例談使用否定屬性策略的變式教學

何萍 章才岔

摘? 要：基于改變變式教學淺層學習的現(xiàn)狀，思考“為什么變”“變什么”“怎么變”，提出使用否定屬性策略實施變式的途徑和方法. 結(jié)合具體案例進行闡述，讓學生列舉屬性，否定屬性，選擇新屬性，提出并分析、解決新問題的過程，為提高學生問題解決思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性探索新路徑.

關(guān)鍵詞：變式教學;否定屬性;提出問題

變式教學的現(xiàn)狀主要有以下兩個方面：一是由教師圍繞原題目不斷提出問題讓學生解決;二是轉(zhuǎn)換類似題目讓學生重新解題. 但這樣的學習都屬于學生被動接受，如何在原題目的基礎(chǔ)上引導學生自主思考、自覺學習呢？筆者采用美國學者提出的否定屬性策略，在一次初中數(shù)學骨干教師“課堂革命”實踐能力提升專題培訓活動上進行了一次嘗試.

一、變式教學和否定屬性策略

1. 變式教學

傳統(tǒng)的變式教學主要用于概念的掌握. 在教學中，教師用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征. 顧泠沅將“概念性變式”推廣到“過程性變式”，從而使變式教學既適用于數(shù)學概念的掌握，也適用于數(shù)學活動經(jīng)驗的增長. 利用變式題進行教學，教師需要思考“為什么變”“變什么”“怎樣變”.

（1）為什么變？

變式教學不能為變式而變式，為探究而探究. 顧泠沅指出，在數(shù)學活動過程中，變式的目的主要有三個：一是有利于概念形成、問題解決和構(gòu)建特定的經(jīng)驗系統(tǒng)，用于概念教學的過程性變式要為概念的構(gòu)建提供一個有層次推進的過程;二是數(shù)學問題解決的變式鋪墊，使學生對問題解決過程及問題本身的結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識;三是用于構(gòu)建特定經(jīng)驗系統(tǒng)的變式，使學生原有的間斷、瑣碎的活動經(jīng)驗成為一個有機的整體.

（2）變什么？

從一般意義上說，變式是相對于某種范式，即數(shù)學教材中具體的數(shù)學思維成果，包含基礎(chǔ)知識、知識結(jié)構(gòu)、典型問題、思維模式等的變化形式，且不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在變式中以突出“不變量”和“不變性”，獲得對問題本質(zhì)的認識.

（3）怎么變？

怎樣變，即問題變式有哪些基本方式和途徑. 就解題教學的變式而言，教學現(xiàn)狀是教師圍繞原題目不斷提出問題讓學生解決，或轉(zhuǎn)換類似題目讓學生重新解題，學生變成了被動的解題工具，學習過程只是對知識的簡單記憶或復制，無法獲得對問題本質(zhì)的認識，更談不上主動構(gòu)建問題解決和特定的經(jīng)驗系統(tǒng)，時間一久這些知識就會被遺忘.

2. 否定屬性策略

1969年，美國學者Brown和Walter提出的否定屬性（若非—則如何）的問題提出策略，他們將這種策略分為5級水平：水平0——選擇出發(fā)點（如定理、具體材料、問題等）;水平1——列出各個屬性;水平2——否定各個屬性，列出相應的新屬性;水平3——根據(jù)新屬性，提出新問題;水平4——分析、解決所提的新問題. 運用否定屬性策略可以從已知的問題情境編擬出新問題.

二、平行四邊形專題復習教學實踐

本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是在學生學習了平行四邊形和反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上進行的專題復習，主要完成以下教學目標. 第一，通過引例學習，復習平行四邊形和反比例函數(shù)的知識本質(zhì);第二，通過使用否定屬性策略提出問題的過程，獲得問題研究的思維活動經(jīng)驗，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu);第三，通過問題解決的過程，提高解決問題的能力.

