鑿巖機(jī)-巖石模型的延拓分析和實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：TH113.1；O322；TU631 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202403044

Continuation analysis and experiment in a drifter-rock model

MA Wei12， ZHANG Jian3， JIANG Xin4，WU Wenzhang2 （1.SchoolofResourcesand SafetyEngineering，UniversityofScienceand TechnologyBeijing，Beijing1o83，China; 2.Nanjing Baodi Meishan Industrial City Development Co.，Ltd.Mining Branch，Nanjing 2lO041，China; 3.School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 1Ooo83，China; 4.XCMG Construction Machinery Co.，Ltd.，Xuzhou 221004，China）

Abstract：Theprincipleofthehydraulicdrifterisntroduced，andtheproessofdrilingintorocksbythedrfterisestablsedasa physicalmodelofrock withthree-degreeoffreedomdryfriction.Theconcptofrateofpenetration（ROP）isintroduced.Thestick and non-stickmodesarestudied，explainingthediferencesbetweenthesetotypesofmotion.Theperiodictrajectoriesofthenon linearpiecewisesmoothdynamicalsystemmathematicalmodelaresegmented.Byusingthepseudoarclengthcontinuationmethod andFloquettheory，theangularfrequencyandamplitudeofthehydraulicforcearetakenascontrolparameterstoobtainstableperiodictrajectoriesandthepointofmaximumROP.Bifurcationssuchasperiod-doublingbifurcation，saddle-node bifurcation，andto rusbifurcationarediscovered.Thedataacquisitionsystemfordrillngrockswithahydraulicdrifterisintroduced，andthedisplace mentand velocityofthepistonobtainedfromthemodelandexperimentsarecompared.Theresultsindicatethatomakethedrfter work on the period-1 trajectory，the range of angular frequency should be ωlt;6.814 ，and the range of amplitude should be 0.03 lt; （20 alt;3.051 .There is astrongcorelationbetweentheexperiments and the model，and compared withtheexperiment，thepiston in the model undergoes deceleration before colliding withthedrilltool，，addingan impact deceleration stroke.

Keywords：hydraulicdrifter;rockmodel;continuation;Floquetmultipliei

液壓鑿巖機(jī)是鉆機(jī)的關(guān)鍵部件，學(xué)者們已進(jìn)行了多項(xiàng)研究以分析和改進(jìn)其性能。CAVANOUGH等[1引入了一個(gè)用于硬巖沖擊鉆進(jìn)的自優(yōu)化控制系統(tǒng)，此系統(tǒng)可以實(shí)時(shí)最大化鉆進(jìn)速率，最小化孔偏角，并測(cè)量巖石特性而不受鉆進(jìn)條件的影響。OH等[2-3]評(píng)估了鑿巖機(jī)的液壓回路，并開(kāi)發(fā)了分析工具來(lái)評(píng)估其沖擊能力。從鉆進(jìn)速率和動(dòng)能的角度研究

