質(zhì)量成本與質(zhì)量水平關(guān)系及其模型研究

尚珊珊，尤建新

（同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092）

0 引言

質(zhì)量成本由預(yù)防成本、鑒定成本以及損失成本組成，即PAF模型。質(zhì)量成本花費(fèi)的多少一定程度上可以反映出質(zhì)量水平的高低，因此了解質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的關(guān)系，有利于為決策者提供決策建議，方便決策者做出正確的結(jié)論。質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的關(guān)系主要有以下三種模型如圖1,2,3所示。

圖1 Feigenbaum質(zhì)量模型圖

圖2 Juran質(zhì)量成本模型圖

1 質(zhì)量成本與質(zhì)量水平的理論關(guān)系分析

表1 σ與質(zhì)量改進(jìn)效率

圖3 新最佳質(zhì)量成本模型

質(zhì)量水平，即質(zhì)量一致性，通常用合格率來表示。這里采用6σ管理中的σ水平來衡量。σ水平反映了質(zhì)量改進(jìn)獲得實(shí)際結(jié)果與其目標(biāo)之間的差距或偏離程度。σ越大說明偏離或波動(dòng)程度越大，質(zhì)量改進(jìn)的效果越差，而σ越小，則表明質(zhì)量改進(jìn)的效果越好，因此，質(zhì)量改進(jìn)的效率可用不同的σ水平來描述。分別用缺陷率或合格率作為質(zhì)量改進(jìn)效率的衡量標(biāo)準(zhǔn)，σ水平與其之間的關(guān)系如表1所示，其中DPMPO為每萬次機(jī)會的缺陷數(shù)

從圖2,3可以看出Feigenbaum與Juran的質(zhì)量模型的思想是一致的，只是Feigenbaum更進(jìn)一步細(xì)化了圖形。

1.1 基于指數(shù)函數(shù)模型的最佳質(zhì)量成本水平

用負(fù)指數(shù)函數(shù)表示質(zhì)量損失成本,式(1)所示;用指數(shù)函數(shù)表示質(zhì)量保證成本,式(2)所示。

所以,質(zhì)量成本數(shù)學(xué)模型為：

式中:a1—控制廢次品趨于0時(shí),所發(fā)生的最小次品損失費(fèi)用;

b1—追加成本費(fèi)用的增長率,即指數(shù)函數(shù)的斜參數(shù);

a2—控制合格率趨于100%(廢次品趨于0)時(shí),生的最大成本費(fèi)用;

b2—控制成本費(fèi)用的增長率,即指數(shù)函數(shù)的斜參數(shù);

Q—產(chǎn)品合格率。

從式（4）可以計(jì)算出最佳質(zhì)量水平時(shí)的合格率，然后可以根據(jù)表可以得出最佳σ水平。

1.2 基于田口模型的最佳質(zhì)量成本水平

根據(jù)田口玄一的質(zhì)量成本模型：

質(zhì)量損失函數(shù) L(λ)=a1+b1(λ-1)2

質(zhì)量保證成本函數(shù) C(λ)=a2λb2

所以,質(zhì)量成本數(shù)學(xué)模型為：

式中:λ是質(zhì)量水平即產(chǎn)品的合格率;a1是企業(yè)的全部產(chǎn)品達(dá)到完全合格時(shí)仍造成的損失 (如能源消耗污染等),a1的值可根據(jù)企業(yè)近5年來在治理污染噪音等方面投資的加權(quán)平均值求得;b1=L″(1)/2;a2={A[α/(α+β)]α·[β/(α+β)]β}-1/(α+β);b2=1/(α+β)

1.3 基于K.K.Govil模型的最佳質(zhì)量水平

利用K.K.Govil函數(shù)表達(dá)質(zhì)量成本數(shù)學(xué)模型，式 (5)所示。通過對(5)式的微分、回歸分析,確定具體質(zhì)量成本模型的K,F,G,R值,通過層次分析法(AHP),使質(zhì)量水平和質(zhì)量成本處于理想控制狀態(tài)。