1. 引例中探究知識本質(zhì)

引例? 如圖1，[?OABC]的頂點B在y軸正半軸上，頂點A在反比例函數(shù)[y=2x x>0]的圖象上，頂點C在反比例函數(shù)[y=-1x x<0]的圖象上.

教師依次提出如下問題.

問題1：猜想點A，C的橫坐標有什么關(guān)系？

問題2：點A，C的縱坐標有關(guān)系嗎？

問題3：點A，B，C的縱坐標有什么聯(lián)系嗎？

問題4：[?OABC]有可能是特殊的平行四邊形嗎？

問題5：[?OABC]的面積會變化嗎？

學生用多種方法求解問題1.

方法1：根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，得三角形全等，可得[xA+xC=0.]

方法2：根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，得三角形全等，可得[xA+xC=0.]

方法3：根據(jù)三角形面積相等，由底相等，得高相等，可得[xA+][xC=0.]

學生進一步求解點A，B，C縱坐標間的關(guān)系，進而從“數(shù)”“形”兩個角度解決問題4和問題5，揭示解決問題的本質(zhì)是平行四邊形的中心對稱性和反比例函數(shù)的幾何意義.

【設計意圖】以平行四邊形和反比例函數(shù)知識為背景，讓學生經(jīng)歷解決問題的一般思維過程. 首先發(fā)散思維，聯(lián)想平行四邊形的性質(zhì)，然后在此題條件下尋找求解思路，進行一題多解. 從數(shù)學研究角度（研究數(shù)量關(guān)系和空間形式）提出問題4和問題5，啟發(fā)學生用運動變化的觀點通過觀察、猜想、驗證來分析問題，不斷把形與數(shù)進行關(guān)聯(lián)，以平行四邊形和反比例函數(shù)為載體，層層深入變化結(jié)論，探究知識本質(zhì).

2. 使用否定屬性策略提出新問題

根據(jù)否定屬性策略，選擇引例探索得到的一個結(jié)論，作為問題提出的出發(fā)點.

如圖2，四邊形[OABC]的頂點B在y軸正半軸上，頂點A在反比例函數(shù)[y=2x x>0]的圖象上，頂點C在反比例函數(shù)[y=-1x x<0]的圖象上. 若四邊形OABC為平行四邊形，則[xA+xC=0.]

在水平1上，讓學生列出問題（出發(fā)點）的各個屬性.

屬性1：點A在反比例函數(shù)[y=2x x>0]的圖象上.

屬性2：點B在y軸的正半軸上.

屬性3：點C在反比例函數(shù)[y=-1x x<0]的圖象上.

屬性4：四邊形OABC為平行四邊形.

屬性5：[xA+xC=0.]

在水平2上，讓學生對所列屬性進行否定，并列出新的屬性.

對于屬性1，教師提問：如果點A不在反比例函數(shù)[y=2x x>0]的圖象上，那么情況將如何？

采用Brown和Walter的記號（“[～1]”表示對屬性1的否定，以下類推），學生列出如下部分新屬性.

[～11：] 點A在反比例函數(shù)[y=1x x>0]的圖象上.

[～12：] 點A在反比例函數(shù)[y=kx k>0]的圖象上.

[～13：] 點A在一次函數(shù)[y=kx+b]的圖象上.

[～14：] 點A在二次函數(shù)[y=x2]的圖象上.

[～15：] 點A是坐標平面內(nèi)一點.

對于屬性2，教師提問：如果點B不在y軸的正半軸上，那么情況將如何？

學生列出如下部分新屬性.

[～21：] 點B在y軸的負半軸上.

[～22：] 點B在y軸上.

[～23：] 點B在x軸上.

[～24：] 點B在第三象限內(nèi).

[～25：] 點B的坐標是[2，4].

對于屬性3，教師提問：如果點C不在反比例函數(shù)[y=-1x x<0]的圖象上，那么情況將如何？

學生列出如下部分新屬性.

