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    例談使用否定屬性策略的變式教學

    2020-09-10 07:22:44何萍章才岔
    中國數(shù)學教育(初中版) 2020年12期
    關(guān)鍵詞:提出問題變式教學

    何萍 章才岔

    摘? 要:基于改變變式教學淺層學習的現(xiàn)狀,思考“為什么變”“變什么”“怎么變”,提出使用否定屬性策略實施變式的途徑和方法. 結(jié)合具體案例進行闡述,讓學生列舉屬性,否定屬性,選擇新屬性,提出并分析、解決新問題的過程,為提高學生問題解決思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性探索新路徑.

    關(guān)鍵詞:變式教學;否定屬性;提出問題

    變式教學的現(xiàn)狀主要有以下兩個方面:一是由教師圍繞原題目不斷提出問題讓學生解決;二是轉(zhuǎn)換類似題目讓學生重新解題. 但這樣的學習都屬于學生被動接受,如何在原題目的基礎(chǔ)上引導學生自主思考、自覺學習呢?筆者采用美國學者提出的否定屬性策略,在一次初中數(shù)學骨干教師“課堂革命”實踐能力提升專題培訓活動上進行了一次嘗試.

    一、變式教學和否定屬性策略

    1. 變式教學

    傳統(tǒng)的變式教學主要用于概念的掌握. 在教學中,教師用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性,或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征. 顧泠沅將“概念性變式”推廣到“過程性變式”,從而使變式教學既適用于數(shù)學概念的掌握,也適用于數(shù)學活動經(jīng)驗的增長. 利用變式題進行教學,教師需要思考“為什么變”“變什么”“怎樣變”.

    (1)為什么變?

    變式教學不能為變式而變式,為探究而探究. 顧泠沅指出,在數(shù)學活動過程中,變式的目的主要有三個:一是有利于概念形成、問題解決和構(gòu)建特定的經(jīng)驗系統(tǒng),用于概念教學的過程性變式要為概念的構(gòu)建提供一個有層次推進的過程;二是數(shù)學問題解決的變式鋪墊,使學生對問題解決過程及問題本身的結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識;三是用于構(gòu)建特定經(jīng)驗系統(tǒng)的變式,使學生原有的間斷、瑣碎的活動經(jīng)驗成為一個有機的整體.

    (2)變什么?

    從一般意義上說,變式是相對于某種范式,即數(shù)學教材中具體的數(shù)學思維成果,包含基礎(chǔ)知識、知識結(jié)構(gòu)、典型問題、思維模式等的變化形式,且不斷變更問題的情境或改變思維的角度,在變式中以突出“不變量”和“不變性”,獲得對問題本質(zhì)的認識.

    (3)怎么變?

    怎樣變,即問題變式有哪些基本方式和途徑. 就解題教學的變式而言,教學現(xiàn)狀是教師圍繞原題目不斷提出問題讓學生解決,或轉(zhuǎn)換類似題目讓學生重新解題,學生變成了被動的解題工具,學習過程只是對知識的簡單記憶或復制,無法獲得對問題本質(zhì)的認識,更談不上主動構(gòu)建問題解決和特定的經(jīng)驗系統(tǒng),時間一久這些知識就會被遺忘.

    2. 否定屬性策略

    1969年,美國學者Brown和Walter提出的否定屬性(若非—則如何)的問題提出策略,他們將這種策略分為5級水平:水平0——選擇出發(fā)點(如定理、具體材料、問題等);水平1——列出各個屬性;水平2——否定各個屬性,列出相應的新屬性;水平3——根據(jù)新屬性,提出新問題;水平4——分析、解決所提的新問題. 運用否定屬性策略可以從已知的問題情境編擬出新問題.

    二、平行四邊形專題復習教學實踐

    本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是在學生學習了平行四邊形和反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上進行的專題復習,主要完成以下教學目標. 第一,通過引例學習,復習平行四邊形和反比例函數(shù)的知識本質(zhì);第二,通過使用否定屬性策略提出問題的過程,獲得問題研究的思維活動經(jīng)驗,優(yōu)化認知結(jié)構(gòu);第三,通過問題解決的過程,提高解決問題的能力.

