探討一元二次方程中的五要點

摘要：一元二次方程是初中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，也是中考的熱點之一，本文梳理總結(jié)了一元二次方程五方面的知識點，并佐以實例，對學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)一元二次方程及相關(guān)知識有很大的幫助作用，也可供教師教學(xué)參考.

關(guān)鍵詞：一元二次方程；概念理解；教學(xué)設(shè)計

作者簡介：馬宏偉（1978-），男，甘肅岷縣人，?？疲袑W(xué)一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教法研究.一、一個概念

我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.概念的關(guān)鍵是“一元”、“二次”、“整式”方程及二次項系數(shù)不能為零，它的一般形式為ax2+bx+c=0（a與b和c為已知數(shù)，且a≠0）.

二、二條性質(zhì)

1、如果a+b+c=0，則方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為1，反過來也成立；

2、若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為-1，反過來也成立.

三、三種不完全形式

1、ax2+bx=0（c=0）；2、ax2+c=0（b=0）；3、ax2=0（b和c同時為0）.

四、四種基本解法

1、直接開平方法；2、配方法；3、因式分解法；4、求根公式法.

五、五條注意事項

1.判斷一個方程是否為一元二次方程，必須先將其化簡整理成為一般形式，再根據(jù)概念作出肯定或否定的判斷.

例1下列方程中是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0

B.2x2+xy+x+1=0

C.6x2-2x+1=（2x-1）（3x+2）

D.（x+1）22=2x3

答：應(yīng)選（D）

解析備選答案A中無a≠0的限制條件；B中含有兩個未知數(shù)；C容易誤認為是一元二次方程，但展開整理后二次項將消去，故正確答案為（D）.

2.切勿忽視二次項系數(shù)不為零的隱含條件

例2方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）

A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2

答：應(yīng)選（B）

解析由題意，得|m|=2

m+2≠0 聯(lián)立解得m=2.本題易錯選為A，這是只考慮了|m|=2而忽略了隱含條件m+2≠0所造成的.

例3一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A. k>2B.k<2且k≠1

C. k<2D.k>2且k≠1

答：應(yīng)選（B）

解析一般情況下僅考慮Δ=（-2）2+4（1-k）>0k<2容易忽視1-k≠0，從而造成漏解，應(yīng)綜合求解即得k<2且k≠1

3.若說一個方程有實數(shù)根，不能馬上就想到一元二次方程，進而去考慮根的判別式，還應(yīng)同時“兼顧”一元一次方程；或只想到Δ=0，亦應(yīng)充分考慮到“兩個實數(shù)根”有可能相等，也可能不等.

例4k為何值時，關(guān)于x的方程（k-1）x2-（2k+1）+k+1=0有實數(shù)根？

解析此方程沒有說明一定是一元二次方程，所以要分一次方程和二次方程兩種情況來考查.

（1）當(dāng)k-1=0即k=1時，原方程化為-3x+2=0，∴x=23

（2） k-1≠0即k≠1時，由Δ≥0知（2k+1）2-4（k-1）（k+1）≥0，即k≥-54，∴k≥-54且k≠1

綜合（1）（2）可知，當(dāng)k≥-54時，方程有實數(shù)根.

例5關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=0有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是（）

A.m>0B.m≥0

C.m>0且m≠1 D.m≥0且m≠1

答：應(yīng)選（D）

解析由△≥0且m-1≠0得出結(jié)論

4.運用方程的根的定義解題時，應(yīng)周密思考，否則極易造成漏解

例6已知實數(shù)α、β滿足條件α2-7α+2=0，β2-7β+2=0，求βα+αβ的值.

解析∵α2-7α+2=0，β2-7β+2=0，

∴α、β是一元二次方程x2-7x+2=0的兩實根

由根與系數(shù)的關(guān)系，得α+β=7，αβ=2

（1）當(dāng)α=β時，βα+αβ=2（這一點容易疏忽）

（2）α=β時，βα+αβ=α2+β2αβ=（α+β）2-2αβαβ=7 2-2×22=452

5.解含有字母系數(shù)的一元二次方程，需分類討論

例7解關(guān)于x的方程（a-1）x2-2ax+a=0

解析（1）當(dāng)a-1=0，即a=1時，得-2x+1=0∴x=-12

（2）當(dāng)a-1≠0，即a≠1時，Δ=4a-4（a-1）=4a

① 若a<0，則△<0，方程無實數(shù)根；

② 若a=0，則△=0，x1=x2=0；

③ 若a>0，則△>0，得x1=a+aa-1，x2=a-aa-1

綜上得：當(dāng)a=1時，x=-12；當(dāng)a<0時，方程無實根；當(dāng)a=0時，x1=x2=0；當(dāng)a>0時且a≠1時 ，x1=a+aa-1，x2=a-aa-1.

參考文獻：

[1]吳健.閱讀理解專題講解[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2015（2）：5-6