一元二次不等式的解題方法探析

呂瑜芳

摘 要：一元二次不等式解題方法有很多，選用好的方法，可使解題快速、準(zhǔn)確，收到事半功倍的效果.本文通過實(shí)例分析探討了一元二次不等式的四類解法.

關(guān)鍵詞：一元二次不等式 因式分解 數(shù)形結(jié)合

一元二次不等式及其解法不僅僅是對(duì)一類不等式進(jìn)行求解，更是對(duì)模塊一中有關(guān)函數(shù)內(nèi)容的一種延續(xù)和上升，還是解決其他數(shù)學(xué)問題的一種重要工具.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的解法的延續(xù)和深化，對(duì)已學(xué)習(xí)過的集合、函數(shù)知識(shí)的鞏固和運(yùn)用具有重要的作用，也與數(shù)列、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、直線與圓錐曲線，以及導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容密切相關(guān).許多問題的解決都會(huì)借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性，體現(xiàn)出很大的工具作用.本文對(duì)解一元二次不等式的方法作探討，以拋磚引玉.

一、因式分解法

這種解法的優(yōu)點(diǎn)是思路簡單，容易理解，同學(xué)也易于接受，因式分解法求解一元二次不等式的主要解題步驟如下：

（1）先將一元二次不等式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化為：ax+bx+c＞0（＜0），（其中a＞0）；

（2）如果ax+bx+c＞0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能被因式分解，就可把它分解成為：a（x-x）（x-x）＞0（＜0）（其中a＞0），從而得到ax+bx+c＞0（＜0）的等價(jià)的不等式組，由不等式組的解而得到不等式的解；

（3）如果ax+bx+c＞0在實(shí)數(shù)圍內(nèi)不能被因式分解，則ax+bx+c＞0（＜0）的解只有兩種可能：一是一切實(shí)數(shù)，二是空集.

注：分式不等式＞0?圳f（x）＞0g（x）＞0或f（x）＜0g（x）＜0；

分式不等式≥0?圳f（x）≥0g（x）≥0或f（x）≤0g（x）≤0.

二、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合思想，可以直觀明了問題，降低難度，易掌握少出錯(cuò)，數(shù)形結(jié)合法求解一元二次不等式的主要解題步驟如下：

（1）觀察二次系數(shù)的符號(hào)；

（2）弄清楚方程ax+bx+c=0的根的判別式△與0的大小關(guān)系，判定實(shí)根的個(gè)數(shù)；

（3）若方程y=ax+bx+c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x和x，比較兩者的大小；

（4）依據(jù)二次函數(shù)的圖像寫出解集（表1）.

表1 一元二次不等式圖像與解集對(duì)照表

注：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)（即a＜0）的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再進(jìn)行運(yùn)算.

三、區(qū)間符號(hào)分析法

區(qū)間符號(hào)分析法求解一元二次不等式的主要解題步驟如下：

（1）先將一元二次不等式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化為：ax+bx+c＞0（＜0），（其中a＜0）；

（2）如果一元二次方程ax+bx+c=0有兩個(gè)解，求出一元二次方程的兩個(gè)解x，x，這樣x，x兩個(gè)數(shù)把實(shí)數(shù)軸分成三段：（-∞，x），（x，x），（x，+∞）；

（3）在區(qū)間（x，x）中隨便找一個(gè)數(shù)β，計(jì)算aβ+bβ+c的值，由aβ+bβ+c的值的符號(hào)而選擇符合的區(qū)間.

四、方程法

對(duì)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說方程法是一種簡單有效的好方法.應(yīng)用方程法求解一元二次不等式的主要步驟如下.

（1）方程ax+bx+c=0的根的判別式△與0的大小關(guān)系；

（2）當(dāng)△≥0，a與所求解的是同號(hào)時(shí)，則結(jié)果是用“或”；反之，a與所求解的是異號(hào)時(shí)，則結(jié)果是夾中間；

3）當(dāng)△≥0時(shí)，a與所求解的是同號(hào)時(shí)，則結(jié)果是R（全體實(shí)數(shù)）；反之，a與所求解的是異號(hào)時(shí)，則結(jié)果是?覫（空集）.

下面我們分別利用四種方法求一元二次不等式2x+3x-2≤0的解集.

方法一（因式分解法）：

原不等式等價(jià)的不等式組為2x-1≤0x+2≥0或2x-1≥0x+2≤0，由此可得：x≤x≥-2或x≥x≤-2，所以原不等式的解集為{x|-2≤x≤}.

方法二（數(shù)形結(jié)合法）：

求得2x+3x-2=0的兩個(gè)根分別為和-2，而a=2＞0，所以圖像的開口朝上（如圖1），即不等式的解集為{x|-2≤x≤}.

方法三（區(qū)間符號(hào)分析法）：

求得2x+3x-2=0的兩個(gè)根分別為和-2，這兩個(gè)根把實(shí)數(shù)軸分成三段：（-∞，-2），（-2，），（，+∞）.

（圖2）

在區(qū)間（-2，）中隨便找一個(gè)數(shù)0，即2×0+3×0-2=-2＜0，得不等式的解集為{x|-2≤x≤}.

方法四（方程法）：

求得2x+3x-2=0的兩個(gè)根分別為和-2，因?yàn)閍=2＞0而求的是“△”異號(hào)，所以原不等式的解集為{x|-2≤x≤}.

由上可知，在不等式的教學(xué)或復(fù)習(xí)中要有意識(shí)地注意方法的選擇，在解決不等式類的習(xí)題中要確定好觀察角度，對(duì)代數(shù)表達(dá)式的幾何意義要具有主觀感知，靈活地有潛意識(shí)地恰當(dāng)運(yùn)用方法，這樣不僅了解并體會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法的奧妙，而且提高了解題速度，同時(shí)優(yōu)化了解題過程.

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