資金時間價值中的系數(shù)關(guān)系探析

（鄭州大學西亞斯國際學院河南鄭州451150）

資金時間價值是財務管理的重點和難點之一，由于涉及的知識點較多，不易把握知識點之間的邏輯性、連貫性和系統(tǒng)性。在資金時間價值的計算中，資金的終值、現(xiàn)值和各類年金相互之間的計算依賴于各類系數(shù)。因此，用簡單易懂的公式來分析和推導資金時間價值中各類系數(shù)的涵義及其關(guān)系，不僅有利于把握各類系數(shù)之間的邏輯性、連貫性和系統(tǒng)性，也有利于對各類系數(shù)的理解、掌握和運用。

資金時間價值是指資金在沒有風險和沒有通貨膨脹的條件下，經(jīng)過一定時期的投資和再投資所增加的價值。從本質(zhì)上看，不是所有的資金都有時間價值，資金最終要依靠投入經(jīng)營過程才能帶來價值的增值。但是，資金經(jīng)過投資和再投資所增加的價值并不全是資金時間價值，在投資過程中，由于投資者承擔風險而要求獲得風險報酬，由于投資者要彌補通貨膨脹所引起的貨幣購買力下降而要求獲得通貨膨脹補償。因此可以看出，資金時間價值是考慮資金由于時間因素經(jīng)過投資和再投資所帶來的價值增值，而不考慮資金由于風險和通貨膨脹因素經(jīng)過投資和再投資所帶來的價值增值。而資金時間價值率是沒有風險和沒有通貨膨脹條件下的社會平均資金利潤率，通常用無通貨膨脹條件下的國庫券利息率來表示。

一、資金時間價值中系數(shù)的涵義

由于資金是有時間價值的，等額的資金在不同時點上的價值是不等額的，因此一定要區(qū)分資金所對應的時點。由于復利體現(xiàn)了資金的投資和再投資，符合資金時間價值的內(nèi)涵，因此在資金時間價值的計算中，通常采用復利計算。

（一）復利終值系數(shù)與復利現(xiàn)值系數(shù)的涵義。終值（future value）是指當前的資金在若干期后所具有的價值；現(xiàn)值（present value）是指未來年份的資金在當前的價值。復利終值系數(shù)是由資金的現(xiàn)值計算出其終值所需乘的數(shù)，復利現(xiàn)值系數(shù)是由資金的終值計算出其現(xiàn)值所需乘的數(shù)。令F表示終值，P表示現(xiàn)值，i表示利息率，n表示期數(shù)，則資金的終值與其現(xiàn)值的關(guān)系是：F=P（1+i）n，資金的現(xiàn)值與其終值的關(guān)系是：P=F/（1+i）n。復利終值系數(shù)可用（F/P，i，n）表示，復利現(xiàn)值系數(shù)可用（P/F，i，n）表示，則有公式 1-1 和 1-2。

（二）普通年金終值系數(shù)與普通年金現(xiàn)值系數(shù)的涵義。普通年金（ordinary annuity）是指在一定時期內(nèi)每期期末等額的系列收付款項。普通年金的終值是指普通年金在若干期后所具有的價值，普通年金終值系數(shù)是由普通年金計算出其終值所需乘的數(shù)；普通年金的現(xiàn)值是指普通年金在當前的價值，普通年金現(xiàn)值系數(shù)是由普通年金計算出其現(xiàn)值所需乘的數(shù)。令F和P分別表示普通年金的終值和現(xiàn)值，A表示普通年金，i表示利息率，n表示期數(shù)，普通年金與其終值的關(guān)系是：F=A[1+（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n-1]，普通年金與其現(xiàn)值的關(guān)系是：P=A[1/（1+i）1+1/（1+i）2+…+1/（1+i）n]，普通年金終值系數(shù)可用（F/A，i，n）表示，普通年金現(xiàn)值系數(shù)可用（P/A，i，n）表示，則有公式 2-1 和 2-2。

（三）先付年金終值系數(shù)與先付年金現(xiàn)值系數(shù)的涵義。先付年金（annuity due）是指在一定時期內(nèi)每期期初等額的系列收付款項。先付年金的終值是指先付年金在若干期后所具有的價值，先付年金終值系數(shù)是由先付年金計算出其終值所需乘的數(shù)；先付年金的現(xiàn)值是指先付年金在當前的價值，先付年金現(xiàn)值系數(shù)是由先付年金計算出其現(xiàn)值所需乘的數(shù)。令F和P分別表示先付年金的終值和現(xiàn)值，AD表示先付年金，i表示利息率，n表示期數(shù)，先付年金與其終值的關(guān)系是：F=AD[（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n]，先付年金與其現(xiàn)值的關(guān)系是：P=AD[1+1/（1+i）1+1/（1+i）2+…+1/（1+i）n-1]，先付年金終值系數(shù)可用（F/AD，i，n）表示，先付年金現(xiàn)值系數(shù)可用（P/AD，i，n）表示，則有公式 3-1 和 3-2。

