二次型理論在因式分解中的應(yīng)用初探

馬小然

【摘要】文章由一個(gè)具體的多項(xiàng)式可否因式分解的判斷及如何分解的問題入手，聯(lián)系二次型的理論，通過論證后，得出了對于所有n元二次多項(xiàng)式可否進(jìn)行分解判斷及對能分解的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的一般方法.

【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式；因式分解；二次型

一、因式分解的意義及研究狀況

多項(xiàng)式的因式分解是數(shù)學(xué)中代數(shù)式恒等變形的一種重要方法，它在初等數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)中，在方程、分式、不等式、三角、解析幾何、積分等方面都有著廣泛的應(yīng)用.其重要性在于通過多項(xiàng)式的因式分解可以讓我們從整除性的角度掌握一個(gè)多項(xiàng)式的各個(gè)因式，從而可以把一個(gè)比較復(fù)雜的問題化簡成為若干個(gè)比較簡單的問題.一般說來，因式分解的方法多種多樣，沒有一個(gè)固定的方法，在某種特殊情況下，即使有確定的方法，也往往由于它的煩瑣而放棄使用它，這就迫使人們不得不對問題進(jìn)行深入的分析和周密的思考，并采取各種機(jī)智、巧妙的方法.文章利用高等代數(shù)中所學(xué)到的二次型理論來研究多元二次多項(xiàng)式的因式分解問題，并試圖給出可否分解的判別方法及可分解時(shí)如何求分解式的方法.

二、實(shí)際問題探究

在學(xué)習(xí)因式分解過程中，會遇到如下多項(xiàng)式的分解：

x2+2xy-8y2+2zx+14yz-3z2（1）

通常做法：考慮能否用提公因式法、公式法、十字相乘法、配方法、求根公式法等方法分解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)采用這些方法去分解上述多項(xiàng)式都是比較困難的，那么這個(gè)多項(xiàng)式能否分解呢？怎么分解呢？

下面，我們來分析一下這個(gè)多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)這個(gè)多項(xiàng)式實(shí)際是高等代數(shù)中的一個(gè)三元二次型，而在二次型的理論中有如下定理：

定理 一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是它的秩等于2和符號差等于0，或者秩等于1.

證明 設(shè)這個(gè)二次型為f（x1，x2，…，xn）.

必要性：

設(shè)f（x1，x2，…，xn）=（a1x1+a2x2+…+anxn）（b1x1+b2x2+…+bnxn）.

①若Α=a1a2…anb1b2…bn的秩等于1，

不妨設(shè)a1≠0，則bi=kai，i=1，2，…，n，k≠0.

做非退化線性變換y1=a1x1+…+anxny2=x2yn=xn

可得f（x1，x2，…，xn）=ky21，即f的秩等于1.

②若Α=a1a2…anb1b2…bn的秩等于2，

不妨設(shè) a1a2b1b2≠0.

令y1=a1x1+…+anxny2=b1x1+…+bnxny3=x3yn=xn

C1=a1a2a3…anb1b2b3…bn001…0000…1

則C1可逆，Y=C1X.

f經(jīng)非退化線形替換X=C-11Y化為f=y1y2.

令y1=z1+z2y2=z1-z2y3=z3yn=zn

C2=110…01-10…0001…0000…1

取C=C-11C2，f經(jīng)非退化線性替換X=CZ后化為f（x1，x2，…，xn）=z21-z22.

因此f的秩等于2，符號差為0.

綜上所述，如果一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘

積，則它的秩等于2和符號差等于0，或者秩等于1.

充分性：

①如果f的秩等于1，假定f（x1，x2，…，xn）=ky21，k≠0，

顯然f可以分解為兩個(gè)一次多項(xiàng)式之積.

②如果f的秩等于2，符號差為0，假定f（x1，x2，…，xn）=z21-z22，

顯然f=（z1+z2）（z1-z2），則f可以分解為兩個(gè)一次多項(xiàng)式之積.

綜上所述，一個(gè)實(shí)二次型的秩等于2和符號差等于0，或者秩等于1，則該

多項(xiàng)式可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積.

通過這個(gè)定理我們可以判定（1）式能否分解，并且在定理的證明中就可以找到分解（1）式的方法，即在合同變換的同時(shí)得到一個(gè)可逆的線性變換X=CY，只要求出C的逆，將Y表示出來后代入規(guī)范型即可得到其分解式.下面以（1）式為例來說明這一方法的應(yīng)用.

解 （1）式的矩陣A=1111-8717-3.

