模型意識(shí)的內(nèi)涵表現(xiàn)與實(shí)踐路徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）明確提出“模型意識(shí)\"的核心素養(yǎng)，要求學(xué)生能感悟數(shù)學(xué)模型的意義與應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。凹“倍\"是小學(xué)數(shù)學(xué)中溝通乘除關(guān)系的重要概念，其本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)量之間的比率關(guān)系，是典型的數(shù)學(xué)模型。然而，傳統(tǒng)教學(xué)中常存在兩種傾向：一是聚焦“倍”的概念定義，忽視從現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程；二是側(cè)重解題技能訓(xùn)練，缺乏對(duì)“倍\"的模型本質(zhì)及應(yīng)用價(jià)值的深度理解?；诖?，筆者在“倍的認(rèn)識(shí)\"教學(xué)中，以模型建構(gòu)為主線，通過(guò)“變”與“不變\"的辯證設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型的建立、理解與應(yīng)用過(guò)程，發(fā)展模型意識(shí)。

一、模型意識(shí)的內(nèi)涵與表現(xiàn)維度

新課標(biāo)指出，模型意識(shí)是“對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”，表現(xiàn)為“能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決”。結(jié)合“倍的認(rèn)識(shí)\"教學(xué)實(shí)踐，模型意識(shí)可具化為以下四個(gè)內(nèi)涵表現(xiàn)：

（一）情境抽象，從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化能力

模型意識(shí)的起點(diǎn)是對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)學(xué)化抽象，即從復(fù)雜的生活現(xiàn)象中剝離出數(shù)量關(guān)系或空間形式，建立模型原型。例如，在“倍的認(rèn)識(shí)”中，學(xué)生能從“排隊(duì)的男女生人數(shù)\"這一生活情境中，識(shí)別出“女生人數(shù)是男生的2倍”這一倍數(shù)關(guān)系，將具體人數(shù)轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)量（1份）”與“比較量（幾份）的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型的初步抽象能力。

（二）結(jié)構(gòu)分析，理解模型核心要素及關(guān)系的能力

模型的本質(zhì)是對(duì)一類問(wèn)題共性特征的結(jié)構(gòu)化表達(dá)。學(xué)生需理解模型中變量與不變量的關(guān)系一一哪些要素決定模型的形式，哪些要素隨情境變化而改變。如在“倍\"的模型中，“標(biāo)準(zhǔn)量\"（1份的數(shù)量）是可變量，“倍數(shù)關(guān)系\"（比較量包含幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量）是因變量，而“比較量 ÷ 標(biāo)準(zhǔn)量 倍數(shù)”的運(yùn)算結(jié)構(gòu)是不變量，能識(shí)別這種“變與不變\"的關(guān)系，是模型意識(shí)深化的標(biāo)志。

（三）多元表征，用多種方式表達(dá)模型結(jié)構(gòu)的能力

數(shù)學(xué)模型可通過(guò)動(dòng)作、語(yǔ)言、符號(hào)、圖形等多種形式表征。模型意識(shí)強(qiáng)的學(xué)生能靈活運(yùn)用多元表征方式描述模型：如用“圈一圈\"表示“幾個(gè)幾”（動(dòng)作表征），用“ ×× 的數(shù)量是 ?×× 的 ∣× 倍\"進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)，用除法算式進(jìn)行符號(hào)抽象，或用線段圖表示倍數(shù)關(guān)系（圖形表征）。多元表征的轉(zhuǎn)換能力體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)模型本質(zhì)的深層理解。

（四）遷移應(yīng)用，將模型推廣到新情境解決問(wèn)題的能力

模型意識(shí)的終極目標(biāo)是模型的遷移與應(yīng)用。學(xué)生能識(shí)別不同情境中相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并用已建立的模型解決問(wèn)題。例如，從“人數(shù)的倍數(shù)關(guān)系\"遷移到“圖形數(shù)量、線段長(zhǎng)度、物體大小\"的倍數(shù)關(guān)系，意識(shí)到“倍”的模型不依賴具體對(duì)象，只關(guān)注兩個(gè)量的比率關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)從“具體模型”到\"一般模型\"的認(rèn)知飛躍。

二、模型意識(shí)培養(yǎng)的實(shí)踐路徑一以“倍的認(rèn)識(shí)”為例

（一）情境具身化，在生活原型中建立模型聯(lián)結(jié)

具身認(rèn)知理論認(rèn)為，知識(shí)的理解源于身體與環(huán)境的互動(dòng)。生活化情境為模型提供了可感知的“身體經(jīng)驗(yàn)”，幫助學(xué)生建立“倍\"的初始模型意象。在教學(xué)實(shí)施中要選擇具象化素材，以學(xué)生熟悉的排隊(duì)、圖形、積分卡等為載體，讓模型與生活經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生直接聯(lián)結(jié)，降低抽象難度。同時(shí)要通過(guò)對(duì)比凸顯模型獨(dú)特性，通過(guò)“比多少”（差比）與“倍數(shù)關(guān)系\"（倍比）的對(duì)比，讓學(xué)生明確“倍\"是一種新的比較關(guān)系，聚焦模型的核心功能。

