角度平均方向-合向量長度θˉ-R控制圖模擬

楊 昆，吳東旭

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 安全科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

在閉域圓中，某些質(zhì)量特性值常以角度形式出現(xiàn)，并且總體服從Von Mises分布，在這種質(zhì)量控制情形下，顯然以開域?yàn)榍疤岬膫鹘y(tǒng)控制圖不能適應(yīng)，方英等[1]將控制圖和方向數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)方面相結(jié)合，將方向數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)用于控制圖，設(shè)計(jì)了計(jì)角值控制圖，從而完善了控制圖體系。較為常用的是基于均勻數(shù)值進(jìn)行的過程控制，如何盡快發(fā)現(xiàn)和判斷生產(chǎn)的異常，成為研究計(jì)角值控制圖性能的一個(gè)重要指標(biāo)。該文充分借鑒了常規(guī)控制圖性能分析的研究思路，并結(jié)合圓上閉域的特點(diǎn)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)控制過程中的重要工具平均鏈長（the average run length）對(duì)角度平均方向－合向量長度控制圖的性能進(jìn)行了蒙特卡洛模擬分析。

1.1 控制圖的建立

假定質(zhì)量特性值服從Von Mises分布M(μ0,k)，R是樣本合向量長度，R控制圖主要用于觀察分布的離散情況或變異程度的變化。

設(shè)P(R≤Rα)，則R的控制界限為

根據(jù)組內(nèi)樣本量n，計(jì)算P(r,n)。給出了n=3,4,5時(shí)的P(r,n)分布的R分位點(diǎn)。

質(zhì)量特性值服從 Von Mises 分布 M(μ0,k)，是樣本平均合向量方向，平均方向控制圖是利用質(zhì)量特性數(shù)據(jù)的平均方向來反映和控制質(zhì)量數(shù)據(jù)集中位置的變化。

根據(jù)抽樣得到的質(zhì)量特性值來計(jì)算控制界限如下

計(jì)算θˉ控制圖的控制界限應(yīng)從R控制圖開始，因?yàn)棣取サ目刂平缦拗邪琑，若R控制圖未判穩(wěn)，則過程的變異度失控，計(jì)算出來的控制界限就沒有多大意義。

表1 α=0.001時(shí)，k偏移0-2.9的ARL

表2 α=0.005時(shí)，k偏移0-2.9的ARL

表3 α=0.01時(shí)，k偏移0-2.9的ARL

同樣對(duì)控制圖的重要指標(biāo)－平均鏈長ARL進(jìn)行模擬。在過程處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)時(shí)，ARL越長，控制圖的效果越好；當(dāng)過程未處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)時(shí)，ARL越短，控制圖的效果越好。本文采用Monte Carlo模擬[4]方法得到平均方向-合向量長度θˉ—R控制圖的平均鏈長ARL。

2.1 控制圖模擬

考察在α=0.001、α=0.005和α=0.01三種不同控制狀態(tài)下，當(dāng)k發(fā)生偏移時(shí)，組內(nèi)樣本量取何值更能有效的使控制圖對(duì)過程發(fā)生異常的情況下作出更加快速的反映。這里取k=3,5,7,9取作為研究對(duì)象，使原始數(shù)據(jù)的k值偏移0-2.9，觀察所對(duì)應(yīng)的平均鏈長ARL的變化。表1～3分別對(duì)應(yīng)當(dāng)α=0.001、α=0.005和 α=0.01時(shí)，k偏移 0-2.9的平均鏈長值A(chǔ)RL；

從表1～3可以得出如下結(jié)論：

（1）在α和k值相同的情況下，隨著k的偏移，無論組內(nèi)樣本量n為何值，ARL都呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)。

（2）在α和k值相同的情況下，隨著k的偏移，隨著組內(nèi)樣本量n的增加，ARL呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)更加明顯，這說明組內(nèi)個(gè)數(shù)的取值對(duì)較快查出控制圖發(fā)生異常是有一定作用的。從表縱向數(shù)據(jù)可以看出組內(nèi)樣本量n=5時(shí)，在未發(fā)生偏移的情況下，ARL5最長，而發(fā)生偏移之后ARL5遞減速度最快。因此，組內(nèi)樣本量取n=5時(shí)能更好的反映合向量長度控制圖的性能。n=3時(shí)的效果最差。n=4時(shí)的效果與n=5時(shí)的效果接近。

（3）隨著α值的增加，虛發(fā)報(bào)警概率在增大，漏發(fā)報(bào)警概率在減小，由ARL的遞減速率可知漏發(fā)報(bào)警概率對(duì)ARL的作用要大于虛發(fā)報(bào)警概率，這對(duì)控制圖檢出異常因素是不利的。

（4）在α值相同的情況下，隨著k的增加，未發(fā)生偏移的ARL在逐漸減小，當(dāng)k=3時(shí)，ARL值最高且最接近1/α。從表中也可以看出這個(gè)規(guī)律。發(fā)生偏移的ARL的斜率也在逐漸減小。

2.2 平均方向控制圖模擬

每次取樣本量為100000，組間樣本量為5，重復(fù)50次，在不同α狀態(tài)下，考察隨均值μ發(fā)生偏移時(shí)的平均方向θˉ控制 圖 的 平 均 鏈 長 ARL值 。 其 中 取 K=3,5,7,9， 在 α=0.001,0.005,0.01情況下，對(duì)均值發(fā)生偏移角度分別為5度、10度、15度、20度、25度、30度、35度、40度、45度、50度。隨均值μ發(fā)生偏移時(shí)的平均方向θˉ控制圖的平均鏈長ARL值見表4所示。

從表4可以得出如下結(jié)論：

（2）在相同的α值下，當(dāng)中心發(fā)生偏移的時(shí)候，k越大，平均方向控制圖的平均鏈長ARLˉ值遞減的速率越快。

θ

θ異常的速度比較快。

3 結(jié)論

本章運(yùn)用蒙特卡羅方法對(duì)計(jì)角值控制圖中占有重要地位的角度平均方向－合向量長度θˉ-R控制圖的重要指標(biāo)平均鏈長ARL進(jìn)行了模擬研究，并模擬了在對(duì)角度平均方向和合向量長度進(jìn)行偏移處理之后對(duì)平均鏈長的影響。在對(duì)θˉ-R控制圖選取樣本點(diǎn)之后，取組內(nèi)樣本量為何值才是合理子組進(jìn)行了模擬比較，分析結(jié)果顯示當(dāng)n=5時(shí)平均方向控制圖的控制效果最好。

[1]方英,李元生.角度平均方向-合向量長度控制圖[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,46(3).

[2]Kanti V.Mardia,Peter E.Jupp.Directional Statistics[M].London：Academic Press Inc，1972.

[3]楊昆.計(jì)角值控制圖的模擬與過程能力分析[D].北京:中國礦業(yè)大學(xué)(北京),2008,1.

[4]徐鐘濟(jì).蒙特卡羅方法[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1985.