“銳角三角函數(shù)”教學設(shè)計

（湖南省湘潭江聲實驗學校）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》九年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十八章“銳角三角函數(shù)”第一節(jié)第1課時.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容是在學生學習了直角三角形中角與角、邊與邊之間的關(guān)系，以及函數(shù)、相似圖形等有關(guān)知識基礎(chǔ)上展開的，是對直角三角形中邊、角關(guān)系的進一步探究，也為后面學習解直角三角形、高中的三角函數(shù)等知識奠定基礎(chǔ).因此，確定本節(jié)課的教學重點為探索并認識銳角的正弦.

二、目標和目標解析

1.目標

（1）會利用相似直角三角形探索并認識正弦的定義.

（2）會根據(jù)已知直角三角形的邊長求一個銳角的正弦值.

2.目標解析

從銳角正弦概念的建立到運用，經(jīng)歷從特殊到一般的認識過程.培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，提升學生直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

三、教學問題診斷分析

九年級學生接受能力較強，具備了一定的數(shù)學探究能力和應(yīng)用數(shù)學的意識，但要得出在直角三角形中銳角與邊的比值之間的對應(yīng)關(guān)系還有一定困難.所以筆者將“探索并理解銳角的正弦”作為本節(jié)課的教學難點.

四、教學支持條件分析

為了讓課堂引入有文化背景，借助視頻幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.同時，為了使學生理解“在直角三角形中，當銳角α一定時，∠α的對邊與斜邊之比為一個固定值”這一結(jié)論，借助幾何畫板軟件來幫助學生直觀地理解.遵循“以學生為主體，教師為主導(dǎo)，數(shù)學活動為主線”的指導(dǎo)思想，本節(jié)課主要采用啟發(fā)式教學和自主探究式的教學方法.通過學生的自主活動、主動探索、合作交流、動手操作等活動來構(gòu)建正弦的概念，從而達到認識正弦的目的.

五、教學過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

課件展示意大利比薩斜塔的圖片，并通過一個小視頻來了解它的歷史.1350年斜塔建成時，塔身AB長54.5 m，塔身中心線AB與垂直中心線AC的夾角，即傾斜角為2.2°，塔頂中心點B到垂直中心線AC之間的距離為2.1 m.幾百年后，傾斜角增至5.5°.經(jīng)過多年的修繕，到2001年，傾斜角減至5°（如圖1）.

圖1

問題1：此時，你能求出塔頂中心點到垂直中心線的距離嗎？

問題2：這個問題可以歸結(jié)為：在直角三角形中，已知什么？求什么？你能運用已有的知識求出BC的長度嗎？當∠A換成多少度時，你能求出BC的長？

【設(shè)計意圖】從章導(dǎo)圖開始入手引出課題，并通過實際生活中的具體事例，抽象出數(shù)學問題，體現(xiàn)數(shù)學建模思想，激發(fā)學生的求知欲.引導(dǎo)學生用從特殊到一般的方法去探索，從而培養(yǎng)學生提出問題和分析問題的能力.

2.合作交流，探究新知

說一說：

問題1：如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求BC的長.

圖2

問題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，當∠A仍然為30°，Rt△ABC的大小發(fā)生變化時，∠A的對邊與斜邊的比值是多少？說明了什么？

【設(shè)計意圖】通過運用已學基礎(chǔ)知識建立新的數(shù)學模型（在直角三角形中，銳角A的對邊與斜邊的比為定值），并培養(yǎng)學生會說的能力.

做一做：分組完成以下學案中的活動部分，將計算結(jié)果填寫在表1中，并進行小組展示.

如圖3，點M在射線OA上，過點M作MN⊥OB，垂足為點N.

（1）若∠AOB=45°，在Rt△MON中，計算∠MON的對邊與斜邊的比；

（2）若∠AOB=60°，在Rt△MON中，計算∠MON的對邊與斜邊的比.

圖3

表1

問題：大家所畫的三角形大小一樣嗎？說明什么？

【設(shè)計意圖】在作圖的實際操作中，運用已學的基礎(chǔ)知識進行計算，并總結(jié)活動經(jīng)驗，從而引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)當∠O分別為45°和60°時，直角三角形中銳角O的對邊與斜邊的比為固定值.

猜一猜：根據(jù)以上活動的結(jié)果，你能做出怎樣的猜想？

【設(shè)計意圖】通過觀察表格中的數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，引導(dǎo)學生從特殊到一般地進行猜想，得出“在直角三角形中，當∠O為任意一個確定的銳角時，它的對邊與斜邊的比為一個固定值”的猜想.

證一證：

（1）運用幾何畫板軟件進行驗證.

（2）如圖4，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′.求證：

【設(shè)計意圖】借助幾何畫板軟件的演示，幫助學生直觀地驗證猜想，提升學生直觀想象的素養(yǎng).強調(diào)其實質(zhì)就是對應(yīng)邊的比值為固定值.

3.概括屬性，明晰定義

定義：如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即

圖5

判斷：（1）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°.判斷下列式子是否正確.

圖6

圖7

（2）如圖7，在△ABC中，

試添加一個條件使第（2）題成立.

【設(shè)計意圖】通過一組辨析題，分析定義中關(guān)鍵詞的含義，加深學生對正弦概念的理解.

