隨機利率下的連續(xù)型增額壽險精算研究

信恒占

（河南大學 金融證券研究所，河南 開封 475004）

0 引言

在傳統(tǒng)的精算理論中，假定利率是確定的，實務中的利率是具有隨機性的，從而會引起利率風險。 利率隨機性的研究在近20年來逐步受到重視。人們開始注意到，由利率隨機性產(chǎn)生的風險對壽險公司而言可能是相當大的。根據(jù)傳統(tǒng)的精算原理，由死亡率隨機性產(chǎn)生的風險，利用大數(shù)定律可以通過出售大量的保單來分散，但是由利率隨機性產(chǎn)生的風險，不可能通過增加銷售量來分散，因為即使是很大的保險公司，其每張保單一般采用同一利率，或采用十分接近的利率。因此，利率風險要比死亡率風險對保險公司的影響更大，若保險公司假定未來利率是一固定常數(shù)進行保費測算，很可能會對壽險公司造成巨大損失。所以如何合理、準確地預測利率具有重要意義。壽險中的利率隨機性問題成為近年來保險精算研究的熱點之一。

1 預備知識

1.1 生存模型中的常用符號

（1）(x)表示歲的人；

（2）T(x)表示年齡為歲的人的剩余壽命；

（3）K(x)表示歲的人的整值剩余壽命；

（4）tpx表示歲的人至少活到x+t歲的概率；

（5）tqx表示x歲的人在t年內(nèi)死亡的概率；

（6）μx表示x歲時的死亡力，即活到x歲的人在后一瞬間死亡的概率。

T(x)的概率密度函數(shù)為 fx(t)=tPxμx+t。

1.2 確定利率下的增額壽險

假設利息力 δ≥0為常數(shù)，則折現(xiàn)函數(shù) vt=e-δt，t時刻的給付現(xiàn)值

給付現(xiàn)值是隨機變量，我們將這個隨機變量記為ZT。則

2 模型假設

（1）保險期限為n年，被保險人如在第n年末尚未生存，則保險人不給付保險金；被保險人如在年n內(nèi)不幸死亡，則保險人當即給付相應的保險金，保額為t。

（2）利率的運動過程由兩部分組成：一是“正常”的波動，由一些細小信息的到達使得利率產(chǎn)生一些波動，考慮利率的恒正性，在此用在原點反射的布朗運動來刻畫。

若一個連續(xù)型的過程滿足以下三個條件，我們稱之為Brown運動。

①W(0)=0；

②增量是獨立平穩(wěn)的；

③W(t)服從均值為0，方差σ2t為的正態(tài)分布。

（3）利率的運動過程其二是“非正?！钡牟▌?，由于一些重大信息的到達使得利率產(chǎn)生較大的波動，用Possion過程來刻畫。

Poisson過程是計數(shù)過程的最重要的類型之一。所謂計數(shù)過程，是指一隨機過程{N(t),t≥0},其中N(t)表示到時刻為止已發(fā)生的“事件”的總數(shù)。

若計數(shù)過程{N(t),t≥0}其中含有參數(shù)λ＞0，滿足如下條件：

①N(0)=0；

②過程具有獨立增量；

③在任一長度為T的區(qū)間中事件的個數(shù)服從均值λt為的 Poisson 分布。 即對一切 s,t≥0，有 P{N(t+s)-N(s)=n}=e-λtm=0,1,…），則稱計數(shù)過程為Poisson過程。

從條件（3）可知，Poisson過程有平穩(wěn)增量，且E(N(t))=λt，因此稱λ為此過程的速率或強度，即單位時間內(nèi)發(fā)生事件的平均個數(shù)。

（4）常見的死亡力假設

在建立精算模型時，知道被保險人的死亡分布是十分重要的，而在連續(xù)型壽險精算模型下，死亡力更是影響被保險人剩余生命函數(shù)T(x)的分布函數(shù)、密度函數(shù)的重要因素。下面，我們將介紹一下四種常見的死亡力解析形式。對死亡力有不同的假設，常見的有De Moivre死亡律、Gompertz死亡律、Makeham死亡律、DeWeibull死亡力等。本文將在以上四種死亡力假設下給出增額壽險的精算現(xiàn)值和方差的公式。