[～31：] 點C在反比例函數(shù)[y=kx x<0]的圖象上.

[～32：] 點C在一次函數(shù)[y=kx]的圖象上.

[～33：] 點C在二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]的圖象上.

[～34：] 點C是坐標平面內(nèi)一點.

對于屬性4，教師提問：如果四邊形OABC不是平行四邊形，那么情況將如何？

學生列出如下部分新屬性.

[～41：] 四邊形OABC是正方形.

[～42：] 四邊形OABC是梯形.

[～43：] 四邊形OABC是菱形.

[～44：] 四邊形OABC是長方形.

[～45：] 四邊形OABC是箏形.

對于屬性5，教師提問：如果不是[xA+xC=0]，那么情況將如何？

學生列出如下部分新屬性.

在水平3上，利用一個或若干個新屬性提出新問題. 在利用新屬性提出新問題時，當遇到新屬性和其他未被否定的原屬性之間，或新屬性與新屬性之間相互矛盾的情形，此時所提的問題無效.

學生根據(jù)[～12，] [～25，] [～34，] [～43]和[～55，] 提出新問題.

題目? 如圖3，已知點B的坐標為[B2，4]，點A是反比例函數(shù)[y=kx k>0]第一象限圖象上的一點，同時在坐標平面內(nèi)存在一點C使得四邊形OABC為菱形，求k的取值范圍.

【設計意圖】從一個給定的數(shù)學問題出發(fā)，讓學生學習運用否定屬性策略進行變式，使得變式有理有據(jù). 學生在主動提出問題的過程中，學會變式的方向和方法，使得提出新問題的思維規(guī)律、系統(tǒng).

3. 數(shù)形結(jié)合解決新問題

根據(jù)水平4，分析、解決新問題.

教師首先引導學生進行定性、定量分析. 上述題目中，點B，O的位置確定，則直線BO的表達式確定. 然后啟發(fā)學生回顧在引例中獲得的解決問題的經(jīng)驗，由聯(lián)想菱形的性質(zhì)開始，思考由菱形的哪些性質(zhì)可以確定點A，C的位置，學生受到啟發(fā)后，探索得到如下解法.

教師進一步提出，能否從形的角度解釋上述代數(shù)解法得到的答案呢？學生經(jīng)過討論、研究，提出想法后，教師用幾何畫板軟件輔助驗證.

先畫出OB的垂直平分線[l：y=-12x+52]和[k=2]時反比例函數(shù)[y=2x ][x>0]的圖象（如圖4），直觀觀察發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的圖象與直線l交于點[A1，A2.] 因為其中一個交點[A1]與BO的中點重合，所以此時在坐標平面內(nèi)存在一點C（點C由點[A2]關(guān)于直線BO對稱得到）使四邊形OABC為菱形，所以[k=2]時符合題意. 然后，k取不同的值，觀察反比例函數(shù)[y=][kx x>0]的圖象與直線l的位置關(guān)系來判斷交點情況. 如果將反比例函數(shù)[y=kx x>0]的圖象上移且“彎曲度”減小，當函數(shù)圖象與直線l只有一個交點A時（如圖5），在坐標平面內(nèi)存在一點C（點C由點A關(guān)于直線BO對稱得到）使四邊形OABC為菱形，此時根據(jù)上述解法中的方程[x2-5x+2k=0，] 由[Δ=0，] 得[k=258]. 如果將函數(shù)[y=][kx x>0]的圖象繼續(xù)上移且“彎曲度”減小，則反比例函數(shù)[y=kx x>0]的圖象與直線l無交點（如圖6），即在坐標平面內(nèi)不存在滿足條件的點C. 如果將反比例函數(shù)圖象下移且“彎曲度”增大，反比例函數(shù)圖象與直線l一直有交點[A1，A2]（如圖7），在坐標平面內(nèi)存在一點C（點C由點[A1，A2]關(guān)于直線BO對稱得到）使四邊形OABC為菱形. 綜上，可得[0<k≤258.]

