資金時(shí)間價(jià)值基礎(chǔ)運(yùn)算解讀

鐘文娟

（河南教育學(xué)院 工商管理學(xué)院，鄭州 450000）

資金時(shí)間價(jià)值基礎(chǔ)運(yùn)算解讀

鐘文娟

（河南教育學(xué)院 工商管理學(xué)院，鄭州 450000）

資金時(shí)間價(jià)值是財(cái)務(wù)管理中的重要概念，是財(cái)務(wù)管理的基礎(chǔ)，直接影響企業(yè)的財(cái)務(wù)管理活動(dòng)，如籌資、營(yíng)運(yùn)等，尤其是長(zhǎng)期投資決策。只有正確掌握資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算，才能準(zhǔn)確處理長(zhǎng)期財(cái)務(wù)管理行為。本文通過對(duì)資金時(shí)間價(jià)值概念的介紹，準(zhǔn)確解讀如何計(jì)算資金時(shí)間價(jià)值。

資金時(shí)間價(jià)值；復(fù)利終值；復(fù)利現(xiàn)值；年金終值；年金現(xiàn)值

1　資金時(shí)間價(jià)值概念

資金時(shí)間價(jià)值是指在不考慮風(fēng)險(xiǎn)和通貨膨脹的情況下，資金經(jīng)過一定時(shí)間的投資和再投資所增加的價(jià)值。貨幣在使用過程中隨時(shí)間推移而發(fā)生的增值現(xiàn)象，稱為貨幣具有時(shí)間價(jià)值的屬性。但資金不會(huì)隨著時(shí)間變化而自動(dòng)發(fā)生增值，只有在投資中循環(huán)才會(huì)有收益，才會(huì)有增值的可能。

資金時(shí)間價(jià)值主要點(diǎn)明這一點(diǎn)，闡述資金在投資中隨著時(shí)間的推移而產(chǎn)生的增值。資金時(shí)間價(jià)值在財(cái)務(wù)管理中的計(jì)算主要包括兩部分，即終值和現(xiàn)值。終值是指將來(lái)值，指的是本金和利息之和，用F表示；現(xiàn)值是指本金、現(xiàn)在的價(jià)值，用P表示。資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算有單利和復(fù)利兩種形式。在企業(yè)貸款業(yè)務(wù)中，銀行利息都是按復(fù)利計(jì)算的，單利計(jì)算比較簡(jiǎn)單。

2　復(fù)利終值和現(xiàn)值的計(jì)算

復(fù)利的計(jì)息方式是指本金能產(chǎn)生利息，利息在下期也轉(zhuǎn)作本金并與原來(lái)的本金一起計(jì)算利息。計(jì)算過程中，用i表示利率，n表示期數(shù)，本金*利率=利息。

2.1復(fù)利終值

復(fù)利終值的計(jì)算實(shí)質(zhì)上是“知道現(xiàn)值求終值”。

第1期時(shí)點(diǎn)上的復(fù)利終值根據(jù)定義可得F1=P+P*i=P（1+i）。

第2期時(shí)點(diǎn)上的復(fù)利終值根據(jù)定義可得F2= P （1+i）+ P （1+i）*（1+i）=P （1+i）2。

以此類推，第n期的復(fù)利終值表示為：Fn=P （1+i）n。

復(fù)利終值計(jì)算公式是F關(guān)于P的函數(shù)。其中，（1+i）n為復(fù)利終值系數(shù)，用符號(hào)（F/P，i，n）表示，可以通過查詢復(fù)利終值系數(shù)表獲得。

2.2復(fù)利現(xiàn)值

復(fù)利現(xiàn)值是未來(lái)某一特定時(shí)間的一筆未收付款項(xiàng)，按折現(xiàn)率計(jì)算的現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)的價(jià)值。相當(dāng)于原始本金，是指若干期后一定量貨幣的現(xiàn)在價(jià)值。

復(fù)利現(xiàn)值的計(jì)算實(shí)質(zhì)上是“知道終值求現(xiàn)值”，是復(fù)利終值的逆運(yùn)算。

根據(jù)1期復(fù)利終值的逆運(yùn)算計(jì)算的復(fù)利現(xiàn)值P1=F（1+i）-1；根據(jù)2期復(fù)利終值的逆運(yùn)算計(jì)算的復(fù)利現(xiàn)值P2=F（1+i）-2；以此類推，期數(shù)為n的復(fù)利現(xiàn)值表示為：Pn=F（1+i）-n。