了鑿巖機(jī)的性能，這些性能都受到巖石剛度的影響。還分析了影響沖擊性能的設(shè)計(jì)參數(shù)，并得出了改進(jìn)性能的設(shè)計(jì)數(shù)值。HU等4研究了液壓沖擊機(jī)構(gòu)的性能及其對(duì)鑿巖機(jī)整體性能的影響。SONG等[5-7]開(kāi)發(fā)了一種鉆頭模型，運(yùn)用Taguchi法分析和優(yōu)化了影響鑿巖機(jī)沖擊性能的設(shè)計(jì)參數(shù)，對(duì)比傳統(tǒng)模型在鉆進(jìn)性能上有顯著改進(jìn)。SEO等8解釋了鑿巖機(jī)的工作原埋，驗(yàn)證了模型的可靠性，開(kāi)研究了影響沖擊頻率和沖擊性能的主要因素。GUO等9提出了高頻液壓鑿巖機(jī)帶套分配器的沖擊系統(tǒng)液壓機(jī)械耦合模型，使用鍵合圖開(kāi)發(fā)了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并模擬分析了系統(tǒng)的性能。YANG等[10]研究了鑿巖機(jī)活塞腔的壓力變化特性曲線，并探討了流量、充壓壓力和溢流閥設(shè)置對(duì)沖擊性能和效率的影響。耿曉光等[1-12]建立了液壓鑿巖機(jī)雙緩沖系統(tǒng)耦合模型分析汽蝕現(xiàn)象的機(jī)制，確定了關(guān)鍵影響因素，并提出了減輕汽蝕現(xiàn)象的解決方案。YANG等[13-14]針對(duì)液壓鑿巖機(jī)沖擊過(guò)程中活塞振動(dòng)失穩(wěn)問(wèn)題，建立了非線性碰撞動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)點(diǎn)映射法結(jié)合雅可比矩陣特征值分析，界定了穩(wěn)定工作域；采用了參數(shù)靈敏度控制法預(yù)測(cè)鑿巖效率，揭示了蓄能器容積比和阻尼間隙是影響效率的關(guān)鍵參數(shù)。LI等[15-17]分析了緩沖機(jī)構(gòu)對(duì)沖擊能量、頻率和功率的影響，并提出了優(yōu)化沖擊性能的方法。基于波動(dòng)理論建立了應(yīng)力波模型，提出了無(wú)量綱碰撞系數(shù)。SHAH18]提出在鑿巖機(jī)中采用電動(dòng)閥可顯著提升可控性，通過(guò)建立液壓鑿巖機(jī)沖擊系統(tǒng)流-固耦合模型，結(jié)合數(shù)值模擬與巖石鉆探測(cè)試，揭示了分動(dòng)閥阻尼間隙對(duì)沖擊性能及系統(tǒng)氣穴風(fēng)險(xiǎn)的影響機(jī)制。LI等[19]利用正交實(shí)驗(yàn)和回歸分析研究了沖擊功率、推進(jìn)力、轉(zhuǎn)速和鉆頭類型等工作參數(shù)對(duì)鉆進(jìn)效率的影響。JAKOBSSON等[20-21]針對(duì)液壓鑿巖機(jī)壓力波動(dòng)不可控難題，提出了一種在線狀態(tài)監(jiān)測(cè)方法。通過(guò)精準(zhǔn)識(shí)別內(nèi)部駐波與操作頻率耦合效應(yīng)，有效解決了因頻譜疊加導(dǎo)致的壓力振蕩失穩(wěn)問(wèn)題。構(gòu)建了首個(gè)公開(kāi)的液壓鑿巖機(jī)故障數(shù)據(jù)集，引入了閥芯磨損、密封失效等典型故障模式。其核心目標(biāo)在于開(kāi)發(fā)基于深度學(xué)習(xí)的時(shí)序分類技術(shù)，實(shí)現(xiàn)鑿巖機(jī)運(yùn)行狀態(tài)的智能診斷與早期預(yù)警。SHEN等22在巖石上進(jìn)行了鉆進(jìn)測(cè)試，建立了一個(gè)專用能量模型，引入速率能量比作為評(píng)估鉆進(jìn)效率的指標(biāo)，并探討了各種鉆進(jìn)參數(shù)對(duì)這一比率的影響規(guī)律。LING等[23]提出了一種利用深度學(xué)習(xí)和X-Vectors對(duì)液壓鑿巖機(jī)進(jìn)行故障分類的方法，準(zhǔn)確率達(dá)到了 99.92% ，展示了該方法在液壓鑿巖機(jī)故障分類方面的潛力。

以上參考文獻(xiàn)涵蓋了對(duì)液壓鑿巖機(jī)分析、建模和優(yōu)化方面的研究。然而，研究中忽略了將液壓鑿巖機(jī)與巖石整合在一起。

在沖擊鉆進(jìn)領(lǐng)域中，HASHIBA等[24]專注于通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試和數(shù)值模擬對(duì)鉆頭在沖擊進(jìn)入巖石過(guò)程中的力-穿透曲線進(jìn)行建模。LUNDBERG等[25-26]研究了使用整體鉆桿和可拆卸鉆頭的沖擊鉆進(jìn)波形優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)通過(guò)優(yōu)化波形可以實(shí)現(xiàn)更高的效率，特別是對(duì)于更長(zhǎng)的波形。KRIVTSOV等[27-28]基于干摩擦模型，建立了切削區(qū)域材料去除速率（MRR）的理論預(yù)測(cè)方法，并揭示較高靜載荷下MRR的降低規(guī)律。該模型雖基于簡(jiǎn)化假設(shè)，但能有效解釋實(shí)驗(yàn)中觀察到的MRR隨靜載荷增大而減小的現(xiàn)象，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。PAVLOVSKAIA等[29-31]對(duì)沖擊振動(dòng)器動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)性研究，通過(guò)建立漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，成功解析了系統(tǒng)的粘滯階段動(dòng)態(tài)。該模型揭示了從周期性到混沌運(yùn)動(dòng)的連續(xù)演變行為，通過(guò)量化分析系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，實(shí)現(xiàn)了鉆進(jìn)速度在各種工況下的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。研究進(jìn)一步對(duì)比了兩種建模方法，基于系統(tǒng)響應(yīng)特性確立了最優(yōu)參數(shù)組合：當(dāng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率匹配時(shí)，周期性響應(yīng)狀態(tài)下的鉆進(jìn)速度達(dá)到最優(yōu)。AJIBOSE等[32-34]研究了不同接觸力模型對(duì)鑿巖機(jī)的全局和局部動(dòng)態(tài)的影響。分析了Kelvin-Voigt、赫茲剛度和非線性接觸剛度-阻尼三種模型，揭示了接觸力模型的選擇對(duì)短期和長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)都會(huì)產(chǎn)生影響。PAEZCHAVEZ等[35-36]對(duì)鑿巖機(jī)的分段線性沖擊振動(dòng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了深入研究，這一振蕩模型是對(duì)沖擊鉆進(jìn)系統(tǒng)中觀察到的行為的定性表示。研究揭示了各種分岔現(xiàn)象，展示了一維和二維現(xiàn)象，突出了系統(tǒng)中存在的滯后效應(yīng)和混沌行為，有助于更深入地了解與沖擊振動(dòng)相關(guān)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)和非線性行為，揭示了鉆進(jìn)過(guò)程中觀察到的振蕩系統(tǒng)的性質(zhì)。LIAO等[37-40]為提高鉆進(jìn)效率，對(duì)鉆頭-巖石振動(dòng)沖擊系統(tǒng)開(kāi)展了系統(tǒng)性研究，建立了非線性動(dòng)力學(xué)模型，并基于數(shù)值模擬確定了最佳振動(dòng)參數(shù)組合。

