基于UbD理論培育初中生數(shù)學抽象素養(yǎng)的實踐研究

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，抽象能力是初中數(shù)學核心素養(yǎng)之一。抽象是數(shù)學思維的基本特征，也是數(shù)學的基本思想方法。培育數(shù)學抽象素養(yǎng)，對學生適應未來社會具有重要意義。然而，在當前的數(shù)學教學中，就題論題的現(xiàn)象經常出現(xiàn)。，教師往往只關注性質本身，卻忽略了性質的產生、發(fā)現(xiàn)過程以及不同函數(shù)性質間的聯(lián)系，這就使學生不能掌握函數(shù)性質的普適性研究方法。而UbD（UnderstandingbyDesign）理論是基于追求理解的教學設計，在方法上倡導逆向設計，以教學預期目標為設計的起始，先預設評價標準，再設計學習活動[，這就使學生能真正理解所要學習的知識，并將其遷移到新的環(huán)境和挑戰(zhàn)中。下面，筆者以“函數(shù)性質\"教學為例，闡述如何基于UbD理論系統(tǒng)性地提升初中生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

一、基于UbD理論培育初中生數(shù)學抽象素養(yǎng)的策略

UbD理論倡導“理解為先”，這對初中生的數(shù)學學習以及問題解決具有指導意義。在具體教學中，教師可采用以下策略，以更好地培育學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

（一）以理解為中心進行單元整體教學設計

初中生的數(shù)學抽象能力弱的主要原因是理解比較單一，縱向不深、橫向不廣，而要真正解決問題卻需要系統(tǒng)思維。因此，在教學中，教師首先要建立知識網絡、知識系統(tǒng)，重視單元整體教學，培養(yǎng)學生立體化的整體思維。例如，在教學“一次函數(shù)的性質\"時，教師應站在函數(shù)系統(tǒng)的高度，從普適性的角度來統(tǒng)領一次函數(shù)特殊性的學習，使學生在研究方法和研究路徑上獲得豐富經驗，同時激發(fā)學生提升系統(tǒng)思維和創(chuàng)新思維。

（二）以學生為中心進行基于認知心理的教學設計

很多教師更加關注教，課堂進行順暢，可一到做題，學生卻做不出來，其主要原因是教師不知道學生在理解上遇到了哪些問題，未從學生角度進行教學。這就是一個數(shù)學認知心理學問題。因此，在教學中，教師應以學生為中心，關注學生學習認知過程的難點與關鍵點，充分發(fā)揮學生的主體作用，引導學生跨越每一個難點。同時，由于每個學生的學習認知心理是不一樣的，除了關注學生整體的共性外，教師還要關注學生個體，并給予適當?shù)膸头龊鸵龑А?/p>

（三）以實踐為中心進行問題解決教學設計

上課講解例題時，學生容易掌握，這是因為知識單一，而面對綜合問題時，學生往往無從下手。后者涉及綜合、復雜的思維突破，其中蘊含著大量的數(shù)學抽象思維以及情感態(tài)度因素，需要循序漸進地推進問題解決。因此，教師要高度重視問題解決，以項自式學習的方式組織實踐活動，引導學生在實踐中提升數(shù)學抽象素養(yǎng)。

二、基于UbD理論培育初中生數(shù)學抽象素養(yǎng)的路徑

“函數(shù)性質”的學習對初中生的數(shù)學抽象素養(yǎng)培育具有典型性，因此，筆者以其教學為例具體闡述基于UbD理論培育初中生數(shù)學抽象素養(yǎng)的路徑。

（一）評價先行，讓數(shù)學抽象素養(yǎng)的培育更具導向性

評價對教學具有激勵性和導向性，有效的評價既能給予學生及時的成長反饋，又能促使教師根據學生的學習表現(xiàn)作出精準的教學決策。在設計評價時，教師需要明確以下兩點。