設(shè)K為每件廢品造成的損失,Q為合格率,(1-Q)為不合格率。則每件合格品負(fù)擔(dān)的損失費(fèi)用是C1=K[Q/(1-Q)]R。每件產(chǎn)品的預(yù)防檢驗(yàn)費(fèi)用C2=F[(1-Q)/Q]G,F是C2隨不合格率與合格率的比值而變化的系數(shù)。

式中:K、F、R、G＞0 且為常數(shù)。

最佳質(zhì)量水平:Q=1/[1+(KR/FG)]1/(R-G)

由于近年來隨著質(zhì)量水平的提升，質(zhì)量合格率的增高，質(zhì)量成本預(yù)防成本、鑒定成本、損失成本以及總成本都會隨之變化，總質(zhì)量成本隨著質(zhì)量水平的提高而降低，損失成本隨著質(zhì)量成本的提高而降低。如圖4所示：選擇。首先可以根據(jù)不多的質(zhì)量成本與質(zhì)量水平歷史數(shù)據(jù)，分析它們之間的灰色關(guān)聯(lián)度，從而可以根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度大概判斷質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的關(guān)系。

首先，收集質(zhì)量成本以及質(zhì)量水平歷史數(shù)據(jù)，并根據(jù)歷史數(shù)據(jù)作出他們的曲線圖，從曲線圖中先直觀的查看它們之間的關(guān)系，例如：

質(zhì)量成本的歷史數(shù)據(jù)序列為：C=（1.8，1.5，1.4，1.2，1，0.8），質(zhì)量水平的歷史數(shù)據(jù)序列為：P=（0.8，0.83，0.87，0.9，0.94，0.96）

圖4 不同質(zhì)量水平下的總質(zhì)量成本

圖5 質(zhì)量成本與質(zhì)量水平曲線圖

從圖5中，可以初步判斷質(zhì)量成本與質(zhì)量水平存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，隨著質(zhì)量水平的提高，質(zhì)量成本是逐漸降低的。

然后，我們可以根據(jù)灰色相關(guān)理論根據(jù)歷史數(shù)據(jù)具體計(jì)算出質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的灰色關(guān)聯(lián)度。

定義 1 設(shè) Xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n））為因素 Xi的行為序列，D1為行為序列算子且：

則稱D1為初值化算子，XiD1為Xi在初值化算子D1下的像，簡稱初值像。

定義 2 設(shè) Xi=（xi（1），xi（2），…，xi（n））為因素 Xi的行為序列，D2為行為序列算子且：

2 質(zhì)量成本與質(zhì)量水平的灰色相關(guān)關(guān)系分析

根據(jù)以上討論，可以看出，在理論情況下我們可以采用不同的質(zhì)量成本模型從而計(jì)算出最佳的質(zhì)量水平，但是實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，完全依據(jù)理論上的模型很難計(jì)算出。而且，實(shí)際過程中經(jīng)常沒有非常多的質(zhì)量成本和質(zhì)量水平數(shù)據(jù)用以做一般的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，因此，采用灰色系統(tǒng)進(jìn)行分析是不錯(cuò)的

則稱D2為均值化算子，XiD1為Xi在均值化算子D2下的像，簡稱均值像。

初值化算子D1和均值化算子D2皆可使系統(tǒng)行為序列無量綱化，且在數(shù)量上歸一，在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，可根據(jù)情況選用一種。

定義 3 設(shè) X0=（x0（1），x0(2)，…，x0（n））為系統(tǒng)行為特征序列且：

為相關(guān)因素序列。給定實(shí)數(shù)γ(x0(k),xi(k))，若實(shí)數(shù)：

滿足：

則稱 γ(X0,Xi)為 Xi與 X0的灰色關(guān)聯(lián)度，γ(x0(k),xi(k))為 Xi與X0在k點(diǎn)的關(guān)聯(lián)系數(shù)，并稱條件(1)～(4)為灰色關(guān)聯(lián)四公理。