復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算公式是P關(guān)于F的函數(shù)。其中，（1+i）-n為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，用符號(hào)（P/F，i，n）表示，可以通過查詢復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表獲得。

3　年金終值和現(xiàn)值的計(jì)算

年金是指一定時(shí)期內(nèi)，系列等額收付的款項(xiàng)，通常記作A。理解年金需要掌握年金的兩個(gè)特點(diǎn)，即時(shí)間間隔相同、金額相同。年金有普通年金、即付年金、遞延年金和永續(xù)年金4種表現(xiàn)形式，其中，普通年金計(jì)算是所有年金計(jì)算的基礎(chǔ)，其他年金計(jì)算以普通年金計(jì)算為起點(diǎn)進(jìn)行修正。

3.1普通年金

普通年金又稱后付年金，于每期期末發(fā)生收付款。即資金發(fā)生時(shí)點(diǎn)在期末，如圖1所示。

圖1　普通年金的時(shí)間軸表示

從時(shí)間軸可以看出普通年金的特點(diǎn)，最初時(shí)點(diǎn)沒有年金，在最后的期末有年金。

3.1.1普通年金終值的計(jì)算

普通年金終值是“和”的概念，是每一個(gè)A復(fù)利到最后一期時(shí)點(diǎn)上的和，實(shí)質(zhì)上是n個(gè)復(fù)利終值之和。需要注意的是終值的“終”是終到n點(diǎn)，計(jì)算每期資金在第n期期末即時(shí)間軸中n的位置時(shí)點(diǎn)上的資金價(jià)值總和。

根據(jù)復(fù)利終值的計(jì)算可知，從第n期到第1期，每一個(gè)A的復(fù)利終值為A（1+i）0，A（1+i）1，A（1+i）2，…，A（1+i）n-1。該數(shù)列是公比為（1+i）、期數(shù)為n的等比數(shù)列，年金終值即該數(shù)列之和，根據(jù)等比數(shù)列求和公式Sn=a1（1-qn）/（1-q），年金終值F=［A（1+i）］［1-（1+i）n］/［ 1-（1+i）］，整理得F=A* ［（1+i）n-1］/i。

年金終值計(jì)算公式是F關(guān)于A的函數(shù)，其中，［（1+i）n-1］/i是年金終值系數(shù)，用符號(hào)（F/A，i，n）表示，可以通過查詢年金終值系數(shù)表獲得。償債基金是指為了在約定的未來(lái)某一時(shí)點(diǎn)收付一定數(shù)額的資金而必須分次等額形成的存款準(zhǔn)備金。實(shí)際上是“知道終值求年金”，是普通年金終值計(jì)算的逆運(yùn)算。償債基金系數(shù)與年金終值系數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系，記作（A/F，i，n），可以通過查年金終值系數(shù)表并計(jì)算獲得。

3.1.2普通年金現(xiàn)值的計(jì)算

普通年金現(xiàn)值也是“和”的概念，是指一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付款項(xiàng)的復(fù)利現(xiàn)值之和。即每一個(gè)A的復(fù)利現(xiàn)值之和。需要注意的是現(xiàn)值的“現(xiàn)”是折現(xiàn)到0點(diǎn)，計(jì)算第1期期初即時(shí)間軸中0的位置時(shí)點(diǎn)上的資金價(jià)值。

根據(jù)復(fù)利現(xiàn)值的計(jì)算可知，從第n期到第1期，每一個(gè)A的復(fù)利現(xiàn)值為A（1+i）-n，A（1+i）-（n-1），…，A（1+i）-2，A（1+i）-1。該數(shù)列是公比為（1+i）、期數(shù)為n的等比數(shù)列，年金現(xiàn)值即該數(shù)列之和，同理，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，年金現(xiàn)值P=［A（1+i）-n］［1-（1+i）n］/［ 1-（1+i）］，整理得P=A*［1-（1+i）-n］/i。年金終值計(jì)算公式是P關(guān)于A的函數(shù)，其中，［1-（1+i）-n］/i是年金現(xiàn)值系數(shù)，用符號(hào)（P/A，i，n）表示，可以通過查詢年金現(xiàn)值系數(shù)表獲得。

資本回收額是指初始投入資本在未來(lái)給定年限內(nèi)每年年末的等額回收值。實(shí)際上是“知道現(xiàn)值求年金”，是普通年金現(xiàn)值計(jì)算的逆運(yùn)算。資本回收系數(shù)與年金現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系，記作（A/P，i，n），可以通過查年金現(xiàn)值系數(shù)表并計(jì)算獲得。

