小學高年級學生直觀思維培養(yǎng)的實踐探索

直觀思維是指借助視覺感知、空間想象和具象操作理解數(shù)學關系的思維方式，是突破認知瓶頸、聯(lián)通數(shù)學生活、提升思維進階的重要載體。在當前“圖形與幾何\"的教學中，直觀思維的培養(yǎng)面臨多重困境。其一，學生過度依賴公式與標準分割步驟，陷入“分割一計算\"的線性流程，缺乏對最優(yōu)路徑的策略性探索，直覺的創(chuàng)造性被壓制。其二，學生雖然能將生活問題抽象為數(shù)學模型，卻難以反向將數(shù)學結論遷移至復雜現(xiàn)實情境中，直觀思維淪為一次性工具。其三，教學中，或偏重直覺啟發(fā)而忽視驗證，或強調邏輯嚴謹而壓制直覺探索，直覺與邏輯失衡，缺乏“假設生成一數(shù)據(jù)驗證\"的雙向閉環(huán)。其四，現(xiàn)有教學多聚焦靜態(tài)圖形的分解，忽視通過平移、旋轉等圖形運動探究圖形規(guī)律，動態(tài)想象的培養(yǎng)缺位，限制了學生空間觀念的縱深發(fā)展。上述問題的癥結在于，教學未將直觀思維視為邏輯推理的起點與約束，割裂了直覺與邏輯的共生關系。因此，構建“直觀啟發(fā)一邏輯驗證一動態(tài)深化\"的一體化路徑成為突破教學瓶頸的關鍵。

北師大版教材五年級上冊中的“組合圖形的面積\"這一內容是培養(yǎng)學生直觀思維的重要載體。本節(jié)課要求學生對組合圖形的特征作出分析和判斷，發(fā)展空間想象力，找到求組合圖形面積的方法。同時，通過對比、分析多種解題方法，訓練思維的靈活性，得出更優(yōu)、更簡便的方法。教學這一內容時，教師可依照“情境激活一表象操作一抽象建模一批判反思\"的教學路徑，設計多元的教學活動，以促進小學高年級學生直觀思維與邏輯思維的協(xié)同發(fā)展，落實數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、學情診斷，明確認知與思維起點

在教學“組合圖形的面積”內容之前，教師首先開展診斷性評價，以了解學生的認知基礎。測評內容包括四個問題：（1）你學習“多邊形的面積”單元后有什么收獲？（2）你是怎么理解組合圖形的？（3）你認為組合圖形在生活中有哪些應用？（4）你想研究哪些組合圖形的面積？學生可以選擇自己感興趣的問題進行回答。

通過對診斷內容的梳理，教師明確了學生的認知起點。第一，學生較好地掌握了基本圖形的面積公式。全班45人中，有35人能靈活應用平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，能夠熟練計算常見圖形的面積；有28人能清晰闡述面積公式的推導過程，并能夠解釋其推導邏輯，如通過倍拼法將三角形轉化為長方形；有30人關注到多邊形面積可以用面積單位來度量；還有13人關注到多邊形之間的關系，對“等積變形”有了初步認識，如將三角形面積與平行四邊形面積建立聯(lián)系。第二，學生能運用分割法、數(shù)方格法等基本方法，計算簡單不規(guī)則圖形的面積，理解“轉化思想”。第三，學生能將面積計算與生活場景結合起來，如結合面積計算解決房間鋪地磚、窗簾尺寸設計等問題，初步建立數(shù)學與生活的聯(lián)系。

此外，根據(jù)學生對第三個問題的回答可知，高年級學生更希望解決在學校、家庭和社會生活中會遇到的問題。如活動區(qū)域、教室、綠化帶、油漆門窗等面積的計算，以及其他與組合圖形面積相關的系列問題。

綜上，基于對診斷性評價結果的梳理，“組合圖形的面積\"的教學應從以下幾方面入手：第一，強化基礎邏輯，通過對比分析深化學生對公式本質的理解，避免機械記憶；第二，采用系統(tǒng)化分割策略，引導學生從多角度分割圖形，培養(yǎng)學生的優(yōu)化思想；第三，聯(lián)結實際生活與跨學科資源，引入真實案例，讓學生體驗組合圖形計算的實用性；第四，鼓勵創(chuàng)造性思維，設計開放性問題，激發(fā)學生通過組合、變換探索圖形關系。

二、情境浸潤，搭建直覺支架

直觀思維的建立依賴過往的知識、經(jīng)驗。為了讓學生充分發(fā)揮數(shù)學想象，教師教學時需以現(xiàn)實原型為基礎進行數(shù)學化加工。在“組合圖形的面積”的教學中，教師為學生提供了貼近生活的數(shù)學素材和場景，讓學生通過觀察校園內“M形綠地\"獲得直觀經(jīng)驗。