巖石鉆進(jìn)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，需要液壓鑿巖機(jī)性能高效穩(wěn)定。先前的研究雖已探索鑿巖機(jī)的沖擊性能、破巖機(jī)理和能量傳遞效率等，但在鑿巖機(jī)鉆進(jìn)巖石的穩(wěn)定性層面亟待深人探索。

本文首先介紹了液壓鑿巖機(jī)的原理，將鑿巖機(jī)鉆進(jìn)巖石的過(guò)程建立成物理模型，利用無(wú)量綱化方法，將模型簡(jiǎn)化成緊湊形式，將非線性分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的周期軌跡進(jìn)行分段；然后，利用擬弧長(zhǎng)延拓法和Floquet理論，將液壓作用力的角頻率和振幅作為控制參數(shù)，得到穩(wěn)定周期軌跡、分岔點(diǎn)和最大鉆進(jìn)速率點(diǎn)；最后，介紹了液壓鑿巖機(jī)鉆鑿巖石的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，比較了模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的活塞位移和速度，驗(yàn)證模型的正確性。

1物理模型

圖1為液壓鑿巖機(jī)的工作原理。圖中從左往右的部件依次是沖擊活塞（以下簡(jiǎn)稱活塞）釬尾、連接套、鉆桿和鉆頭，液壓力作用于活塞，活塞因此獲得加速度，在與釬尾碰撞前速度達(dá)到峰值，與釬尾碰撞后將能量以波的形式傳遞到鉆具中，在此過(guò)程中鉆頭在巖石上打孔，完成破巖過(guò)程。

如圖2所示，將鑿巖機(jī)沖擊系統(tǒng)的作業(yè)過(guò)程簡(jiǎn)化為活塞撞擊釬尾，能量通過(guò)鉆具傳遞到巖石。F（t） 表示液壓油作用在活塞上的力，t表示時(shí)間； X₁ 表示活塞的位移； X₂ 表示鉆具的位移； X₃ 表示鉆進(jìn)位移。鉆頭與巖石之間由虛擬的質(zhì)量忽略不計(jì)的彈簧阻尼滑塊表示?；瑝K在沖擊力的作用下向前移動(dòng)， F_f 表示巖石的干摩擦力閾值，即巖石發(fā)生變形的力，當(dāng)作用在巖石上的力超過(guò)閾值 F_f 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生鉆進(jìn)。為了便于分析，本文假設(shè) F_f 為定值。表1為鑿巖機(jī)-巖石模型的量綱參數(shù)。

綜合考慮理論和實(shí)際的鑿巖機(jī)作業(yè)過(guò)程，將鑿巖機(jī)的作業(yè)過(guò)程分為“非粘滯-非鉆進(jìn)”“非粘滯-鉆進(jìn)”“粘滯-非鉆進(jìn)”和“粘滯-鉆進(jìn)”四種。

1.1非粘滯-非鉆進(jìn)

在 t=0 時(shí)，假設(shè)活塞和釬尾之間的初始距離為G 。當(dāng) X₁-X₂

當(dāng) X₁-X₂=G 時(shí)，活塞會(huì)撞擊到釬尾。如果碰撞前的瞬間，活塞和釬尾的速度差值比較大，那么碰撞后兩者就會(huì)分離，稱為“非粘滯”模式。在這種情況下，運(yùn)動(dòng)方程是通過(guò)動(dòng)量守恒原理推導(dǎo)出來(lái)的?；钊豌@具之間的撞擊關(guān)系表達(dá)為：

式中，下角標(biāo)“一\"和“ + ”分別表示碰撞前和碰撞后；

e 為碰撞恢復(fù)系數(shù)。

當(dāng)作用于巖石表面的力小于巖石干摩擦力閾值時(shí)，系統(tǒng)處于“非鉆進(jìn)\"模式，可以寫成：

當(dāng)沒(méi)有鉆進(jìn)時(shí)，巖石表面保持靜止，其速度為零：

結(jié)合式（1）和（4），得到\"非粘滯-非鉆進(jìn)\"模式的方程為：

1.2非粘滯-鉆進(jìn)

當(dāng)作用于巖石表面的力大于等于巖石干摩擦力閾值時(shí)，稱為“鉆進(jìn)”模式：

結(jié)合式（1）和（6），得到\"非粘滯-鉆進(jìn)\"模式的方程為：

1.3粘滯-非鉆進(jìn)

圖3為粘滯模式的鑿巖機(jī)-巖石的物理模型。當(dāng)活塞和釬尾碰撞前的瞬間，兩者速度接近時(shí)，碰撞后會(huì)一起移動(dòng)，稱為“粘滯”現(xiàn)象。值得注意的是，鑿巖機(jī)的粘滯現(xiàn)象僅存在于理論模型，因?yàn)閷?shí)際工況中，碰撞前的瞬間，活塞和釬尾的速度差值很難達(dá)到粘滯條件。