3.2即付年金

即付年金又稱預(yù)付年金、先付年金，是指在每期期初收付款。即資金發(fā)生時(shí)點(diǎn)在每期期初，如圖2所示。

圖2　即付年金的時(shí)間軸表示

從時(shí)間軸可以看出即付年金的特點(diǎn)，最初時(shí)點(diǎn)（0點(diǎn)）有年金，在最后的期末（n點(diǎn)）沒有年金。即付年金終值和現(xiàn)值的計(jì)算以普通年金終值和現(xiàn)值計(jì)算為基礎(chǔ)，計(jì)算可以根據(jù)時(shí)間軸的特點(diǎn)湊出普通年金在進(jìn)行時(shí)間價(jià)值換算。

3.2.1即付年金終值的計(jì)算

從時(shí)間軸中來(lái)看，任何年金終值的計(jì)算是“終”到n點(diǎn)?？梢杂脙煞N方法計(jì)算。

（1）分步法

圖3　即付年金終值的分步法計(jì)算

如圖3所示，第一步，先算出在n-1時(shí)間點(diǎn)上的年金終值F＇，在0的時(shí)間點(diǎn)上有年金A，可以看成是第0期期末，則構(gòu)成了從第0期到n-1期，期數(shù)共n期的普通年金，根據(jù)普通年金終值的計(jì)算，F(xiàn)＇=A（F/A，i，n）；第二步，算出最終的終點(diǎn)n時(shí)間點(diǎn)的終值。由F＇到F，是間隔1期的復(fù)利終值計(jì)算。根據(jù)復(fù)利終值計(jì)算公式，則F= F＇（1+i），即：F=A（F/A，i，n）（1+i）。

（2）湊整法

圖4 即付年金終值的湊整法計(jì)算

從圖4的時(shí)間軸來(lái)看，第n期期末沒有年金，為了湊成普通年金，在第n期期末加上年金A，構(gòu)成從第0期到第n期、期數(shù)是n+1期的普通年金。終值要算到n點(diǎn)，這個(gè)A在n點(diǎn)的價(jià)值仍然是A，在整個(gè)年金終值總和中再將A減去，相當(dāng)于沒有增加也沒有減少，即利用n點(diǎn)A的作用加一次減一次還是原來(lái)的總和。根據(jù)普通年金終值系數(shù)的概念，期數(shù)為n+1期的普通年金終值系數(shù)應(yīng)該記為（F/A，i，n+1），則該終值計(jì)算公式為F＇=A（F/A，i，n+1），該終值多了一個(gè)A，將A減去即為即付年金終值。則F=F＇-A，即：

F=A（F/A，i，n+1）-A=A［（F/A，i，n+1）-1］。

3.2.2即付年金現(xiàn)值的計(jì)算

從圖5的時(shí)間軸中來(lái)看，任何年金現(xiàn)值的計(jì)算是“折現(xiàn)”到0點(diǎn)?？梢杂脙煞N方法計(jì)算。（1）分步法

圖5　即付年金現(xiàn)值的分步法計(jì)算

第一步，為了湊出普通年金的形式，可以使時(shí)間軸向前延伸1期至0期期初即-1點(diǎn)的位置，先算出在該時(shí)間點(diǎn)上的年金現(xiàn)值P＇，在-1的時(shí)間點(diǎn)上沒有年金A，可以看成是第0期期初，則構(gòu)成了從第0期到n-1期、期數(shù)為n期的普通年金，根據(jù)普通年金現(xiàn)值的計(jì)算，P＇=A（P/A，i，n）。

第二步，算出最終的折現(xiàn)點(diǎn)0時(shí)間點(diǎn)的現(xiàn)值。由P＇到P，是間隔1期的復(fù)利終值計(jì)算。根據(jù)復(fù)利終值計(jì)算公式，則P= P＇（1+i），即：P=A（P/A，i，n）（1+i）。