【設計意圖】從數(shù)式表征和圖形表征兩個角度分析數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系，結(jié)合菱形和反比例函數(shù)知識的本質(zhì)探索解法. 在分析問題的過程中，發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學生的邏輯推理能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想.

4. 在解決問題的過程中探索新問題

在想象k值變化圖象移動的過程中，學生發(fā)現(xiàn)并提出了如下若干新問題.

問題1：若點C恰好落在y軸上，求反比例函數(shù)解析式.

問題2：若只存在一個菱形時，求k的值.

問題3：若存在兩個菱形時，求k的取值范圍.

問題4：若點C落在第二象限，當存在兩個菱形時，求k的取值范圍.

……

教師將各類變式整理后作為課后練習題留給學生繼續(xù)探究，并提出思考.

思考：你還能提出哪些新問題？試提出一個新問題并解答.

【設計意圖】再次運用否定屬性策略，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，發(fā)展學生的直觀想象和數(shù)學建模能力.

三、教學反思

變式教學有助于幫助學生建立知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學生靈活多變的思維品質(zhì)，形成良好的認知結(jié)構(gòu)，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索創(chuàng)新的能力. 進行變式的重點是“變什么”，難點在于“怎么變”. 否定屬性策略對如何構(gòu)造數(shù)學變式題很有啟發(fā).? 運用否定屬性策略變式的核心在水平2上，即對“屬性”的考慮——如果不是這樣的話，那它有可能是什么樣？啟發(fā)教師以本原問題為出發(fā)點，對問題系統(tǒng)進行分析，確定核心要素;對問題結(jié)構(gòu)進行分析，確定變式層次;對問題進行變式，確定變式內(nèi)容. 教師和學生一起對問題的條件和結(jié)論、對問題的特殊化和一般化、對問題的題型或背景進行變式思考. 這樣的學習過程是學生主動學習，且愿意學習的.

上述案例中變式的主要目的是提高學生問題解決思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性. 通過引例，將未知問題化歸為已知問題，使學生對問題解決的過程和問題本身的結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識，從而認識知識本質(zhì);通過使用否定屬性策略提出新問題的過程，對新問題研究的方向和規(guī)律有一個清晰的認識，以幫助學生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題過程中獲得整體的思維活動經(jīng)驗，從而優(yōu)化認知結(jié)構(gòu);解決新問題的過程可以提高學生解決問題的能力.

基于變式的目的，本節(jié)課以一題多解、一題多變、一法多用進行拓展，用于構(gòu)建學生特定的經(jīng)驗系統(tǒng)，促進學生深度學習.

引例給出的五個問題變式起點低、視角豐富，能夠引導學生從數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系角度分析、轉(zhuǎn)化問題，在一題多解中還原思維的本源性. 使用否定屬性策略提出問題，讓學生明晰“變式是怎么來的”“為什么這么變式”“變式有什么用”，使得變式探究言之有理，這是在學生需求上進行的有意義的構(gòu)建. 針對水平1和水平2的活動，讓學生掌握提出新問題的角度和方法;針對水平3的活動，判斷提出的新問題是否有效;針對水平4的活動，驗證新問題是否有意義. 整個過程不同于簡單地解一道教師給出的變式題，它充分展現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程，發(fā)展了學生的問題研究意識和邏輯推理能力，體現(xiàn)了以學引思的教學理念. 在解決新問題的過程中，運用引例的解題思維經(jīng)驗探索解法，發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.

提出一個有效的好問題比解決一個問題更重要，更能考查學生對知識的理解和掌握情況. 在教學中，如果教師經(jīng)?；诜穸▽傩圆呗缘膯栴}安排活動，讓學生學會列舉屬性，否定屬性，選擇新屬性，提出并分析、解決新問題，必能發(fā)展學生數(shù)學學習的關(guān)鍵能力.

參考文獻：

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