對矩陣A做合同變換：

AE=1111-8717-3100010001→1000-9606-41-1-1010001→1000-100001-13-5301323001.

取C=1-13-5301323001，

做非退化線性變換X=CY，可以使原二次型化為規(guī)范形：y21-y22.

∴ 該三元二次型的秩等于2，符號差為0，因此可以分解.

求C-1：C-1=11103-2001，Y=C-1X.

∴ y1=x+y+zy2=3y-2zy1+y2=x+4y-zy1-y2=x-2y-3z

所以（1）式可以分解為x+4y-zx-2y-3z.

三、問題的研究

對于（1）式可否分解的判斷及分解至此都解決了，并且所有n元二次型

f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj，都可以用此方法進(jìn)行可否分解的判斷，并對可分解的求其分解式.但是如果（1）式中含有常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)時(shí)，如何判斷其可否分解，可分解時(shí)又如何分解呢？

對于n元二次多項(xiàng)式f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixi+bn+1，其二次部分為g（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj.

如果多項(xiàng)式f可以分解，那么必然可以分解為

f（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn+s）（d1x1+d2x2+…+dnxn+t），

則顯然g（x1，x2，…，xn）也一定可以分解并且可以分解為

g（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn）（d1x1+d2x2+…+dnxn）.

所以多項(xiàng)式f可以分解的必要條件就是其二次部分g（x1，x2，…，xn）可以分解，于是我們可以先解決其二次部分的分解問題.

通過采用對（1）式的方法，可以對g（x1，x2，…，xn）進(jìn)行可否分解的判斷，并對可分解的求其分解式.如果g（x1，x2，…，xn）不可以分解，則f不可以分解；如果g（x1，x2，…，xn）可以分解，通過采用對（1）式的方法即可求出其分解式，并且分解式可表示為：（c1x1+c2x2+…+cnxn）（d1x1+d2x2+…+dnxn），那么只要設(shè)

f（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn+s）（d1x1+d2x2+…+dnxn+t）（2）

將（2）式展開與原來的f比較得到一個(gè)關(guān)于s和t的二元二次方程組，解出s和t就可以得到f的分解式，同時(shí)，如果所得的二元二次方程組無解，那么f就不能分解.

在以上關(guān)于s和t的二元二次方程組的求解中，一般情況，對于二次方程組的求解是比較困難的，但是像這種類型的二次方程組的求解并不困難，因?yàn)樵谶@類二次方程組當(dāng)中包含著二元一次方程組，我們只要解出一次方程組后，將解代入二次部分檢驗(yàn)是否是其解即可.但是在問題的研究過程中，我們將多項(xiàng)式分成了兩種類型來研究，并且對這兩種類型的多項(xiàng)式的研究過程有大部分是一樣的，因此我們會問：能否找到一種統(tǒng)一的方法呢？

其實(shí)，在對于不是二次型的二次多項(xiàng)式的討論過程中，我們只考慮到其二次部分g（x1，x2…，xn），如果從整體上來看，可以將一次部分和常數(shù)部分b1x1+b2x2+…+bnxn+bn+1看成b1x1z+b2x2z+…+bnxnz+bn+1z2，其中z=1，那么f此時(shí)就可以看成一個(gè)“n+1元二次型”，采用對（1）式的方法即可對f進(jìn)行可否分解的判斷，并且對可分解的求其分解式.

四、結(jié) 論

至此，對于所有n元二次多項(xiàng)式f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixi+bn+1

可否分解的判斷及分解方法都解決了，其方法為：

①如果f（x1，x2，…，xn）中沒有一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，那么該多項(xiàng)式本身就是一個(gè)n元二次型f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj；如果f（x1，x2，…，xn）中含有一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，那么將該多項(xiàng)式看成一個(gè)“n+1元二次型”：

f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixiz+bn+1z2，其中z=1.

②對上述二次型的矩陣A做合同變換，通過合同變換后可以得到一個(gè)可逆矩陣C，做非退化線性變換X=CY，使原二次型化為規(guī)范型，通過規(guī)范型判斷出二次型的秩及符號差，從而可以判斷該多項(xiàng)式可否進(jìn)行分解.

③如果可以分解，先求C-1，然后根據(jù)Y=C-1X，將Y表示出來后代入規(guī)范型就可以得到其分解式：如果f的秩等于1，由規(guī)范形f（x1，x2，…，xn）=y21，即可得到分解式；如果f的秩等于2，符號差為0，由規(guī)范型

f（x1，x2，…，xn）=y21-y22=（y1+y2）（y1-y2），將y1+y2及y1-y2表示出來即可得到分解式.

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