因式分解教學(xué)中的逆向思維培養(yǎng)

摘要：因式分解需要把一個多項(xiàng)式化為幾個最簡整式的積的形式，如果從運(yùn)算角度上考慮，實(shí)際上就是把一個表示和的形式，改變式子的結(jié)構(gòu)，寫成乘積的形式，但要保持兩者仍相等，這樣的變形過程與整式乘法之間是互逆的關(guān)系.因式分解是進(jìn)行逆向思維能力培養(yǎng)的最佳平臺與載體，運(yùn)用逆向思維不但可以使思考問題的過程顯得真實(shí)化，還能培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性與創(chuàng)造性，培養(yǎng)積極探究數(shù)學(xué)問題的良好思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；因式分解；整式乘法；逆向思維

作者簡介：劉付強(qiáng)（1976-），男，江蘇揚(yáng)州人，本科，中學(xué)一級，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.逆向思維是與正向思維方向相反的思維過程，但在思維內(nèi)容上兩者往往有一致性.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不少內(nèi)容需要學(xué)生能夠“反其道而思之”，使部分運(yùn)用正向思維難以解決的問題得到順利解決.比如要求學(xué)生畫出一條長為5cm的線段，這里的思考過程就可以追溯到畫直角三角形，如果直角邊為整數(shù)，斜邊有可能出現(xiàn)無理數(shù)的情況，經(jīng)幾次嘗試探索就可以發(fā)現(xiàn)直角邊為1cm與2cm的直角三角形，其斜邊為5cm.

因式分解需要把一個多項(xiàng)式化為幾個最簡整式的積的形式，如果從運(yùn)算角度上考慮，實(shí)際上就是把一個表示和的形式，改變式子的結(jié)構(gòu)，寫成乘積的形式，但要保持兩者仍相等，這樣的變形過程與整式乘法之間是互逆的關(guān)系.

一、由瓜找藤，理解公式的形成過程

因式分解的原理來自多項(xiàng)式乘法，比如（a+b）（a-b）=a2-b2和a2-b2=（a+b）（a-b）是一種逆向變形的關(guān)系.教學(xué)過程中，既要引導(dǎo)學(xué)生借助正向思維去獲得公式，掌握其規(guī)律，也要讓學(xué)生通過“瓜”來找“藤”，做到來去自如.

比如，對于提取公因式法的學(xué)習(xí)，教師可以這樣操作：

1.讓學(xué)生寫出：a（m+n+q）=am+an+aq，然后利用等式的特征寫出am+an+aq=a（m+n+q）.

2.教師可以借助數(shù)形結(jié)合的方法展示如圖，從而很快讓學(xué)生理解：am+an+aq=a（m+n+q）

3.通過比喻的方式讓記住這兩個公式的表達(dá)形式：a（m+n+q）=am+an+aq——假如a前去某公司（括號正代表公司的房子）參觀，正好遇到了過去的朋友m，n，q三人都在這家公司工作，于是a分別與這三人握手示好；am+an+aq=a（m+n+q）——握手并在這家公司辦完事情后，a離開了這家公司，所以a已經(jīng)在括號（公司）的外面了，而原來與他握手的三人還在括號里面.

4.計(jì)算25×4+25×34+25×2，在實(shí)踐中理解這表示4個25相加，34個25相加，2個25相加，所以一共是40個25相加，與以原式等于40×25，這樣就促進(jìn)了理解.

5.歸納提取公因式法.

6.加強(qiáng)實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練，嘗試練習(xí)提取公因式法.

二、利用等式性質(zhì)，作出逆向思考

從命題的角度分析，一個原命題的命題可以是真命題也可以是假命題，比如對于平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2來說，它只是一種整式乘法的形式，表述成語言就是兩數(shù)和與之兩數(shù)差的乘積等于這兩數(shù)的平方差，那么“如果兩數(shù)寫成平方差的形式，其結(jié)果是否等于兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積呢？”有的學(xué)生想當(dāng)然地說這是成立的，理由呢，大家就會一躊莫展，而事實(shí)上，a=b成立，b=a就是成立的，用反證法也能證明它.學(xué)生就接觸過這樣的例子：因?yàn)棣?︱=5、︱-5︱=5，所以絕對值等于5的數(shù)有5與-5.但同樣5=︱5︱還是成立的，這里要防止是的把調(diào)換兩式位置兩種情況與原逆命題混為一談.比如對于平方差公式的思考方法：因?yàn)椋╝+b）（a-b）=a2-b2，所以等式a2-b2=（a+b）（a-b）右邊部分等于a2-b2，與左邊完全一樣，所以a2-b2=（a+b）（a-b）成立.也可以運(yùn)用反證法思考（學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)過，但其邏輯常識是早已被學(xué)生所接受的）：如果a2-b2≠（a+b）（a-b），那么根據(jù)（a+b）（a-b）=a2-b2，替換上以后出現(xiàn)a2-b2≠a2-b2的情況，這說明前邊的假設(shè)是錯誤的，故a2-b2=（a+b）（a-b）.

三、借助數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生逆向思維

教學(xué)中往往對正向思維關(guān)注較多，由正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)移時，需要重新調(diào)整心理過程，重新建立心理過程的方向.由于初中因式分解解題過程中也會出現(xiàn)不少難題，光憑逆向思維往往不能解決問題，這時我們就需要適當(dāng)運(yùn)用一些手段，比如進(jìn)行合理預(yù)設(shè)、運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想方法.解題過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些假設(shè)，由于假設(shè)結(jié)論是成立的，然后由果查因，推導(dǎo)出原因也是成立的，這里我們往往需要用到添項(xiàng)與拆項(xiàng)的方法.