    1. 引例中探究知識本質(zhì)

    引例? 如圖1,[?OABC]的頂點B在y軸正半軸上,頂點A在反比例函數(shù)[y=2x x>0]的圖象上,頂點C在反比例函數(shù)[y=-1x x<0]的圖象上.

    教師依次提出如下問題.

    問題1:猜想點A,C的橫坐標有什么關(guān)系?

    問題2:點A,C的縱坐標有關(guān)系嗎?

    問題3:點A,B,C的縱坐標有什么聯(lián)系嗎?

    問題4:[?OABC]有可能是特殊的平行四邊形嗎?

    問題5:[?OABC]的面積會變化嗎?

    學生用多種方法求解問題1.

    方法1:根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等,得三角形全等,可得[xA+xC=0.]

    方法2:根據(jù)平行四邊形對角線互相平分,得三角形全等,可得[xA+xC=0.]

    方法3:根據(jù)三角形面積相等,由底相等,得高相等,可得[xA+][xC=0.]

    學生進一步求解點A,B,C縱坐標間的關(guān)系,進而從“數(shù)”“形”兩個角度解決問題4和問題5,揭示解決問題的本質(zhì)是平行四邊形的中心對稱性和反比例函數(shù)的幾何意義.

    【設計意圖】以平行四邊形和反比例函數(shù)知識為背景,讓學生經(jīng)歷解決問題的一般思維過程. 首先發(fā)散思維,聯(lián)想平行四邊形的性質(zhì),然后在此題條件下尋找求解思路,進行一題多解. 從數(shù)學研究角度(研究數(shù)量關(guān)系和空間形式)提出問題4和問題5,啟發(fā)學生用運動變化的觀點通過觀察、猜想、驗證來分析問題,不斷把形與數(shù)進行關(guān)聯(lián),以平行四邊形和反比例函數(shù)為載體,層層深入變化結(jié)論,探究知識本質(zhì).

    2. 使用否定屬性策略提出新問題

    根據(jù)否定屬性策略,選擇引例探索得到的一個結(jié)論,作為問題提出的出發(fā)點.

    如圖2,四邊形[OABC]的頂點B在y軸正半軸上,頂點A在反比例函數(shù)[y=2x x>0]的圖象上,頂點C在反比例函數(shù)[y=-1x x<0]的圖象上. 若四邊形OABC為平行四邊形,則[xA+xC=0.]

    在水平1上,讓學生列出問題(出發(fā)點)的各個屬性.

    屬性1:點A在反比例函數(shù)[y=2x x>0]的圖象上.

    屬性2:點B在y軸的正半軸上.

    屬性3:點C在反比例函數(shù)[y=-1x x<0]的圖象上.

    屬性4:四邊形OABC為平行四邊形.

    屬性5:[xA+xC=0.]

    在水平2上,讓學生對所列屬性進行否定,并列出新的屬性.

    對于屬性1,教師提問:如果點A不在反比例函數(shù)[y=2x x>0]的圖象上,那么情況將如何?

    采用Brown和Walter的記號(“[~1]”表示對屬性1的否定,以下類推),學生列出如下部分新屬性.

    [~11:] 點A在反比例函數(shù)[y=1x x>0]的圖象上.

    [~12:] 點A在反比例函數(shù)[y=kx k>0]的圖象上.

    [~13:] 點A在一次函數(shù)[y=kx+b]的圖象上.

    [~14:] 點A在二次函數(shù)[y=x2]的圖象上.

    [~15:] 點A是坐標平面內(nèi)一點.

    對于屬性2,教師提問:如果點B不在y軸的正半軸上,那么情況將如何?

    學生列出如下部分新屬性.

    [~21:] 點B在y軸的負半軸上.

    [~22:] 點B在y軸上.

    [~23:] 點B在x軸上.

    [~24:] 點B在第三象限內(nèi).

    [~25:] 點B的坐標是[2,4].

    對于屬性3,教師提問:如果點C不在反比例函數(shù)[y=-1x x<0]的圖象上,那么情況將如何?

    學生列出如下部分新屬性.

    [~31:] 點C在反比例函數(shù)[y=kx x<0]的圖象上.

    [~32:] 點C在一次函數(shù)[y=kx]的圖象上.