1.明確預期結果，搭建學生成長燈塔

此環(huán)節(jié)又可細分為如下三個步驟

（1）建立“知能”學習目標，做到心中有標從知識層面入手，對一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)性質的教學要做到全面，包括“定域為先”（定義域優(yōu)先）增減性（數(shù)與形的表征變化）等，讓學生體會到各類函數(shù)的普適性與特殊性

（2）掌握“統(tǒng)領”研究方法，做到手中有法。對三類函數(shù)，要充分關注函數(shù)表達式中的常量與變量，以及每個函數(shù)的特異性（本質），如一次函數(shù)（k：直線上任意兩點保持同樣的變化率）反比例函數(shù)（k：圖象上任意兩點的變量乘積相等）二次函數(shù)（對稱性），從而保持研究方法的連續(xù)性。

（3）學會“辯證”思維方式，做到腦中有尺。引導學生在開闊眼界、提升眼力的同時，學會用數(shù)學的方式系統(tǒng)“看\"問題，能用與“函數(shù)”概念有關的知識去剖析一般要素與核心要素的關系，進而能用發(fā)展的眼光看待問題，體會函數(shù)性質的本質。

2.確定評估證據，建立學習質量標準

此環(huán)節(jié)又可細分為如下三個步驟

（1）拆解“表現(xiàn)性”任務，架構學教著力點。“函數(shù)性質”的教學從研究對象（函數(shù)表達式）開始，會畫出三種函數(shù)的圖象，要求學生感受函數(shù)圖象及其變化趨勢，能夠總結出函數(shù)的性質（核心性質）：一是以“形\"表“數(shù)”，即從函數(shù)的圖象表征歸納性質；二是以“數(shù)”釋“形”，即通過對函數(shù)解析式的理性推演來論證性質。

（2）理解“六側面”內涵，創(chuàng)建學力觀察點。教師要仔細領悟UbD理論強調的“解釋”“闡明”“應用”“洞察”“神入\"“自知\"這“六側面”的內涵，并通過紙筆、問答等思維呈現(xiàn)的方式，檢測學生抽象素養(yǎng)的層次，發(fā)現(xiàn)學習堵點，從而決定訓練路徑，更好地促進學生成長。

（3）設計“可評估\"指標，明確成長衡量點。要科學評價學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，最關鍵的是制訂可評估、可操作、可測量的指標。函數(shù)性質指向的數(shù)學抽象素養(yǎng)包括數(shù)感、量感以及從具體到一般的抽象，從算術思維到代數(shù)思維是培育數(shù)學抽象素養(yǎng)的關鍵

（二）過程精細，讓數(shù)學抽象能力的淬煉更具操作性

數(shù)學的抽象體現(xiàn)在無法具象，導致學生難以感知與理解，因此，數(shù)學探究的推演過程顆粒度越細，越能促進學生的理解力內化與抽象力外顯。在細化推演過程時，教師需要明確以下三點。

1.發(fā)現(xiàn)屬性規(guī)律，概括函數(shù)性質的內涵

此環(huán)節(jié)又可細分為如下三個步驟

（1）分析要素邏輯，提煉本質和關鍵。如，可以通過描點法來畫出一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，通過不完全歸納法得出函數(shù)的性質（即數(shù)形結合），通過觀察各類函數(shù)圖象上的點對應的數(shù)之間的關系，來感受靜態(tài)（相等或不等）和動態(tài)關系（增減變化）

（2）核心要素關聯(lián)，明晰中樞和指向。通過改變相關要素k，讓學生感受一次函數(shù)的圖形形狀（直線）反比例函數(shù)的圖形形狀（雙曲線）、二次函數(shù)的圖形形狀（拋物線），體會影響直線的因素是傾斜程度，影響雙曲線的因素是乘積相等，影響拋物線的因素是開口、對稱軸等

（3）次要要素輔助，驅動轉換和表征。讓學生感受到次要要素的恒定不變性，從而調整系數(shù)（常量）的變化，感受兩個變量的依賴關系，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調性（初中稱之為“增減性\"）是函數(shù)的核心性質。例如，一次函數(shù)是線性，反比例函數(shù)是中心對稱，二次函數(shù)是軸對稱。