例如，對于“a2+b2+c2+29=6a+4b+8c，求a，b，c的值.”這一題，很多學(xué)生會無從入手，因?yàn)檫@是一個等式，而且題目中也沒有明確規(guī)定或者提示解決問題的方法.

如何找到問題解決的切入點(diǎn)呢？首先可以把右邊的三項(xiàng)全都移到左邊進(jìn)行觀察，可以發(fā)現(xiàn)有三個字母，帶這三個字母的項(xiàng)都有兩項(xiàng)，那么就可以分成三類，即按三個字母分的三類：a2-6a，b2-4b，c2-8c.再觀察a2-6a可以發(fā)現(xiàn)與平方差公式的運(yùn)用很相似，這里第一項(xiàng)為a2，第二項(xiàng)-6a=2×（-3）×a，所以第三項(xiàng)最好是（-3）的平方，這樣就需要通過補(bǔ)一個9來解決，最終就可以變形成（a-3）2+（b-4）2+（c-3）2=0，從而運(yùn)用非負(fù)數(shù)之和為零，每項(xiàng)非負(fù)數(shù)均為零的性質(zhì)得解.這種拆項(xiàng)與添項(xiàng)的方法在學(xué)生數(shù)學(xué)競賽與課后的思考題中較多的出現(xiàn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和創(chuàng)新意識.

四、補(bǔ)充十字相乘方法，培養(yǎng)逆向思維品質(zhì)

平方差公式與完全平方公式的逆用可以幫助學(xué)生進(jìn)行因式分解，其實(shí)質(zhì)還是建立在多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上的，而十字相乘法雖然近來并不作要求，但由于在實(shí)際數(shù)學(xué)問題解決中非常有用，而且有助于培養(yǎng)尖子生超前的思維能力，所以也十分有必要加以介紹，并引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用.比如對于a2-3a+2，學(xué)生如果通過配方的方法進(jìn)行因式分解，會非常累，十字相乘在這兒就體現(xiàn)了它的優(yōu)勢.教學(xué)時，教師首先可以出些諸如“（a+1）（a+2），（a-3）（a+4），（2x+2）（3x-1）”的題讓學(xué)生練習(xí)（在整式乘法部分教學(xué)時也需要適時教學(xué)），并嘗試探究結(jié)果中一次項(xiàng)系數(shù)產(chǎn)生的規(guī)律，認(rèn)識到這正是交叉相乘的積相加的結(jié)果.在因式分解過程中，同樣可以運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行，但這時學(xué)生就需要還原上述過程，進(jìn)行逆向思考.當(dāng)然，這些方法對學(xué)生的要求不是剛性的，鼓勵學(xué)生多學(xué)習(xí)不同的方法雖有助提升解題的靈活性，但教學(xué)過程中不必強(qiáng)行超出教材要求，更不能加重學(xué)生負(fù)擔(dān).

五、回顧學(xué)習(xí)過程，尋找解題突破口

因式分解這塊內(nèi)容在教師看來是非常簡單的，但事實(shí)上很多學(xué)生并不理解，練習(xí)過程中錯誤也會很多，其原因還在于教師引導(dǎo)不當(dāng)，學(xué)生理解不透，所以加強(qiáng)與整式乘法的聯(lián)系，不斷加強(qiáng)由因找果與由果溯因的雙向關(guān)聯(lián)訓(xùn)練是非常必要的.另外，教師在訓(xùn)練難度設(shè)計(jì)上要逐漸加深，不能一步到位，否則易挫傷學(xué)生的積極性.對于一下子難以解決的問題，可以引導(dǎo)學(xué)生從前邊所學(xué)的知識中激發(fā)解決問題的靈感.

比如對于運(yùn)用整體思想的訓(xùn)練中的這樣一道題a（x-y）+b（y-x），可以這么引導(dǎo)，因?yàn)椋▁-y）與（y-x）是相反數(shù)關(guān)系，可以通過提取第二個式子中的負(fù)號讓兩者相同，這樣原式就化成了a（x-y）-b（x-y），我們把括號內(nèi)看成一個整體，或者令x-y=M，原式就是aM-bM，正好可以把M提出來.其解題思路如下“aM-bM←a（x-y）-b（x-y）←a（x-y）+b（y-x）”，所以這里教師要做的是引導(dǎo)學(xué)生去找到這一題的前置性訓(xùn)練，喚起學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).這是對平時問題學(xué)習(xí)過程的再回顧，也屬于逆向思維.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師必須培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，而因式分解是進(jìn)行逆向思維能力培養(yǎng)的最佳平臺與載體，運(yùn)用逆向思維不但可以是思考問題的過程顯得真實(shí)化，還能培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性與創(chuàng)造性，培養(yǎng)積極探究數(shù)學(xué)問題的良好思維品質(zhì).具體教學(xué)過程中，教師需要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生挖掘有效的解題方法，不斷喚醒學(xué)生的前期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，做出理性科學(xué)的回顧，從而解決問題.

參考文獻(xiàn)：

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2017年1月10日理科考試研究·物理版理科考試研究·物理版2017年1月10日