①De Moivre形式

該式于1729年由De Moivre建立，在該形式下，隨機變量X的概率分布及密度函數(shù)的形式如下：

從以上的生存函數(shù)、密度函數(shù)可以看出，若死亡力滿足De Moivre形式，隨機變量X在[0，w]上是服從均勻分布的。

②Gompertz形式

其死力函數(shù)為：μx=BCx(x≥0)，其中，B＞0，C＞0。

該式于1825年由Gompertz建立，在該形式下，隨機變量X的概率分布及密度函數(shù)的形式如下：

③Makeham形式

其死力函數(shù)為：μx=A+BCx(x≥0) ，其中，B＞0，C≥1，A≥-B。

該式于1860年由Makeham建立，在該形式下，隨機變量X的概率分布及密度函數(shù)的形式如下：

特別地，當A=0時，Makeham形式可以簡化為Gompertz形式，可以說Gompertz形式是Makeham形式的推廣。

④Weibull形式

其死力函數(shù)為：μx=kxn(x≥0)，其中 k＞0，n＞0。

該式于1939年由Weibull建立，在該形式下，隨機變量X的概率分布及密度函數(shù)的形式如下：

F(x)=1-exp(-k(n+1)xn+1)

表1 四類死亡力解析形式下生存函數(shù)的對照表

f(x)=F'(x)=kxnexp(-k(n+1)xn+1) (x≥0)

生存函數(shù)：s(x)=1-F(x)=exp(-k(n+1)xn+1) (x≥0)

綜上所述，在四種死亡力的解析形式下，密度函數(shù)和生存函數(shù)，以及被保險人(x)的剩余生命隨機變量T的分布和莫度函數(shù)歸納如表1。

3 模型的建立

在此由反射Brown運動與Poisson過程聯(lián)合對利率建模，利息力累積函數(shù)：

R（t）=δt+β|W(t)|+γN(t)

其中，|W(t)|為在原點反射的布朗運動，W(t)為一標準的布朗運動，W(0)=0，N(t)為一 Possion 過程；W(t)與 N(t)相互獨立；δ,γ,β 均為常數(shù)。

t時刻的給付現(xiàn)值為：

（2）二階矩及方差的公式

4 聯(lián)合建模下精算現(xiàn)值和方差的計算

4.1 De Moivre假設下各種增額壽險的精算現(xiàn)值和方差

(1)當保額為逐年增加的增額壽險即b(t)=a+bt時的精算現(xiàn)值和方差的表達式

(2)當保額為按幾何增長的增額壽險即b(t)=tk(k=2,3,…)的精算現(xiàn)值和方差的表達式

(3)當保額為按指數(shù)增長的增額壽險即b(t)=ert(r＞0)時的精算現(xiàn)值和方差的表達式

4.2 Gompertz假設下各種增額壽險的精算現(xiàn)值和方差

(1)當保額為逐年增加的增額壽險即b(t)=a+bt時的精算現(xiàn)值和方差的表達式

(2)當保額為按幾何增長的增額壽險即b(t)=tk(k=2,3,…)的精算現(xiàn)值和方差的表達式

(3)當保額為按指數(shù)增長的增額壽險即b(t)=ert(r＞0)時的精算現(xiàn)值和方差的表達式

4.3 Makeham假設下各種增額壽險的精算現(xiàn)值和方差

(1)當保額為逐年增加的增額壽險即b(t)=a+bt時的精算現(xiàn)值和方差的表達式

(2)當保額為按幾何增長的增額壽險即b(t)=tk(k=2，3，…)的精算現(xiàn)值和方差的表達式

(3)當保額為按指數(shù)增長的增額壽險即b(t)=ert(r＞0)時的精算現(xiàn)值和方差的表達式

4.4 Weibull假設下各種增額壽險的精算現(xiàn)值和方差

(1)當保額為逐年增加的增額壽險即b(t)=a+bt時的精算現(xiàn)值和方差的表達式

(2)當保額為按幾何增長的增額壽險即b(t)=tm(m=1，2，…)的精算現(xiàn)值和方差的表達式

(3)當保額為按指數(shù)增長的增額壽險即b(t)=ert(r＞0)時的精算現(xiàn)值和方差的表達式

5 結(jié)束語

本文對傳統(tǒng)精算學中固定利率進行了改進,考慮到隨機利率的影響,根據(jù)雙隨機性,利用反射布朗運動和泊松分布聯(lián)合建立息力積累模型。利率的運動過程由兩部分組成：一是“正常”的波動，由一些細小信息的到達使得利率產(chǎn)生一些波動，考慮利率的恒正性，在此用在原點反射的布朗運動來刻畫；其二是“非正?！钡牟▌樱捎谝恍┲卮笮畔⒌牡竭_使得利率產(chǎn)生較大的波動，由Possion過程來刻畫。針對連續(xù)型增額壽險，給出各階矩的表達式，很容易算出精算現(xiàn)值及方差值，從而可以確定所述各種增額類型的躉繳保費，具有一定的實際意義。更加符合保險實務的要求,具有更廣泛的使用范圍,相應的結(jié)論也更具有一般性,這對壽險公司風險管理有重要的理論指導意義；隨機利率的引進，可以避免或減小利率風險對保險公司的影響。當β=0,γ=0時，模型變成了常數(shù)利率下的情況；當n→∞時,n年期增額壽險變成終身壽險。

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