2.剖析差異特征，統(tǒng)攝函數(shù)系統(tǒng)的關系

此環(huán)節(jié)又可細分為如下三個步驟。

（1）梳理性質內容，重視遷移應用。一次函數(shù)的圖象與性質研究具有重要意義，一定要保證完備性，比如函數(shù)三要素、增減性等。這是因為即使算術結果是一致的，但是若缺乏代數(shù)思維，學生就不會遷移研究反比例函數(shù)和二次函數(shù)?？梢?，函數(shù)性質的統(tǒng)領具有重要作用。

（2）剖析性質層次，完備表征關系。在研究函數(shù)的性質時，最容易忽略函數(shù)的構成三要素，而更多地關注函數(shù)的增減性。如果學生沒有嚴格的“定域為先\"的意識，就會仍舊采用算術思維，這樣后續(xù)學習反比例函數(shù)、二次函數(shù)時就會不斷出錯。

（3）對比性質差異，提煉認知結構。在學習一般函數(shù)的概念和性質時，教師就要把問題講清楚，說明什么是函數(shù)的性質，特別是如何通過函數(shù)表達式、圖象得到函數(shù)的性質，以及如何探究。這樣，在后續(xù)的一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)），以至反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學習中，學生就會對比性質之間的差異，懂得如何獲得、如何應用，不斷地完善性質的認知結構。

3.聚焦遷移應用，發(fā)展解決問題的素養(yǎng)

此環(huán)節(jié)又可細分為如下三個步驟

（1）從一般到具象，發(fā)展概括抽象力。從小學到初中，學生學習上最大的障礙就是“字母”的參與，這是因為字母可以代表不同的數(shù)，并且這些數(shù)是動態(tài)變化的，過于抽象。因此，教師要通過符號意識的培養(yǎng)，加強學生對變量（字母）常量（數(shù)字）關系的理解，使其體會一般性與特殊性的關系，并通過完全歸納推理和不完全歸納推理來切換。

（2）從數(shù)值到符號，增強轉化抽象力。對“函數(shù)性質”的學習，學生要回到“函數(shù)”概念的理解，特別是函數(shù)值的學習上。教師可選取不同的自變量對應值、因變量對應值，讓學生感受函數(shù)的變化，并讓學生根據選取的函數(shù)值繪制圖象，感受“數(shù)”與“形”的表征關系，從而降低抽象難度。

（3）從復雜到模型，提升關聯(lián)抽象力。解決復雜的實際情境問題最能發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力，體現(xiàn)學生對變量與變量之間依賴關系的理解。例如，將復雜函數(shù)轉換為“標準”函數(shù)，能體現(xiàn)學生降解“抽象\"的能力，該過程可發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

（三）思維創(chuàng)新，讓數(shù)學抽象意識的生成更具選代性

數(shù)學的創(chuàng)新力來自抽象感悟的升級，這就要求教師引導學生在不斷的探索中提升抽象意識，激發(fā)大膽想象力和精深創(chuàng)造力。在引領思維創(chuàng)新時，教師要把握學生的認知起點，并明確以下三點。

1.采集學習軌跡，評估學生成長“駐點”

此環(huán)節(jié)又可細分為如下三個步驟

（1）留存目標達成，定格學力層級。根據評估指標，設計紙筆或問答的測評問題，并做好編號、編碼。按照知能的分類，進行必要的測評。如根據獲得函數(shù)性質的研究路徑、函數(shù)性質的應用與遷移、函數(shù)性質的單元關系等知識，設計不同層次的試題，對學生進行檢測，記錄測評數(shù)據并定格學力層級。

（2）洞察學習狀態(tài)，實行分類評判。對數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展的評判，主要是看學生解決問題的抽象過程，包括拆解問題、建構模型、實施解決策略等。教師要仔細對照學生的抽象過程，將它們進行分類評判，如將能夠按照自己的方式進行“解釋”“闡明\"定為基礎層級，將能夠充分地“應用”“洞察”定為中等層級，將能在此過程中“神入”“自知”定為高階層級。