發(fā)生粘滯的條件為 ， X₁=X₂+G 。其中， 為粘滯模式中 m₁ 的加速度：

為粘滯模式中 （m₁+m₂） 的加速度：

發(fā)生粘滯時(shí)，活塞和鉆具一起運(yùn)動(dòng)， （m₁+m₂） 的動(dòng)力學(xué)方程為：

結(jié)合式（4）和（10），得到\"粘滯-非鉆進(jìn)\"模式的方程為：

1.4粘滯-鉆進(jìn)

當(dāng)作用在巖石表面上的力超過(guò)干摩擦力的閥值，并且活塞和鉆具一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)為“粘滯-鉆進(jìn)\"模式。結(jié)合式（6）和（10），得到“粘滯-鉆進(jìn)\"模式的方程為：

2 無(wú)量綱化

鑿巖機(jī)巖石模型的無(wú)量綱參數(shù)用 η= （ω，a，b，α，β，γ，ζ，g，e）∈（R⁺）⁹ 表示。狀態(tài)變量用 u= （y₁，y₂，y₃，y₄，y₅，y₆）^T∈（R）⁵×[ 0，2π） 表示。利用無(wú)量綱化方法，非粘滯模式以無(wú)量綱形式表示如下：

粘滯模式的無(wú)量綱形式表示如下：

式中 ，f_NS 為非粘滯模式的動(dòng)力學(xué)方程 ;f_N 為粘滯模式的動(dòng)力學(xué)方程。

式（13）和（14）中的 h 為單位階躍函數(shù)：

h={1，2ζy₄+y₃-y₅-1≥0

在無(wú)量綱化的常微分方程組中， y₁^′～y₆^′ 為變量y₁～y₆ 關(guān)于無(wú)量綱時(shí)間 τ 的微分。變量和參數(shù)如下所示：

其中， x_s 為參考位移 （x_s=F_f/k₂） ！ t_s 為參考時(shí)間 ）。鑿巖機(jī)-巖石模型的無(wú)量綱參數(shù)如表2所示。

圖4為鉆進(jìn)位移的時(shí)間歷程。計(jì)算參數(shù)為 ω= 4.981， a=0.1464 ，以及在表2中序號(hào)為3～9的參數(shù)。橫坐標(biāo)為無(wú)量綱時(shí)間 τ 和帶量綱時(shí)間t，縱坐標(biāo)為無(wú)量綱鉆進(jìn)位移 y₅ 和帶量綱鉆進(jìn)位移 X₃ 。根據(jù)式（3），當(dāng)作用于巖石表面的力小于巖石干摩擦力閥值時(shí)，位移保持不變，為“非鉆進(jìn)\"模式；根據(jù)式（6），當(dāng)作用于巖石表面的力大于等于巖石干摩擦力閾值時(shí)，位移會(huì)增大，為“鉆進(jìn)\"模式。

3數(shù)學(xué)模型

鑿巖機(jī)-巖石數(shù)學(xué)模型是一個(gè)非線性分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)，其行為在連續(xù)時(shí)間中被離散事件打斷[41-42]。假設(shè)非線性分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)存在一個(gè)維度為 n 的狀態(tài)空間 X 和一個(gè)相關(guān)的矢量值函數(shù) f_I XX ，稱為“向量場(chǎng)”，由某個(gè)有限集合F中的索引向量 I 參數(shù)化。對(duì)于索引向量 I 的每個(gè)值，都有一個(gè)“事件函數(shù)” 和一個(gè)“跳躍函數(shù)' 對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的解是序列 ，包括 m 條光滑曲線和一個(gè)相關(guān)序列 {I_j}_j=1^m ，使得：

稱索引向量值的序列 Σ={I_j}_j=1^m 為解的標(biāo)識(shí)。系統(tǒng)的解被劃分為“段”，每個(gè)段包含定義該區(qū)域的一個(gè)向量場(chǎng)，一個(gè)事件函數(shù)（其零點(diǎn)描述了該段的終止點(diǎn)）以及一個(gè)跳躍函數(shù)（將當(dāng)前段的終止點(diǎn)映射到下一個(gè)段的起始點(diǎn)）。將鑿巖機(jī)-巖石數(shù)學(xué)模型的周期軌跡分段，具體描述如下。

3.1非粘滯碰撞

分段1（標(biāo)識(shí)為 I₁） ：“非粘滯碰撞”的向量場(chǎng)為式（13）所示的 f_NS 。當(dāng)活塞與釬尾碰撞時(shí)，該模式結(jié)束，事件函數(shù) h_NSI 為：

h_NSI（u，η）=y₁-y₃-g=0

接下來(lái)的分段的起始點(diǎn)由跳躍函數(shù) g_NSI 確定?；钊c釬尾碰撞后的瞬間，活塞位移 y₁ 、鉆具位移y₃ 、鉆進(jìn)位移 y₅ 和相位 y₆ 沒(méi)有發(fā)生變化，但是活塞速度 y₂ 和鉆具速度 y₄ 發(fā)生了突變。將物理模型中的碰撞關(guān)系式（2）進(jìn)行無(wú)量綱化，得到跳躍函數(shù) g_NSI