    [~33:] 點C在二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]的圖象上.

    [~34:] 點C是坐標平面內(nèi)一點.

    對于屬性4,教師提問:如果四邊形OABC不是平行四邊形,那么情況將如何?

    學生列出如下部分新屬性.

    [~41:] 四邊形OABC是正方形.

    [~42:] 四邊形OABC是梯形.

    [~43:] 四邊形OABC是菱形.

    [~44:] 四邊形OABC是長方形.

    [~45:] 四邊形OABC是箏形.

    對于屬性5,教師提問:如果不是[xA+xC=0],那么情況將如何?

    學生列出如下部分新屬性.

    在水平3上,利用一個或若干個新屬性提出新問題. 在利用新屬性提出新問題時,當遇到新屬性和其他未被否定的原屬性之間,或新屬性與新屬性之間相互矛盾的情形,此時所提的問題無效.

    學生根據(jù)[~12,] [~25,] [~34,] [~43]和[~55,] 提出新問題.

    題目? 如圖3,已知點B的坐標為[B2,4],點A是反比例函數(shù)[y=kx k>0]第一象限圖象上的一點,同時在坐標平面內(nèi)存在一點C使得四邊形OABC為菱形,求k的取值范圍.

    【設計意圖】從一個給定的數(shù)學問題出發(fā),讓學生學習運用否定屬性策略進行變式,使得變式有理有據(jù). 學生在主動提出問題的過程中,學會變式的方向和方法,使得提出新問題的思維規(guī)律、系統(tǒng).

    3. 數(shù)形結(jié)合解決新問題

    根據(jù)水平4,分析、解決新問題.

    教師首先引導學生進行定性、定量分析. 上述題目中,點B,O的位置確定,則直線BO的表達式確定. 然后啟發(fā)學生回顧在引例中獲得的解決問題的經(jīng)驗,由聯(lián)想菱形的性質(zhì)開始,思考由菱形的哪些性質(zhì)可以確定點A,C的位置,學生受到啟發(fā)后,探索得到如下解法.

    教師進一步提出,能否從形的角度解釋上述代數(shù)解法得到的答案呢?學生經(jīng)過討論、研究,提出想法后,教師用幾何畫板軟件輔助驗證.

    先畫出OB的垂直平分線[l:y=-12x+52]和[k=2]時反比例函數(shù)[y=2x ][x>0]的圖象(如圖4),直觀觀察發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的圖象與直線l交于點[A1,A2.] 因為其中一個交點[A1]與BO的中點重合,所以此時在坐標平面內(nèi)存在一點C(點C由點[A2]關(guān)于直線BO對稱得到)使四邊形OABC為菱形,所以[k=2]時符合題意. 然后,k取不同的值,觀察反比例函數(shù)[y=][kx x>0]的圖象與直線l的位置關(guān)系來判斷交點情況. 如果將反比例函數(shù)[y=kx x>0]的圖象上移且“彎曲度”減小,當函數(shù)圖象與直線l只有一個交點A時(如圖5),在坐標平面內(nèi)存在一點C(點C由點A關(guān)于直線BO對稱得到)使四邊形OABC為菱形,此時根據(jù)上述解法中的方程[x2-5x+2k=0,] 由[Δ=0,] 得[k=258]. 如果將函數(shù)[y=][kx x>0]的圖象繼續(xù)上移且“彎曲度”減小,則反比例函數(shù)[y=kx x>0]的圖象與直線l無交點(如圖6),即在坐標平面內(nèi)不存在滿足條件的點C. 如果將反比例函數(shù)圖象下移且“彎曲度”增大,反比例函數(shù)圖象與直線l一直有交點[A1,A2](如圖7),在坐標平面內(nèi)存在一點C(點C由點[A1,A2]關(guān)于直線BO對稱得到)使四邊形OABC為菱形. 綜上,可得[0<k≤258.]

    【設計意圖】從數(shù)式表征和圖形表征兩個角度分析數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系,結(jié)合菱形和反比例函數(shù)知識的本質(zhì)探索解法. 在分析問題的過程中,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力,發(fā)展學生的邏輯推理能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想.

