第二版中，作者收集了這個(gè)著名定理的370種證明，并把它們分了類，同學(xué)們能想到哪些呢？”這樣引導(dǎo)學(xué)生把歐幾里得、趙爽、劉徽的證明方法自主探索出來，有興趣的學(xué)生還可以鼓勵(lì)其在課后繼續(xù)找尋證明方法. 通過數(shù)學(xué)史料導(dǎo)入引導(dǎo)學(xué)生自主找出其他證明方法，體現(xiàn)了啟發(fā)誘導(dǎo)的教學(xué)方法.

（四）數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入應(yīng)具有機(jī)智性

課堂因?yàn)橛袑W(xué)生的存在而生動(dòng)，也因?yàn)橛兴麄兊拇嬖谟袝r(shí)與預(yù)案背道而馳. 新課標(biāo)要求教學(xué)過程關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，課堂也應(yīng)根據(jù)學(xué)生的情況對(duì)數(shù)學(xué)史導(dǎo)入的時(shí)間、內(nèi)容做及時(shí)調(diào)整，教師可在知識(shí)內(nèi)容枯燥無味或?qū)W生狀態(tài)不佳的時(shí)候直接引入數(shù)學(xué)史，重新喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 若課堂與預(yù)案產(chǎn)生出入時(shí)（課堂的突發(fā)事件），應(yīng)按照學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知機(jī)智地繼續(xù)本節(jié)課. 比如在講述等差數(shù)列求和時(shí)，教師備案介紹數(shù)學(xué)王子高斯在10歲時(shí)就能迅速算出1+2+…+99+100的故事，借此引導(dǎo)學(xué)生研究一般等差數(shù)列的求和方法，但有的學(xué)生以前已經(jīng)學(xué)過這種方法，所以對(duì)這個(gè)故事不屑一顧. 遇到類似情況就需要教師靈活處理，若當(dāng)做沒聽見繼續(xù)按照備課內(nèi)容講課，這位學(xué)生的情緒就會(huì)因未被發(fā)泄而不能專心聽課，甚至影響其他學(xué)生或課堂，從而破壞了本節(jié)課由數(shù)學(xué)史引入的氛圍；若教師趁此機(jī)會(huì)請(qǐng)這位學(xué)生告訴大家怎么做并表揚(yáng)其也有數(shù)學(xué)家的天賦，這樣不僅激勵(lì)了這位學(xué)生，并讓大家感受到數(shù)學(xué)家也是凡人，我們每個(gè)人也可以做到. 在這過程中，雖然僅僅是幾句話的問題，但會(huì)產(chǎn)生截然不同的結(jié)果，這就要求教師有足夠的機(jī)智或在備數(shù)學(xué)史引入時(shí)多“備學(xué)生”，從而婉轉(zhuǎn)局面.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)史不僅可以運(yùn)用于導(dǎo)入，比如前面提到的在《勾股定理》課中可以通過各種古老的證明方法貫穿于始終，也可以在學(xué)生注意力不集中時(shí)重新喚起學(xué)生的注意力. 可見，數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的教育功能是多方面的，教師只有不斷充實(shí)、完善，提高自身修養(yǎng)，教育教學(xué)水平才能不斷提高，才能上出更精彩、更成功的課.