（3）捕捉心流神入，指向理解心理。紙筆或問答測評指向的主要是理解的心理和心力變化，即如何進行思維。這需要教師將審視拆解、轉換歸納、要素協(xié)同、策略解決、代數(shù)運算、觀點表達等嵌人不同心理代表的編碼數(shù)值，制訂出有效的評價量表。

2.反哺學習證據，決策學生發(fā)展“練點”

此環(huán)節(jié)又可細分為如下三個步驟

（1）解釋數(shù)據現(xiàn)象，揭示學力程度。教師可根據前一環(huán)節(jié)測評出來的數(shù)據，按照之前設計的“密碼本”進行現(xiàn)象解讀，并對應學力標準。數(shù)學抽象素養(yǎng)等級設計越是細致、豐富，就越是能呈現(xiàn)出學生的思維過程。這樣也更容易發(fā)現(xiàn)學生存在的問題，便于及時采取措施。

（2）闡明數(shù)據表征，診斷抽象指數(shù)。教師可基于SOLO分類理論，將測評指標分為前結構層次、單點結構層次、多點結構層次、關聯(lián)結構層次、抽象拓展層次，并根據學生前一環(huán)節(jié)測評出來的數(shù)據診斷出其數(shù)學抽象素養(yǎng)水平。

（3）匹配訓練路徑，自建適應模型。教師可根據前一環(huán)節(jié)測評出來的數(shù)據，描繪出學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的表現(xiàn)軌跡，并建立決策模型，以決定學生是繼續(xù)訓練改進，還是鞏固練習原測評點。值得注意的是，教師需要提前建立訓練資源題庫，并提供個性化的訓練路徑，以引導學生建構自適應模型

3.追蹤學習行為，強化學生進階“改點”

此環(huán)節(jié)又可細分為如下三個步驟

（1）基于問題再練，評估抽象能力。通過測評發(fā)現(xiàn)學生在數(shù)學抽象上的問題后，教師可針對相關問題，匹配更加細致、精準的訓練，讓學生進行必要的改進練習。如要培養(yǎng)拆解問題能力，可從審題入手，讓學生通過滑讀法對函數(shù)性質進行拆解、完成信息轉換等。

（2）重視拓展遷移，發(fā)展抽象思維。由于無法理解代數(shù)思維，學生覺得“函數(shù)性質\"學習具有抽象性。最好的解決方式就是“去抽象化”，通過數(shù)形結合的方式讓學生看得見、感受得到。當然，教師也不能局限于單一處理，而要適當?shù)剡M行復雜化處理，將簡單函數(shù)變成復合型函數(shù)，以發(fā)展學生的數(shù)學抽象思維。

（3）對比實驗效果，進階抽象素養(yǎng)。通過實施班級對照教學，筆者發(fā)現(xiàn)實驗班學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)明顯高于普通班，特別是問題解決能力。這是因為在問題拆解以及解決的過程中，學生通過反復思考、討論、探究，使抽象思維能力有了很大提升。

三、教學反思

在基于UbD理論培育初中生數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學實踐中，筆者認識到該理論還可應用于其他方面的教學。一是培育數(shù)學其他素養(yǎng)。比如，可將幾何直觀、邏輯推理等素養(yǎng)的培育有機融人日常教學，按照上述模式對學生進行結構化的訓練，發(fā)展學生的綜合能力。二是增強數(shù)學抽象素養(yǎng)的跨學科遷移。不論哪個學科，學生的學習都存在知識的理解、問題的拆解、模型的建構，教師可將它們與數(shù)學學習有機結合起來，引導學生形成抽象聚合思維，進而得到更全面的發(fā)展?！?/p>

參考文獻：

[1]威金斯，麥克泰格.追求理解的教學設計：第二版[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學出版社，2017：18-21.