（2）湊整法

圖6　即付年金現(xiàn)值的湊整法計(jì)算

如圖6所示，該計(jì)算方法宗旨是先不管第1期期初的年金A，則圖6時(shí)間軸中帶下劃線的年金A構(gòu)成了從第1期到n-1期、期數(shù)為n-1期的普通年金。根據(jù)普通年金現(xiàn)值系數(shù)的概念，期數(shù)為n-1期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)應(yīng)記為（P/A，i，n-1），則該現(xiàn)值計(jì)算公式為P＇=A（P/A，i，n-1），該現(xiàn)值較之最終要計(jì)算的n期的即付年金現(xiàn)值少了0時(shí)間點(diǎn)上的年金A，將A加上即為即付年金現(xiàn)值。則P=P＇+A，即：P=A（P/A，i，n-1）+A =A〔（P/A，i，n-1）+1〕。

3.3遞延年金

遞延年金是指間隔若干期（m）以后于每期期末發(fā)生的系列等額收付款項(xiàng)。正確理解遞延年金的相關(guān)計(jì)算必須準(zhǔn)確找出間隔期m，假設(shè)等額收付款項(xiàng)期數(shù)為n。在遞延年金計(jì)算終值和現(xiàn)值過程中，也要在時(shí)間軸中湊出普通年金的形式便于計(jì)算，如圖7所示。

圖7　遞延年金

從圖7的時(shí)間軸中可以看出遞延年金的特點(diǎn)，前m期每期期末沒有年金A的發(fā)生，從m期以后的n期中每期期末都發(fā)生年金收付。

3.2.1遞延年金終值的計(jì)算

遞延年金終值與遞延期數(shù)無(wú)關(guān)，其計(jì)算與間隔期和收付期有關(guān)，計(jì)算方法與普通年金終值相同。若收付期為n期，則遞延年金計(jì)算公式為：F=A（F/A，i，n）。

3.2.2遞延年金現(xiàn)值的計(jì)算

遞延年金現(xiàn)值折現(xiàn)點(diǎn)是到0點(diǎn)，可以用兩種方法計(jì)算。

（1）分步法

圖8　遞延年金現(xiàn)值的分步法計(jì)算

該方法計(jì)算原則是先找出普通年金形式，再進(jìn)行復(fù)利折現(xiàn)。

如圖8所示，第一步，算出圖中所有年金在m點(diǎn)的現(xiàn)值和P＇。在圖8的時(shí)間軸中找出正確的遞延期，從時(shí)間軸可以看出，有年金A發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)是從第m+1期到m+n期每期的期末，則構(gòu)成了從第m+1期到m+n期、期數(shù)為n期的普通年金，根據(jù)普通年金現(xiàn)值的計(jì)算，P＇=A（P/A，i，n）；第二步，算出最終的折現(xiàn)點(diǎn)0時(shí)間點(diǎn)的現(xiàn)值P。由P＇到P，是間隔m期的復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算。根據(jù)復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算公式，則P= P＇（P/F，i， m），則遞延年金現(xiàn)值計(jì)算公式為：P=A（P/A，i，n）（P/F，i，m）。

（2）湊整法

圖9　遞延年金現(xiàn)值的湊整法計(jì)算

如圖9所示，從時(shí)間軸前m期每期期末都假設(shè)存在A，構(gòu)成從第1期到m+n期、期數(shù)為m+n期的普通年金。根據(jù)普通年金現(xiàn)值系數(shù)的概念，期數(shù)為m+n期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)應(yīng)記為（P/A，i，m+n），則該現(xiàn)值計(jì)算公式為P＇=A（P/A，i，m+n），該現(xiàn)值較之最終要計(jì)算的遞延年金現(xiàn)值多了前m期每期期末年金現(xiàn)值之和。從時(shí)間軸可以看出，m期（A）構(gòu)成了從第1期到m期、期數(shù)為m的普通年金，其現(xiàn)值計(jì)算為A（P/A，i，m），應(yīng)在P＇扣除。則遞延年金現(xiàn)值計(jì)算公式如下：P=A（P/A，i，m+ n ）-A（P/A，i，m）。

3.4永續(xù)年金

永續(xù)年金是指無(wú)限期于每期期末收付的年金。永續(xù)年金每期年金A是無(wú)窮的，沒有盡頭。永續(xù)年金沒有終止的時(shí)間，所以沒有終值。只需要掌握永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算。

永續(xù)年金現(xiàn)值可從普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式中推導(dǎo)出來(lái)。

已知普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式為P=A* ［1-（1+i）-n］/i，永續(xù)年金現(xiàn)值即對(duì)該公式n為無(wú)窮大求極限，整理得計(jì)算公式為：P=A/i。

10.3969/j.issn.1673 - 0194.2015.14.037

F230

A

1673-0194（2015）14-0047-02

2015-05-22