（四）延期年金終值系數(shù)與延期年金現(xiàn)值系數(shù)的涵義。延期年金（deferred annuity）是指在一定時期內(nèi)，最初若干期沒有收付款項的情況下，后面若干期等額的系列收付款項，一般把延期年金看成是普通年金的特殊形式。延期年金的終值是指延期年金在若干期后所具有的價值，延期年金終值系數(shù)是由延期年金計算出其終值所需乘的數(shù)；延期年金的現(xiàn)值是指延期年金在當前的價值，延期年金現(xiàn)值系數(shù)是由延期年金計算出其現(xiàn)值所需乘的數(shù)。令F和P分別表示延期年金的終值和現(xiàn)值，DA表示延期年金，i表示利息率，m表示沒有收付款項的期數(shù)，n表示有收付款項的期數(shù)。延期年金與其終值的關(guān)系是：F=DA[1+（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n-1]， 延期年金與其現(xiàn)值的關(guān)系是：P=DA[1/（1+i）m+1+1/（1+i）m+2+…+1/（1+i）m+n]，延期年金終值系數(shù)可用（F/DA，i，n）表示，延期年金現(xiàn)值系數(shù)可用（P/DA，i，n）表示。則有公式4-1和 4-2。

二、資金時間價值中系數(shù)之間的關(guān)系

（一）不同系數(shù)之間的關(guān)系。

1.同類終值系數(shù)和現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。

（1）復利終值系數(shù)和復利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1和1-2可得：當i、n相同時，復利終值系數(shù)和復利現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù)，（F/P，i，n）（P/F，i，n）=1。

（2）普通年金終值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-1和2-2可得：當i、n相同時，普通年金終值系數(shù)等于普通年金現(xiàn)值系數(shù)乘以n期的復利終值系數(shù)，（F/A，i，n）=（P/A，i，n）（1+i）n=（P/A，i，n）（F/P，i，n）。

（3）先付年金終值系數(shù)和先付年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式3-1和3-2可得：當i、n相同時，先付年金終值系數(shù)等于先付年金現(xiàn)值系數(shù)乘以n期的復利終值系數(shù)，（F/AD，i，n）=（P/AD，i，n）（1+i）n=（P/AD，i，n）（F/P，i，n）。

（4）延期年金終值系數(shù)和延期年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式4-1和4-2可得：當i、m、n相同時，延期年金終值系數(shù)等于延期年金現(xiàn)值系數(shù)乘以m+n期的復利終值系數(shù)，（F/DA，i，n）=（P/DA，i，n）（1+i）m+n=（P/DA，i，n）（F/P，i，m+n）。

2.不同的終值系數(shù)之間的關(guān)系。

（1）普通年金終值系數(shù)與復利終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1和2-1可得：當i相同時，普通年金終值系數(shù)等于從 1 期到 n-1 期的復利終值系數(shù)之和加 1，（F/A，i，n）=1+（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n-1）。

（2）先付年金終值系數(shù)與復利終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1和3-1可得：當i相同時，先付年金終值系數(shù)等于從 1 期到 n 期的復利終值系數(shù)之和，（F/AD，i，n）=（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n）。

（3）延期年金終值系數(shù)與復利終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1和4-1可得：當i相同時，延期年金終值系數(shù)等于從 1 期到 n-1 期的復利終值系數(shù)之和加 1，（F/DA，i，n）=1+（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n-1）。

（4）先付年金終值系數(shù)與普通年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-1和3-1可得：當i、n相同時，先付年金終值系數(shù)等于普通年金終值系數(shù)乘以（1+i），（F/AD，i，n）=（F/A，i，n）（1+i）。 此外，先付年金終值系數(shù)還等于 n+1 期的普通年金終值系數(shù)減 1，（F/AD，i，n）=（F/A，i，n+1）-1。

（5）延期年金終值系數(shù)與普通年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-1和4-1可得：當i、n相同時，延期年金終值系數(shù)等于 n 期的普通年金終值系數(shù)，（F/DA，i，n）=（F/A，i，n）。