    4. 在解決問題的過程中探索新問題

    在想象k值變化圖象移動的過程中,學生發(fā)現(xiàn)并提出了如下若干新問題.

    問題1:若點C恰好落在y軸上,求反比例函數(shù)解析式.

    問題2:若只存在一個菱形時,求k的值.

    問題3:若存在兩個菱形時,求k的取值范圍.

    問題4:若點C落在第二象限,當存在兩個菱形時,求k的取值范圍.

    ……

    教師將各類變式整理后作為課后練習題留給學生繼續(xù)探究,并提出思考.

    思考:你還能提出哪些新問題?試提出一個新問題并解答.

    【設計意圖】再次運用否定屬性策略,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力,發(fā)展學生的直觀想象和數(shù)學建模能力.

    三、教學反思

    變式教學有助于幫助學生建立知識間的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)學生靈活多變的思維品質(zhì),形成良好的認知結(jié)構(gòu),提高學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索創(chuàng)新的能力. 進行變式的重點是“變什么”,難點在于“怎么變”. 否定屬性策略對如何構(gòu)造數(shù)學變式題很有啟發(fā).? 運用否定屬性策略變式的核心在水平2上,即對“屬性”的考慮——如果不是這樣的話,那它有可能是什么樣?啟發(fā)教師以本原問題為出發(fā)點,對問題系統(tǒng)進行分析,確定核心要素;對問題結(jié)構(gòu)進行分析,確定變式層次;對問題進行變式,確定變式內(nèi)容. 教師和學生一起對問題的條件和結(jié)論、對問題的特殊化和一般化、對問題的題型或背景進行變式思考. 這樣的學習過程是學生主動學習,且愿意學習的.

    上述案例中變式的主要目的是提高學生問題解決思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性. 通過引例,將未知問題化歸為已知問題,使學生對問題解決的過程和問題本身的結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識,從而認識知識本質(zhì);通過使用否定屬性策略提出新問題的過程,對新問題研究的方向和規(guī)律有一個清晰的認識,以幫助學生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題過程中獲得整體的思維活動經(jīng)驗,從而優(yōu)化認知結(jié)構(gòu);解決新問題的過程可以提高學生解決問題的能力.

    基于變式的目的,本節(jié)課以一題多解、一題多變、一法多用進行拓展,用于構(gòu)建學生特定的經(jīng)驗系統(tǒng),促進學生深度學習.

    引例給出的五個問題變式起點低、視角豐富,能夠引導學生從數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系角度分析、轉(zhuǎn)化問題,在一題多解中還原思維的本源性. 使用否定屬性策略提出問題,讓學生明晰“變式是怎么來的”“為什么這么變式”“變式有什么用”,使得變式探究言之有理,這是在學生需求上進行的有意義的構(gòu)建. 針對水平1和水平2的活動,讓學生掌握提出新問題的角度和方法;針對水平3的活動,判斷提出的新問題是否有效;針對水平4的活動,驗證新問題是否有意義. 整個過程不同于簡單地解一道教師給出的變式題,它充分展現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程,發(fā)展了學生的問題研究意識和邏輯推理能力,體現(xiàn)了以學引思的教學理念. 在解決新問題的過程中,運用引例的解題思維經(jīng)驗探索解法,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.

    提出一個有效的好問題比解決一個問題更重要,更能考查學生對知識的理解和掌握情況. 在教學中,如果教師經(jīng)?;诜穸▽傩圆呗缘膯栴}安排活動,讓學生學會列舉屬性,否定屬性,選擇新屬性,提出并分析、解決新問題,必能發(fā)展學生數(shù)學學習的關(guān)鍵能力.

    參考文獻:

    [1]鮑建生,黃榮金,易凌峰,等. 變式教學研究(續(xù))[J]. 數(shù)學教學,2003(2):6-10,23.

    [2]孟凡敏. 基于本原問題的數(shù)學變式教學實踐認識[J]. 上海中學數(shù)學,2018(1 / 2):3-4,18.

    [3]BROWN S I,WALTER M I. The Art of Problem Posing[M]. Philadelphia:The Franklin Institute Press,1983.

    [4]汪曉勤,柳笛. 使用否定屬性策略的問題提出[J]. 數(shù)學教育學報,2008,17(4):26-29.

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