f_NS 的雅可比矩陣為：

矩陣式（19）的分量如下：

其中， δ 為單位脈沖函數(shù)，定義如下：

3.2 非粘滯 2π

分段2（標(biāo)識(shí)為 I₂） ：“非粘滯 2π ”的向量場(chǎng)同樣為式（13）所示的 f_NS 。為確保 y₆ 在非粘滯模式下保持在區(qū)間 [0，2π） 內(nèi)，當(dāng)滿足以下事件函數(shù) h_2π 時(shí)，該分段結(jié)束：

h_2π（u，η）=y₆-2π=0

接下來(lái)的分段的起始點(diǎn)由跳躍函數(shù) g_2π 確定。為了使軌跡在一個(gè)完整的周期后實(shí)現(xiàn)閉合，將鉆進(jìn)位移 y₅ 和相位 y₆ 歸零， y₁～y₄ 保持不變， g_2π 定義如下：

矩陣式（23）的分量如下：

3.3粘滯 2π

f_s 的雅可比矩陣為：

分段3（標(biāo)識(shí)為 I₃ ）：“粘滯 2π ”的向量場(chǎng)為式（14）所示的 f_s 。當(dāng)由式（21）定義的事件函數(shù)h_2π=0 時(shí)，此模式終止，跳躍函數(shù) g_2π 由式（22）定義。和 I₂ 相比， I₃ 除了向量場(chǎng)不同外，事件函數(shù)和跳躍函數(shù)是一致的。

結(jié)合非粘滯向量場(chǎng)式（13）和粘滯向量場(chǎng)式（14），鑿巖機(jī)-巖石模型的向量場(chǎng)方程以緊湊形式表達(dá)為：

3.4 緊湊形式

其中， ?₁ 為非粘滯模式下 m₁ 的加速度：

?₁=（asiny₆+b-2ζγy₂-βy₁）/α

?₂ 為非粘滯模式下 （m₁+m₂） 的加速度：

定義：

分別為向量場(chǎng)、事件函數(shù)和跳躍函數(shù)的集合。集合F為 Z_f×Z_h×Z_g 的子集，它表示了圖5所示的連接圖，展示了這些元素之間的交互作用。F中的每個(gè)元組，如 I=（f_NS，h_NSI，g_NSI） ，表示由向量場(chǎng) f_NS 規(guī)定

的分段，終止于事件函數(shù) h_NSI ，并通過(guò)跳躍函數(shù) g_NSI 進(jìn)行到下一分段。

表3總結(jié)了模型的周期軌跡分段，以及相應(yīng)的向量場(chǎng)、事件函數(shù)和跳躍函數(shù)。

4 延拓分析

本節(jié)使用MATLAB軟件，利用擬弧長(zhǎng)延拓法和基于Floquet理論的分岔判定條件，對(duì)鑿巖機(jī)-巖石模型進(jìn)行數(shù)值分析，控制參數(shù)為活塞上的液壓作用力的角頻率 ω 和振幅 a ○

4.1 延拓分岔判定條件

給定一個(gè)邊界值問(wèn)題，延拓是用于在參數(shù)變化下定位和跟蹤系統(tǒng)的解。本文采用擬弧長(zhǎng)延拓法[43-45]

考慮以下非自治系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性：

式中， F 為一個(gè)周期函數(shù)； x∈Rⁿ，t∈R¹，M∈R^m，R 為實(shí)數(shù)集。式（30）在 M=M₀ 處的周期解為 X₀（t） 并且具有周期 T 。這個(gè)周期與 F 的周期相關(guān)。在X₀（t） 上疊加一個(gè)擾動(dòng) z（t） ，得到：

x（t）=X₀（t）+z（t）

將式（31）代人式（30），假設(shè) F 足夠光滑（即至少函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），在 X_o 周圍展開(kāi) F 的泰勒級(jí)數(shù)，并僅保留擾動(dòng)中的線性項(xiàng)，得到：

或者：

式中， D_x 表示函數(shù) F 對(duì)變量 x 的偏導(dǎo)數(shù)（雅可比矩陣）； O 為漸進(jìn)符號(hào)，用于描述高階小量；矩陣 A 為 F 的一階偏微分，這個(gè)矩陣具有周期 T 。使用Floquet理論來(lái)處理式（33）并確定與式（30）的周期解相關(guān)的單值矩陣。單值矩陣的特征值提供了關(guān)于周期解穩(wěn)定性的信息。如果所有的Floquet乘子都在單位圓內(nèi)，那么相應(yīng)的解是漸近穩(wěn)定的，稱為穩(wěn)定極限環(huán)或周期吸引子。如果至少有一個(gè)Floquet乘子在單位圓外，其解是不穩(wěn)定的。如果所有Floquet乘子都在單位圓外，周期解被稱為排斥子。式（33）中的矩陣