在課前診斷中，學生提出了很多與校園環(huán)境相關的數(shù)學問題。如：“桐蔭樂園\"的面積有多大？綠植可以制造多少氧氣？要粉刷修遠樓的墻壁，需要多少油漆？知行樓前、博雅樓旁的綠化面積是多少？基于此，教師順勢出示學校知行樓前綠地的圖片，并提問：“看知行樓前面的綠地，想一想，它是什么樣子的？嘗試畫出它的形狀?！庇纱耍谡鎸嵉那榫持?，為學生搭建直覺支架。學生在教師的引導下，先觀察、想象，然后動手畫一畫，從而從實物圖形中抽象出平面圖形。之后，教師再引導學生聚焦“求知行樓前面M形綠地的面積”，正式引入直邊圖形的面積計算。

三、探究活動，聯(lián)通直覺與想象

在小學數(shù)學教學中，以可視化的形式聯(lián)通直覺與想象，能夠將抽象的數(shù)學知識具象化，有助于學生理解數(shù)學的本質。本內容的教學采用小組合作探究的方式實現(xiàn)直覺與想象的可視化聯(lián)通，具體可分為以下四個環(huán)節(jié)。

1.教師出示任務：選用工具測量組合圖形（如圖1）的面積，測量結果保留整數(shù)。要求：（1）采用畫、折、剪、量、說等多種方法進行測量；（2）小組分工匯報。

2.小組自主活動，教師適度指導（計時6分鐘）。3.小組匯報，要求每人說一種方法，而且要關注不同方法之間的聯(lián)系。

生1：我們組通過研究一共發(fā)現(xiàn)了四種方法。第一種方法是數(shù)方格。如圖2所示，將透明方格紙覆蓋在圖形上，數(shù)這個圖形占了幾個格子。數(shù)的時候要把不滿格的部分填補完整來計算格子數(shù)。數(shù)方格的方法不但簡單，而且是最通用、最本質的方法。

生2：第二種方法是將組合圖形拆分為兩個三角形，分別計算它們的面積。然后將這兩個三角形的面積加起來，就能得到組合圖形的面積（如圖3）。

師：你能給這種方法起個名嗎？

生2：分割法。也就是把組合圖形拆分為幾個基本圖形，將各個基本圖形的面積相加就能得到組合圖形的面積。當然計算時，分割的圖形越少越好。

生3：將組合圖形分割成基本圖形后，為了便于計算，還可以把它們再拼成一個新的基本圖形。如將它分割為兩個梯形后，還可以把這兩個梯形拼成一個長方形（如圖4），或者平行四邊形、梯形等。我們給這種方法起名為\"割補法”。

師：分割以后，這些圖形無論怎么移動，它的面積都是不變的。割補法在分割法的基礎上又進行了簡化和優(yōu)化，彰顯了數(shù)學的簡潔美。

生4：我的方法是添補法。組合圖形的面積可以看作一個長方形面積減去一個三角形的面積（如圖5）。

生4：以上四種方法，除了第一種方法是第四單元學習時常用的方法，其他三種方法都是把組合圖形轉化為我們常見的基本圖形，將未知的知識轉化為已知的。以上是我們組的匯報，還有其他同學有補充嗎？

生5：我想將上面幾種方法進行比較。數(shù)方格法如果遇到不是整格的情形，借助第四單元的方法來數(shù)可以更準確；添補法是用大面積減去小面積；分割法是將組合圖形分成若干個基本圖形，求這些圖形的面積和；割補法則是先將不規(guī)則圖形分成若干個基本圖形，再將幾個基本圖形拼成一個大的基本圖形。

4.反思總結。

在探究活動中，學生想出了諸多解題方法，并將思考過程用語言和畫圖的方式呈現(xiàn)、分享與補充。這一過程不僅提升了學生的數(shù)學語言表達能力，還創(chuàng)造出一個全班參與的數(shù)學分享空間，有效地調動了學生的學習積極性。

四、變換情景，概括直覺現(xiàn)象

在借助探究性活動，將內隱的直觀思維外顯之后，還可以運用變式練習，進一步深化學生對圖形本質的理解。教學中，教師可通過引入動態(tài)幾何要素，引導學生突破靜態(tài)思維的局限，從運動不變性的視角重構空間認知?；诖?，在學生掌握了組合圖形面積的基本計算方法后，教師設計了“三角形底邊不變，頂點移動\"的變式練習，引導學生觀察圖形的變化規(guī)律，深入理解測量的運動不變性本質。

教師提問：“觀察三角形等積變形的規(guī)律（如圖6），用運動的眼光看，圖形會有什么變化？三角形變化的規(guī)律對求組合圖形面積有什么啟發(fā)？”