問題1：觀察表2，當∠A為30°，45°，60°時，sinA都有唯一的值與之對應(yīng).那么當∠A是任意一個確定的銳角時，這個結(jié)論是否仍然成立呢？

表2

運用幾何畫板軟件進行驗證.

問題2：sinA是否隨角度的變化而變化？

問題3：以上問題中自變量和因變量分別是什么？它們的取值范圍又分別是什么？

【設(shè)計意圖】通過使用列表法，并借助幾何畫板軟件使學生聯(lián)想到函數(shù)關(guān)系，從而提升數(shù)學建模的核心素養(yǎng)，確定自變量、因變量的取值范圍，以及變化趨勢，加深對正弦定義的深刻理解.

4.典例精析，變式訓(xùn)練

例如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.

圖8

【設(shè)計意圖】利用數(shù)形結(jié)合思想，讓學生運用正弦的定義解決問題，并規(guī)范書寫格式.

變式：如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，求BC的長度.

圖9

【設(shè)計意圖】讓學生真正的掌握正弦定義，能從多角度思考問題，培養(yǎng)學生分析問題及對基礎(chǔ)知識的運用能力，并對后面學生的編題訓(xùn)練做了較好的輔墊.

問題：從前面兩道題的解題思路上你有什么發(fā)現(xiàn)？你能否改變條件或結(jié)論，運用直角邊、斜邊和正弦定義來編題嗎？期待大家的精彩呈現(xiàn).

編題環(huán)節(jié)：（1）學生先獨立編題，并完成解題；（2）小組內(nèi)部交流，選出本組內(nèi)大家認為最有思維含量的題目；（3）小組展示，即每組派代表將題目板書在黑板上，充分激發(fā)學生的創(chuàng)新熱情；（4）小組評價，即其余小組對其進行評價；（5）大家任選一道題進行訓(xùn)練.

【設(shè)計意圖】通過編題環(huán)節(jié)，將條件和結(jié)論互換，讓學生鞏固正弦概念.此環(huán)節(jié)采取啟發(fā)式教學，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)了學生思維創(chuàng)新的能力.

5.基礎(chǔ)訓(xùn)練，鞏固新知

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊的長度都擴大兩倍，那么∠A的正弦值（ ）.

（A）擴大兩倍 （B）縮小到一半

（C）沒有變化 （D）不能確定

（2）如圖10，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.

圖10

圖11

（3）如圖11，在平面直角坐標系內(nèi)有一點連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值為_________.

（4）意大利從1999年起對比薩斜塔進行維修糾偏，2001年竣工，此時塔頂中心線偏離垂直中心線的角度減小為5°（如圖12），此時塔頂中心點偏離垂直中心線的距離為______（sin5≈0.09）.

圖12

【設(shè)計意圖】第（1）（2）題鞏固正弦定義；第（3）題構(gòu)造直角三角形解決問題，理解當角度確定時，其正弦值為固定值；第（4）題與引入情境前后呼應(yīng)，解決實際問題.

6.課堂小結(jié)，畫龍點睛

本節(jié)課你學到了哪些知識點？思想方法上又有什么收獲？

【設(shè)計意圖】學生通過自我歸納，總結(jié)經(jīng)驗，理清知識脈絡(luò)，形成知識體系.

7.拓展延伸，發(fā)散思維

如圖13，在△ABC中，已知∠A=45°，AB=4，求sinA和sinB的值.

圖13

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生構(gòu)造直角三角形，以及綜合運用所學知識求正弦值，讓學生有突破的意識，經(jīng)歷困惑、思考、解決問題的過程，從而把這種迎難而上的精神應(yīng)用到今后的學習和生活中去.

8.作業(yè)布置，課外鏈接

課外鏈接：觀看微視頻“正弦的由來”.

必做題：教材第64頁第1，2題.

選做題：教材第85頁第14題.

【設(shè)計意圖】通過微視頻“正弦的由來”介紹數(shù)學文化，使學生了解正弦在人類文明發(fā)展中的作用.分層布置作業(yè)，其中，必做題為基礎(chǔ)內(nèi)容，大部分學生能獨立完成；選做題與高中知識相聯(lián)系，引領(lǐng)學生進一步自主學習和探究.

六、教學反思

本節(jié)課是一節(jié)概念教學課，教學設(shè)計遵循“以學生為主體，以教師為主導(dǎo)”的指導(dǎo)思想，讓學生經(jīng)歷“探究—交流—猜想—驗證—證明—運用”的探索過程，從而引領(lǐng)學生去感受知識發(fā)生、發(fā)展過程的合理性，領(lǐng)悟?qū)W習數(shù)學的思維方式.本節(jié)課的設(shè)計符合學生的認知規(guī)律，收效較好.

本節(jié)課在設(shè)計過程中還存在以下不足：（1）導(dǎo)入部分的挖掘還沒有到位，沒有達到育人的高度.（2）在“拓展延伸，發(fā)散思維”環(huán)節(jié)，一是沒有引導(dǎo)學生思考為什么要這樣去構(gòu)造輔助線；二是沒有將題目的設(shè)計回歸到圓上去，沒有與高中的知識直接聯(lián)系起來.筆者在今后的教育教學過程中會努力改正上述問題.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.