A 是參數(shù)向量 M 的函數(shù)。因此，單值矩陣和相應(yīng)的Floquet乘子取決于 M 。

根據(jù)Floquet理論，圖6為Floquet乘子離開(kāi)單位圓的三種情形，作為分岔發(fā)生的判定條件。如圖6（a）所示，當(dāng)Floquet乘子從實(shí)軸負(fù)半軸 （-1） 超出單位圓時(shí)，系統(tǒng)解將出現(xiàn)倍周期分岔，這時(shí)系統(tǒng)解的周期將變?yōu)樵瓉?lái)的2倍。如圖6（b）所示，當(dāng)系統(tǒng)的Floquet乘子從實(shí)軸正半軸 （+1） 超出單位圓時(shí)，系統(tǒng)解將出現(xiàn)鞍結(jié)分岔。如圖6（c）所示，當(dāng)系統(tǒng)有一對(duì)共軛Floquet乘子超出單位圓時(shí)，將出現(xiàn)環(huán)面分岔，系統(tǒng)將出現(xiàn)準(zhǔn)周期軌跡。

4.2角頻率的影響

鉆進(jìn)速率（rateofpenetration，ROP）是用來(lái)衡量液壓鑿巖機(jī)性能的指標(biāo)之一，表達(dá)式如下：

沖擊頻率是液壓鑿巖機(jī)的性能參數(shù)之一。本文研究的鑿巖機(jī)具有可調(diào)沖擊頻率的功能。根據(jù)上文中無(wú)量綱化過(guò)程的描述，液壓作用力的無(wú)量綱角頻率 ω 與頻率 相關(guān)。圖 7～9 為關(guān)于角頻率 ω 的單參數(shù)延拓。計(jì)算參數(shù)為 a=0.1464 ，以及在表2中序號(hào)為 3～9 的參數(shù)。

圖7為從 ω=4.981 開(kāi)始（標(biāo)記為P1）的關(guān)于角頻率的單參數(shù)延拓。圖7（a）中，紅色實(shí)曲線為非粘滯周期-1解，分段標(biāo)識(shí)為 {I₁，I₂} 。隨著角頻率 ω 的增加，在 ω=6.814 處檢測(cè)到系統(tǒng)的一個(gè)Floquet乘子在復(fù)平面上實(shí)軸 （-1） 處穿越單位圓，根據(jù)圖6（a）的描述，此時(shí)發(fā)生了倍周期分岔，標(biāo)記為PD1。倍周期分岔會(huì)導(dǎo)致周期的加倍，在這個(gè)位置出現(xiàn)了一條紅色虛線分支，表示不穩(wěn)定解。隨著 ω 的減小，在 ω=0.543 處檢測(cè)到一個(gè)穩(wěn)定周期解的端點(diǎn)，標(biāo)記為EP1。黑色實(shí)曲線和黑色虛曲線分別表示為ROP相對(duì)于 ω 的穩(wěn)定和不穩(wěn)定解。從點(diǎn)P1開(kāi)始，隨著 ω 的減小，ROP先增大后減小至O?？梢杂^察到當(dāng) ω=2.895 時(shí)，最大ROP為0.00032。隨著ω 的增加，ROP逐漸減小至O，在PD1點(diǎn)之后，變?yōu)椴环€(wěn)定解。從P1開(kāi)始，穩(wěn)定周期解的范圍為ω∈（0.543，6.814） 。圖7（b）為P1點(diǎn)的相平面圖。從單條豎直虛線（碰撞線）可以看到，在一個(gè)完整的周期內(nèi)，活塞和釬尾發(fā)生了一次碰撞。龐加萊映射只有一個(gè)點(diǎn)（0.0069，一0.0882），表明點(diǎn)P1對(duì)應(yīng)于周期-1解。圖7（c）為活塞位移 y₁ 和鉆進(jìn)位移 y₅ 關(guān)于時(shí)間 τ 的時(shí)域圖。根據(jù)跳躍函數(shù)式（22）的設(shè)定，當(dāng) y₆=2π 時(shí)，鉆進(jìn)位移 y₅ 歸零?？梢?jiàn)，P1點(diǎn)的參數(shù)可以使系統(tǒng)發(fā)生鉆進(jìn)。

圖8為倍周期分岔PD1前/后周期軌跡的相平面。從圖7（a）可知， ω_PD1=6.814 為倍周期分岔點(diǎn)。當(dāng) ω=6.8lt;ω_PD1 時(shí)，龐加萊映射點(diǎn)為1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)為周期-1軌跡，從放大視圖可以看出，在一個(gè)完整的周期內(nèi)，活塞和釬尾碰撞1次；當(dāng) ω=6.82gt; ω_PD1 時(shí)，龐加萊映射點(diǎn)為2個(gè)點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)為周期-2軌跡，在一個(gè)完整的周期內(nèi)，活塞和釬尾碰撞2次。為了使鑿巖機(jī)工作在周期-1軌跡，應(yīng)該選擇的角頻率范圍為 ωlt;ω_PD1"。