教師引導學生嘗試用口頭表達內心想法。有部分學生聽后恍然大悟，但也有部分學生仍不能理解。此時，教師借助幾何畫板展示圖形的變化：將點A移動到點B，使組合圖形中的點A和點 B 重合。原來左邊部分的兩個三角形，經(jīng)過等積變形就形成了一個大三角形。求上下兩個三角形的面積，就是求左邊最終形成的大三角形的面積。而這個大三角形又能和右邊的長方形組合變成一個梯形。（如圖7）

學生小結變化規(guī)律：基本圖形的形狀不變，位置移動，面積不變；基本圖形的形狀、位置都發(fā)生改變，面積也有可能仍不變。

通過變式練習，學生在生動的圖式中更加深刻地理解到運動的不變性這一測量的本質，從而豐富了對數(shù)學的理解與認識。這種動靜結合的教學方式，不僅能使學生深刻理解三角形面積公式的本質含義，還能引導他們將這種思維方式遷移到其他組合圖形面積的計算中，培養(yǎng)了學生的空間觀念和邏輯思維。

五、動手操作，檢驗直觀感知

面對復雜組合圖形的面積計算，如果單純依靠形態(tài)特征來分割圖形，容易造成分割時出錯，即看似合理的劃分實則違背數(shù)學規(guī)律。為了避免學生因視覺慣性陷入認知誤區(qū)，教師需要引導學生建立雙重驗證機制。先通過結構分析建構圖形要素，識別其可能包含的長方形、三角形等基本圖形單元。再建立數(shù)據(jù)驗證意識，通過標注尺寸，檢驗分割后各部分圖形的幾何關聯(lián)性。

本內容教學中，教師出示如下具有易錯點的組合圖形計算問題。

清清在計算上面圖形的面積時，采用了如下方法。7.2×6÷2=21.6（cm²） 4×3÷2=6（cm²） 21.6+6=27.6（cm²） 清清的做法對嗎？如果對，請你幫他加上輔助線。如果不對，請你再正確解答。

教師要求學生獨立計算，并對比分成兩個三角形與分成一個長方形和一個梯形兩種計算方法的結果為什么不同。在學生出現(xiàn)疑惑和錯誤時，引導學生通過學具操作進行驗證和分析，從而幫助他們

發(fā)現(xiàn)問題的根源。

通過實際操作，學生能夠直觀地看到自己的錯誤所在，意識到在對組合圖形進行轉化時，不僅要關注組合圖形的結構，還要關注組合圖形的數(shù)據(jù)。這種在試錯、討論中建構知識體系的教學方式，不僅加深了學生對組合圖形面積計算方法的理解和掌握，還培養(yǎng)了學生的批判性思維和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。

六、反思引導，構建直觀思維鏈

本內容的教學結束后，教師引導學生進行探究反思，由此總結出一條從具體操作到抽象轉化、從方法多元到策略優(yōu)化、從知識聯(lián)結到生活建模的清晰的思維鏈。

首先，通過分解與重組，搭建空間思維發(fā)展的階梯。在分解圖形時，部分學生把組合圖形拆解成2個三角形與1個長方形，分別計算面積再求和，體現(xiàn)從整體到局部的觀察習慣。在動態(tài)重組時，有的學生巧妙運用平移、旋轉，將圖形上的小三角形割補成規(guī)則的長方形。如此，學生在等積變形的討論中，理解了“面積不變\"原則，從而為后續(xù)學習等積變換、相似圖形鋪路，實現(xiàn)從“靜態(tài)計算\"到\"動態(tài)構造\"的跨越。

其次，通過優(yōu)化與建模，奠定問題解決的基礎。實踐過程中，學生領悟到應根據(jù)具體問題選擇方法，形成了初步的數(shù)學建模思維。在識別圖形特征時，可依據(jù)圖形的形狀、結構選擇不同的方法：不規(guī)則圖形常用分割法，有明顯空缺或可補全圖形的則常用添補法。在評估策略時，可對比用不同方法計算的復雜程度，選擇簡便的方法。如此，助力學生實現(xiàn)從“具體計算\"到“抽象表達\"的跨越。

最后，通過批判與創(chuàng)造，提升思維品質。解題過程中，有學生不滿足單一方法，展開批判性反思。還有學生突破教材的限制，用圓形、異形構建組合圖形，實現(xiàn)創(chuàng)造性拓展。學生的思維品質由此得到顯著提升。

上述教學過程層層遞進，遵循“經(jīng)驗具象一抽象內化\"的認知規(guī)律，通過多元的活動設計，促進小學高年級學生直觀思維與邏輯思維的協(xié)同發(fā)展。未來，教師還可以從更多維度進行探索，如注重創(chuàng)新思維和實踐能力的培養(yǎng)、關注數(shù)學文化的滲透、運用AI輔助教學等，更好地培養(yǎng)小學生的直觀思維。

參考文獻：

[1]孫國春.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的改革意涵探析：以核心素養(yǎng)為邏輯基點[J].課程·教材·教法，2022，42（12）：39-46.

（1.清華大學附屬小學昌平學校2.陜西省西安市鳳景小學）