課始創(chuàng)設(shè)\"數(shù)學(xué)游園會(huì)排隊(duì)\"情境，呈現(xiàn)女生6人、男生3人，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“女生人數(shù)是男生的2倍”。通過(guò)指認(rèn)“1份\"（3個(gè)男生）與\"2份\"（6個(gè)女生），將生活中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)量—比較量”的模型結(jié)構(gòu)。課中的探究活動(dòng)也設(shè)計(jì)學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生能借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

（二）結(jié)構(gòu)顯性化，在變量對(duì)比中解構(gòu)模型要素

變式教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)通過(guò)“標(biāo)準(zhǔn)變式”與“非標(biāo)準(zhǔn)變式”的對(duì)比，凸顯概念本質(zhì)。此處通過(guò)改變標(biāo)準(zhǔn)量，讓學(xué)生在“變\"的現(xiàn)象中把握“不變”的模型結(jié)構(gòu)——倍數(shù)關(guān)系是比較量對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量的包含關(guān)系。教學(xué)中首先要提供語(yǔ)言支架表達(dá)模型結(jié)構(gòu)：用“把 .×× 看成1份， xx 有這樣的 ∣× 份，所以 × 是 ×× 的 × 倍”的句式，將隱性的模型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為顯性的語(yǔ)言表達(dá)，強(qiáng)化“幾個(gè)幾\"的關(guān)系理解。還要?jiǎng)討B(tài)變式凸顯核心要素，通過(guò)改變標(biāo)準(zhǔn)量（如男生人數(shù)），制造認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生觀察倍數(shù)關(guān)系的變化規(guī)律，剝離出“標(biāo)準(zhǔn)量決定份數(shù)”的核心邏輯。

當(dāng)男生人數(shù)從3人變?yōu)?人（女生仍為6人），引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫一畫、算一算探究倍數(shù)關(guān)系變化。對(duì)比“ 6÷3=2^? 與“ 6÷2=3^′ ，追問(wèn)：“同樣是6個(gè)女生，為何倍數(shù)不同？\"學(xué)生發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量（1份）改變，比較量包含的份數(shù)也將隨之改變，但用除法計(jì)算倍數(shù)的結(jié)構(gòu)不變。

（三）表征多元化，在多元表達(dá)中完善模型建構(gòu)

多元表征理論認(rèn)為，多種表征方式的協(xié)同作用能深化概念理解。通過(guò)多維表征，學(xué)生不僅掌握了模型的外在形式，更理解其內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯，如除法的意義與倍數(shù)關(guān)系的關(guān)聯(lián)。在實(shí)施中分層設(shè)計(jì)表征任務(wù)，從低階的畫圈操作（動(dòng)作表征）到高階的算式抽象（符號(hào)表征），逐步提升表征的抽象程度，滿足不同認(rèn)知水平學(xué)生的需求。同時(shí)建立表征間的轉(zhuǎn)化橋梁，引導(dǎo)學(xué)生將“圈一圈\"的結(jié)果用語(yǔ)言描述，再轉(zhuǎn)化為算式，明確“幾個(gè)幾”與除法運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系，形成“動(dòng)作一語(yǔ)言一符號(hào)\"的表征鏈條。

在\"找圖形中的倍數(shù)關(guān)系\"環(huán)節(jié)，提供18個(gè)圓形、3個(gè)三角形、正方形9個(gè)，學(xué)生呈現(xiàn)不同的表征方式。有學(xué)生進(jìn)行動(dòng)作表征，將3個(gè)三角形圈為1份，圓形圈出6份，直觀地呈現(xiàn)\"18里有6個(gè)3”。有學(xué)生嘗試符號(hào)表征，用算式‘ 9÷3=3… 表示正方形數(shù)量是三角形的3倍。還有學(xué)生用語(yǔ)言表征，把9個(gè)正方形看成1份，圓形有2份，所以圓形數(shù)量是正方形的2倍。通過(guò)對(duì)比“同一標(biāo)準(zhǔn)量（3個(gè)三角形）下不同比較量（9與18）的倍數(shù)差異”，學(xué)生理解“比較量不同，倍數(shù)關(guān)系不同，但模型結(jié)構(gòu)一致”。

（四）應(yīng)用進(jìn)階化，在跨情境遷移中強(qiáng)化模型功能

遷移學(xué)習(xí)理論指出，模型的泛化能力需在多樣化情境中培養(yǎng)。通過(guò)跨情境應(yīng)用，學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的普適性一只要存在“兩個(gè)量的比率關(guān)系”，即可用“倍”的模型描述，實(shí)現(xiàn)從“情境模型\"到“數(shù)學(xué)模型\"的抽象升華。一是情境梯度設(shè)計(jì)，從單一數(shù)量情境（人數(shù)、圖形）到復(fù)合屬性情境（字?jǐn)?shù)、大?。?，再到抽象線段情境，逐步減少情境支撐，增強(qiáng)模型的概括性。二是提供逆向與開放任務(wù)，通過(guò)“紅氣球、綠氣球各有12個(gè)，后來(lái)綠氣球被吹走了一些。剩下的紅氣球和綠氣球還存在倍數(shù)關(guān)系嗎？怎樣調(diào)整呢？”等逆向問(wèn)題，以及“創(chuàng)造任意倍數(shù)關(guān)系”的開放任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)調(diào)用模型解決問(wèn)題的意識(shí)。