圖9為從 ω=7 開(kāi)始（標(biāo)記為P2）的關(guān)于角頻率的單參數(shù)延拓。圖9（a）中，綠色實(shí)曲線為非粘滯周期-2解，具有 {I₁，I₂，I₁，I₂} 的標(biāo)識(shí)。隨著角頻率 ω 的增加，在 ω=7.274 處檢測(cè)到系統(tǒng)的一個(gè)Floquet乘子在復(fù)平面上實(shí)軸 （-1） 處穿越單位圓，根據(jù)圖6（a）的描述，此時(shí)發(fā)生了倍周期分岔，標(biāo)記為PD2。隨著ω 的減小，在 ω=6.821 處檢測(cè)到一個(gè)穩(wěn)定周期解的端點(diǎn)，標(biāo)記為EP2。從圖9（a）中的黑色曲線可以看出，ROP在整個(gè)過(guò)程中保持為零，表明沒(méi)有發(fā)生鉆進(jìn)。從點(diǎn)P2開(kāi)始，穩(wěn)定周期解的范圍為ω∈（6.821，7.274） 。從圖9（b）中的單個(gè)豎直虛線可以看出，在一個(gè)完整的周期內(nèi)活塞和釬尾碰撞了一次，有兩個(gè)龐加萊映射點(diǎn)， （0.0175，-0.0746） 和（0.0291，-0.0574） ，表明點(diǎn)P2對(duì)應(yīng)于周期-2解。圖9（c）為 y₁ 和 y₅ 關(guān)于時(shí)間 τ 的時(shí)域圖。 y₅（τ）=0 ，可見(jiàn)，P2點(diǎn)的參數(shù)不會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生鉆進(jìn)。

表4為關(guān)于角頻率的單參數(shù)延拓匯總，總結(jié)了起始點(diǎn)P1P2的周期和段標(biāo)識(shí)，以及穩(wěn)定周期解的范圍。

4.3 振幅的影響

另一個(gè)影響系統(tǒng)行為的關(guān)鍵參數(shù)是液壓作用力的振幅 a 。無(wú)量綱參數(shù)振幅 a 與鑿巖機(jī)的沖擊壓力有關(guān)，這個(gè)參數(shù)是可調(diào)的，也是液壓鑿巖機(jī)的性能參數(shù)之一。圖10為振幅 a 的單參數(shù)延拓，計(jì)算參數(shù)為ω=4.981 ，以及在表2中序號(hào)為 3～9 的參數(shù)。

從 a=0.146 （標(biāo)記為P）開(kāi)始，紅色實(shí)曲線代表具有 {I₁，I₂} 標(biāo)識(shí)的非粘滯周期-1解。當(dāng)振幅減小時(shí)，在 a=0.03 處檢測(cè)到系統(tǒng)的一個(gè)Floquet乘子在復(fù)平面上實(shí)軸 （+1） 處穿越單位圓，根據(jù)圖6（b）的描述，此時(shí)發(fā)生了鞍結(jié)分岔，標(biāo)記為 SN 。隨著 a 的增加，在 a=3.051 處檢測(cè)到系統(tǒng)的一對(duì)共軛Floquet乘子在復(fù)平面上穿越單位圓，根據(jù)圖6（c）的描述，此時(shí)發(fā)生了環(huán)面分岔，標(biāo)記為TR。黑色實(shí)曲線和黑色虛曲線分別代表ROP相對(duì)于 a 的穩(wěn)定和不穩(wěn)定解。從點(diǎn)P開(kāi)始，隨著 Ψ_a 的減小，ROP逐漸減小至0。當(dāng) a 從點(diǎn)P增加時(shí)，ROP逐漸增加直至達(dá)到TR點(diǎn)。最大的ROP點(diǎn)是TR點(diǎn)。穩(wěn)定周期解的范圍為 a∈（0.03，3.051） 。點(diǎn)P的相平面圖和時(shí)域圖如圖7（b）和（c）所示。

圖11為鞍結(jié)分岔SN前/后周期軌跡的相平面。從圖10可知， a_SN=0.03 為鞍結(jié)分岔點(diǎn)。當(dāng) a= 0.025SN 時(shí)，系統(tǒng)為準(zhǔn)周期軌跡；當(dāng) a=0.035gt; a_?SN 時(shí)，龐加萊映射點(diǎn)為1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)為周期-1軌跡。為了使鑿巖機(jī)工作在周期-1軌跡，應(yīng)該選擇的振幅范圍為 agt;a_SN 。

圖12為環(huán)面分岔TR前/后周期軌跡的相平面。從圖10可知， a_TR=3.051 為環(huán)面分岔點(diǎn)。當(dāng) a= （20 2.7TR 時(shí)，系統(tǒng)為周期-1軌跡；當(dāng) a=3.1gt;a_TR 時(shí)，系統(tǒng)為準(zhǔn)周期軌跡。為了使鑿巖機(jī)工作在周期-1軌跡，應(yīng)該選擇的振幅范圍為 aTR 。

表5為關(guān)于振幅的單參數(shù)延拓匯總，總結(jié)了起始點(diǎn)P的周期和段標(biāo)識(shí)，以及穩(wěn)定周期解的范圍。

5 實(shí)驗(yàn)和模型的比較

圖13為液壓鑿巖機(jī)鉆鑿巖石的數(shù)據(jù)采集現(xiàn)場(chǎng)。激光位移傳感器安裝在活塞后面，測(cè)量其位移和速度。測(cè)量結(jié)果進(jìn)入電腦和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。采樣頻率為 200kHz ，并使用了適當(dāng)?shù)目够殳B濾波器處理信號(hào)。每個(gè)運(yùn)行條件下的測(cè)量時(shí)間為 2～4s ，僅在鑿巖機(jī)運(yùn)行平穩(wěn)狀態(tài)下收集數(shù)據(jù)。