因此，根據(jù)以上定理可以計(jì)算質(zhì)量成本和質(zhì)量水平間的灰色相關(guān)系數(shù)，其步驟如下：

第一步，收集質(zhì)量成本及質(zhì)量水平歷史數(shù)據(jù)，設(shè)質(zhì)量成本和質(zhì)量水平每組各共n個(gè)歷史數(shù)據(jù)，令質(zhì)量成本、質(zhì)量水平的序列為X0，X1，求這兩個(gè)序列的初值像或均值像Xi’（i=0，1），即：

第二步，求差序列。記：

第三步，求兩級最大差和最小差。記為：

第四步，求質(zhì)量成本和質(zhì)量水平各元素間的關(guān)聯(lián)系數(shù)：

第五步，計(jì)算質(zhì)量成本和質(zhì)量水平整體間的關(guān)聯(lián)度：

3 質(zhì)量成本與質(zhì)量水平的灰色線性回歸組合模型建立

為進(jìn)一步研究質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的關(guān)系，我們可以建立質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間關(guān)系的研究模型，可以看出，質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間不僅存在指數(shù)關(guān)系，而且也存在先行關(guān)系，因此，采用灰色線性回歸模型可以改善原線性回歸模型中沒有指數(shù)增長趨勢和灰色GM（1，1）模型中沒有線性因素的不足，因此該組合模型更適合于既有先行趨勢又有指數(shù)增長趨勢的序列。

以往的質(zhì)量成本與質(zhì)量水平的研究中往往采用的是指數(shù)模型，而忽略掉線性關(guān)系部分，因此，這次我們采用灰色線性回歸模型，從而可以考慮到指數(shù)模型與線性模型兩部分。

設(shè)質(zhì)量成本序列為X(0)

對X(0)進(jìn)行一次累加省內(nèi)成處理，得到生成序列為：

由 GM（1，1）可得到：

其形式可記為：

對于質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的關(guān)系模型，采用線性回歸Y=aX+b及指數(shù)方程Y=a·exp(X)的和來擬合累加生成序列，其中，v，C1，2 為參數(shù)。

現(xiàn)在需要確定v，C1，C2參數(shù)的值。為了確定參數(shù)值，首先設(shè)參數(shù)序列：

利用最小二乘法可求得C1，C2，C3的估計(jì)值。令：

這樣根據(jù)數(shù)據(jù)歷史值可以生成質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的關(guān)系模型為：

從式(14)可以看出，如果C1等于0，則一次累加生成序列為線性回歸模型，如果C2等于0，則累加生成的序列為GM(1，1)模型。該模型使線性回歸模型中不含指數(shù)增長趨勢及GM(1，1)模型中不含線性因素的情形有所改善。

4 結(jié)論

如今越來越多的企業(yè)關(guān)注質(zhì)量成本，而質(zhì)量成本與質(zhì)量水平有著密切的關(guān)系，以往的理論中往往只是對質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的理論研究，而并沒有切實(shí)考慮到實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中所遇到的種種問題，因此本文在考慮實(shí)踐中歷史數(shù)據(jù)經(jīng)常不會足夠多，所以采用了利用灰色系統(tǒng)理論來分析質(zhì)量成本與質(zhì)量水平間的關(guān)系。而且，通常以往文獻(xiàn)中的質(zhì)量成本模型的理論研究中往往只考慮到指數(shù)部分的影響，本文則采用了灰色系統(tǒng)與線性回歸相結(jié)合的組合模型方式來建立質(zhì)量成本與質(zhì)量水平的關(guān)系模型，從而能夠有效改善以往系統(tǒng)中沒有考慮到線性部分，建立更為切實(shí)準(zhǔn)確的模型。

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