3.不同的現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。

（1）普通年金現(xiàn)值系數(shù)與復利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-2和2-2可得：當i相同時，普通年金現(xiàn)值系數(shù)等于從 1 期到 n 期的復利現(xiàn)值系數(shù)之和，（P/A，i，n）=（P/F，i，1）+（P/F，i，2）+…+（P/F，i，n）。

（2）先付年金現(xiàn)值系數(shù)與復利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-2和3-2可得：當i相同時，先付年金現(xiàn)值系數(shù)等于從 1 期到 n-1 期的復利現(xiàn)值系數(shù)之和加 1，（P/AD，i，n）=1+（P/F，i，1）+（P/F，i，2）+…+（P/F，i，n-1）。

（3）延期年金現(xiàn)值系數(shù)與復利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-2和4-2可得：當i相同時，延期年金現(xiàn)值系數(shù)等于從 m+1 期到 m+n 期的復利現(xiàn)值系數(shù)之和，（P/DA，i，n）=（P/F，i，m+1）+（P/F，i，m+2）+…+（P/F，i，m+n）。

（4）先付年金現(xiàn)值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-2和3-2可得：當i、n相同時，先付年金現(xiàn)值系數(shù)等于普通年金現(xiàn)值系數(shù)乘以（1+i），（P/AD，i，n）=（P/A，i，n）（1+i）。 此外，先付年金現(xiàn)值系數(shù)還等于 n-1 期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)加 1，（P/AD，i，n）=（P/A，i，n-1）+1。

（5）延期年金現(xiàn)值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-2和4-2可得：當i、n相同時，延期年金現(xiàn)值系數(shù)等于m+n期與m期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)之差，（P/DA，i，n）=（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）。 此外，延期年金現(xiàn)值系數(shù)也等于n期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)乘以m期的復利現(xiàn)值系數(shù)，（P/DA，i，n）=（P/A，i，n）/（1+i）m=（P/A，i，n）（P/F，i，m）。

（二）不同時期的同一系數(shù)之間的關(guān)系。

1.不同時期的復利終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-1可得：當i相同時，n期的復利終值系數(shù)等于n-1期的復利終值系數(shù)乘以（1+i），（F/P，i，n）=（F/P，i，n-1）（1+i）。

2.不同時期的復利現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式1-2可得：當i相同時，n期的復利現(xiàn)值系數(shù)等于n-1期的復利現(xiàn)值系數(shù)除以（1+i），（P/F，i，n）=（P/F，i，n-1）/（1+i）。

3.不同時期的普通年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-1可得：當i相同時，n期的普通年金終值系數(shù)等于n-1期的普通年金終值系數(shù)加上n-1期的復利終值系數(shù)，（F/A，i，n）=（F/A，i，n-1）+（1+i）n-1=（F/A，i，n-1）+（F/P，i，n-1）。

4.不同時期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式2-2可得：當i相同時，n期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)等于n-1期的普通年金現(xiàn)值系數(shù)加上n期的復利現(xiàn)值系數(shù)，（P/A，i，n）=（P/A，i，n-1）+1/（1+i）n=（P/A，i，n-1）+（P/F，i，n）。

5.不同時期的先付年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式3-1可得：當i相同時，n期的先付年金終值系數(shù)等于n-1期的先付年金終值系數(shù)加上n期的復利終值系數(shù)，（F/AD，i，n）=（F/AD，i，n-1）+（1+i）n=（F/AD，i，n-1）+（F/P，i，n）。

6.不同時期的先付年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式3-2可得：當i相同時，n期的先付年金現(xiàn)值系數(shù)等于n-1期的先付年金現(xiàn)值系數(shù)加上n-1期的復利現(xiàn)值系數(shù)，（P/AD，i，n）=（P/AD，i，n-1）+1/（1+i）n-1=（P/AD，i，n-1）+（P/F，i，n-1）。

7.不同時期的延期年金終值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式4-1可得：當i、m相同時，n期的延期年金終值系數(shù)等于n-1期的延期年金終值系數(shù)加上n-1期的復利終值系數(shù)，（F/DA，i，n）=（F/DA，i，n-1）+（1+i）n-1=（F/DA，i，n-1）+（F/P，i，n-1）。

8.不同時期的延期年金現(xiàn)值系數(shù)之間的關(guān)系。由公式4-2可得：當i、m相同時，n期的延期年金現(xiàn)值系數(shù)等于n-1期的延期年金現(xiàn)值系數(shù)加上m+n期的復利現(xiàn)值系數(shù)，（P/DA，i，n）=（P/DA，i，n-1）+1/（1+i）m+n=（P/DA，i，n-1）+（P/F，i，m+n）。