圖14為典型的實(shí)驗(yàn)和模型的活塞運(yùn)動(dòng)曲線，描述了一個(gè)完整的工作循環(huán)。實(shí)驗(yàn)的位移和速度分別由紅色和藍(lán)色實(shí)線表示。模型的位移和速度分別由紅色和藍(lán)色虛線表示。

實(shí)驗(yàn)工作循環(huán)包括三個(gè)行程：實(shí)驗(yàn)沖程加速（experimental impactacceleration，EIA）、實(shí)驗(yàn)回程加速（experimentalreturnacceleration，ERA）和實(shí)驗(yàn)回程減速（experimental returndeceleration，ERD）。工作循環(huán)從時(shí)間 ι=0 s開(kāi)始，此時(shí)活塞位于針尾的遠(yuǎn)端，導(dǎo)致活塞后腔的壓力水平較高?；钊?后腔體之間的壓差，以及活塞控制面積的變化，產(chǎn)生了一個(gè)向前的合力，使活塞運(yùn)動(dòng)并啟動(dòng)EIA行程。在t=0.0145s 時(shí)，活塞與釬尾碰撞，通過(guò)產(chǎn)生應(yīng)力波將其動(dòng)能轉(zhuǎn)移給鉆具，從而破碎巖石。碰撞前活塞的實(shí)驗(yàn)速度（標(biāo)記為B）為 7.4m/s ，而碰撞后活塞的實(shí)驗(yàn)速度（標(biāo)記為E）為 -0.33m/s 。活塞與鉆具之間的碰撞關(guān)系由式（2）描述。碰撞后，高壓油施加液壓作用力到活塞的前腔，活塞進(jìn)入ERA行程。在t=0.0239 s時(shí)，活塞在返回行程期間達(dá)到最大絕對(duì)速度（標(biāo)記為 。隨后，高壓油進(jìn)入活塞的后腔，導(dǎo)致活塞的合力和速度方向相反，活塞進(jìn)入ERD沖程。

模型工作循環(huán)包括四個(gè)行程：模型沖程加速（modelimpactacceleration，MIA）、模型沖程減速（modelimpactdeceleration，MID）、模型回程加速（modelreturnacceleration，MRA）和模型回程減速（modelreturndeceleration，MRD）。可以看到，與實(shí)驗(yàn)工作循環(huán)不同的是，模型工作循環(huán)多了一個(gè)額外的行程，為MID行程?？梢栽?t=0.0109 s時(shí)觀察到模型的最大速度（標(biāo)記為A）為 6.6m/s 。在活塞與釬尾碰撞之前，活塞經(jīng)歷了減速。這是因?yàn)橐簤鹤饔昧εc活塞運(yùn)動(dòng)方向相反。在 t=0.0145s 時(shí)，活塞與釬尾碰撞。碰撞前活塞的速度（標(biāo)記為C）為4.64m/s， 碰撞后活塞的速度（標(biāo)記為D）為 0.11m/s_o 在 t=0.0231 s時(shí)，活塞在返回行程期間達(dá)到最大絕對(duì)速度（標(biāo)記為F） -5.55m/s 。

6結(jié)論

（1）介紹了液壓鑿巖機(jī)的原理，將鑿巖機(jī)鉆進(jìn)巖石的過(guò)程建立成三自由度干摩擦力巖石模型。將鑿巖機(jī)的作業(yè)過(guò)程分為“非粘滯非鉆進(jìn)”“非粘滯-鉆進(jìn)”\"粘滯-非鉆進(jìn)”和“粘滯-鉆進(jìn)”。利用無(wú)量綱化方法，將模型簡(jiǎn)化成緊湊形式。

（2）將非線性分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的周期軌跡分段成“非粘滯碰撞”“非粘滯 2π ”和“粘滯2π ”。為了評(píng)估液壓鑿巖機(jī)的性能，引人了ROP的概念。

（3）利用擬弧長(zhǎng)延拓法和Floquet理論，將液壓作用力的角頻率作為控制參數(shù)，發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔PD1和PD2，為了使鑿巖機(jī)工作在周期-1軌跡，應(yīng)該選擇的角頻率范圍為 ωlt;6.814 ，當(dāng) ω=2.895 時(shí)，模型得到最大鉆進(jìn)速率；將液壓作用力的振幅作為控制參數(shù)，發(fā)現(xiàn)了鞍結(jié)分岔SN和環(huán)面分岔TR，為了使鑿巖機(jī)工作在穩(wěn)定周期軌跡，應(yīng)該選擇的振幅范圍為 0.03

（4）介紹了液壓鑿巖機(jī)鉆鑿巖石的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，比較了模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的活塞的位移和速度。實(shí)驗(yàn)和模型數(shù)據(jù)基本吻合，但是與實(shí)驗(yàn)相比，模型多了一個(gè)沖擊減速行程。

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