首先設(shè)計(jì)基礎(chǔ)應(yīng)用習(xí)題，解決“小剛獲得1張積分卡，小麗是其3倍，小麗獲得了幾張積分卡？\"的數(shù)量問(wèn)題（如圖1），鞏固“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少用乘法”的模型。接著變式應(yīng)用，從積分卡中你還找到了哪些倍數(shù)關(guān)系？拓展到非數(shù)量情境，積分卡的字?jǐn)?shù)、面積大小、線段長(zhǎng)度存在3倍關(guān)系，借助線段圖舉例表示\"5張 15 張\"\"10厘米 30 厘米”，剝離具體屬性，聚焦“3倍即3個(gè)相同量”的本質(zhì)。另外在新知學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，也進(jìn)行了較開放的探索，“你還想研究幾倍？”在全班分享中聚焦學(xué)生創(chuàng)造的“4倍關(guān)系”，如“12個(gè)圓是3個(gè)三角形的4倍”\"24個(gè)五角星是6個(gè)正方形的4倍”，對(duì)比發(fā)現(xiàn)“不同具體數(shù)量可對(duì)應(yīng)相同倍數(shù)關(guān)系”。

三、實(shí)踐反思：模型意識(shí)培養(yǎng)的關(guān)鍵要素

（一）把握“變”與“不變”的辯證關(guān)系

教學(xué)中需清晰界定模型的核心要素（不變量）與可變要素（變量）。如“倍\"的模型中，“標(biāo)準(zhǔn)量”可變化，但“比較量 ÷ 標(biāo)準(zhǔn)量 倍數(shù)\"的運(yùn)算結(jié)構(gòu)不變。通過(guò)“改變變量—觀察現(xiàn)象一歸納規(guī)律”的循環(huán)，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中把握模型本質(zhì)，避免將模型等同于具體情境或公式。

（二）關(guān)注表征轉(zhuǎn)化的“思維腳手架”

部分學(xué)生在從直觀表征（如畫圖）到符號(hào)表征（如算式）的轉(zhuǎn)化中存在困難，需提供明確的思維支架。例如，用“圈一圈后先寫‘幾個(gè)幾’，再轉(zhuǎn)化為除法算式”的步驟指引，幫助學(xué)生建立表征間的邏輯聯(lián)系，逐步實(shí)現(xiàn)抽象化。

（三）滲透模型的“現(xiàn)實(shí)關(guān)聯(lián)”與“數(shù)學(xué)本質(zhì)”

模型意識(shí)的培養(yǎng)需兼顧“生活味”與“數(shù)學(xué)味”，既要通過(guò)生活實(shí)例讓模型可感，也要適時(shí)剝離情境，凸顯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如在積分卡教學(xué)中，從“具體數(shù)量的3倍”到“線段長(zhǎng)度的3倍”，再到“用‘幾'和‘3個(gè)幾'表示一般關(guān)系”，讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)一數(shù)學(xué)一一般化\"的認(rèn)知提升，理解模型作為“數(shù)學(xué)工具\(yùn)"的本質(zhì)價(jià)值。

模型意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，需貫穿于概念建構(gòu)、問(wèn)題解決與思維發(fā)展的全過(guò)程。“倍的認(rèn)識(shí)\"教學(xué)實(shí)踐表明，通過(guò)情境具身化建立模型聯(lián)結(jié)、結(jié)構(gòu)顯性化解構(gòu)模型要素、表征多維化完善模型建構(gòu)、應(yīng)用進(jìn)階化強(qiáng)化模型功能，能有效促進(jìn)學(xué)生模型意識(shí)的發(fā)展。這一路徑不僅適用于“倍”的教學(xué)，也可為其他數(shù)學(xué)概念（如加法、乘法、速度）的模型化教學(xué)提供借鑒一讓學(xué)生在\"從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)\"的抽象中感知模型的存在，在“從具體到一般”的概括中理解模型的本質(zhì)，在“從單一到多元”的應(yīng)用中體會(huì)模型的力量，真正形成用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1][2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

【注：本文系2021年度廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題“小學(xué)‘深趣數(shù)學(xué)’教學(xué)研究”（編號(hào)：2021YQJK113）2024年度廣東省中小學(xué)教師培訓(xùn)中心科研課題“基于情知互動(dòng)的深趣教育模式：課堂教學(xué)實(shí)踐與研究\"（編號(hào)：GDSP-2024-C025）的研究成果?！?/p>