基于語言與思維共生的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)模式構(gòu)建

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式。數(shù)學(xué)語言作為表達(dá)思維的核心載體，以符號(hào)、公式、圖式、模型等多元形式，將抽象的數(shù)學(xué)思維具象化，以實(shí)現(xiàn)思維與表達(dá)的有效轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)思維是學(xué)生處理數(shù)學(xué)信息時(shí)的內(nèi)在思考過程，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心能力，其依賴數(shù)學(xué)語言得以呈現(xiàn)、發(fā)展與深化。在深度學(xué)習(xí)視角下，學(xué)生數(shù)學(xué)語言與思維的互動(dòng)不再停留于表層，而是學(xué)生在批判性理解、知識(shí)整合和遷移應(yīng)用中，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)把握和對(duì)復(fù)雜問題的創(chuàng)造性解決的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建語言與思維共生的深度學(xué)習(xí)模式，能夠幫助學(xué)生突破淺層學(xué)習(xí)的局限，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量。

一、數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)思維的協(xié)同發(fā)展機(jī)制

（一）數(shù)學(xué)語言：數(shù)學(xué)思維外化的關(guān)鍵媒介

數(shù)學(xué)思維是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)信息進(jìn)行加工處理的內(nèi)在過程，而數(shù)學(xué)語言則為數(shù)學(xué)思維的外在呈現(xiàn)提供了有效途徑。數(shù)學(xué)語言借助符號(hào)、公式、圖式、模型等多種形式，搭建思維與表達(dá)的橋梁。符號(hào)語言以簡潔性和通用性為顯著特征，能簡化數(shù)學(xué)思維的表達(dá)，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算得以高效開展，使學(xué)生能夠快速梳理數(shù)學(xué)對(duì)象之間的邏輯脈絡(luò)，形成緊湊的數(shù)學(xué)思維鏈條，從而有效避免自然語言可能引發(fā)的歧義，提升思維表達(dá)的準(zhǔn)確性[]。公式語言具有固定的符號(hào)組合與運(yùn)算邏輯，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象關(guān)系的精準(zhǔn)提煉，是廣泛應(yīng)用的通用規(guī)則。學(xué)生通過對(duì)公式的正向運(yùn)用、逆向推導(dǎo)，能夠鍛煉邏輯思維和運(yùn)算能力，深入理解數(shù)學(xué)概念間的內(nèi)在聯(lián)系。圖式語言將抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象直觀化，通過直觀的圖式表征，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮乃季S轉(zhuǎn)化為可視化的圖式，更好地把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系。模型語言是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜現(xiàn)象的簡化和抽象，學(xué)生通過提取關(guān)鍵數(shù)學(xué)要素，構(gòu)建出反映其本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，能有效提升抽象思維能力和應(yīng)用意識(shí)。

（二）思維發(fā)展：數(shù)學(xué)語言深化的內(nèi)在動(dòng)力

數(shù)學(xué)思維的發(fā)展對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的深化具有決定性作用，二者能在緊密互動(dòng)中實(shí)現(xiàn)共同提升。隨著數(shù)學(xué)思維從低階直觀感知向高級(jí)抽象邏輯階段過渡，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解就不再局限于表面，而是能深入本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系層面。這種思維的進(jìn)階，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言表達(dá)的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性有更高的追求[2]。學(xué)生不再滿足于簡單的描述，而是運(yùn)用更為規(guī)范、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)語言來闡釋數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、定理的內(nèi)涵以及不同知識(shí)模塊間的邏輯關(guān)系。

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生需要運(yùn)用分析、綜合、類比、歸納、演繹等多元思維方式，梳理問題的關(guān)鍵要素，構(gòu)建清晰的解題思路。為了將這一思維過程準(zhǔn)確地呈現(xiàn)出來，學(xué)生需要審慎斟酌每一個(gè)數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用，嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)表達(dá)的語法與邏輯規(guī)則，并在面對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)問題時(shí)靈活切換與之適配的語言表達(dá)形式，確保語言表達(dá)的準(zhǔn)確性和邏輯性。如此，學(xué)生不僅能夠?qū)?fù)雜的思維成果清晰呈現(xiàn)出來，還能實(shí)現(xiàn)從淺層次掌握邁向深層次內(nèi)化和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的目標(biāo)，進(jìn)而反向促進(jìn)自身數(shù)學(xué)思維朝著更高級(jí)、更成熟的方向發(fā)展。

二、基于語言與思維共生的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)模式構(gòu)建策略

（一）符號(hào)語言：從具象操作到抽象思維的轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)作為一門高度抽象且邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)始終是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的核心議題。數(shù)學(xué)語言作為數(shù)學(xué)思維的載體與工具，深刻影響著學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。符號(hào)語言以其簡潔性、精確性和抽象性，成為構(gòu)建并表達(dá)數(shù)學(xué)思維的載體。在深度學(xué)習(xí)模式下，學(xué)生不是機(jī)械記憶符號(hào)語言，而是通過對(duì)情境的對(duì)比分析，理解符號(hào)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)與邏輯關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從形式模仿到意義建構(gòu)的跨越。教師要精準(zhǔn)把握符號(hào)語言的特性，合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，賦予數(shù)學(xué)符號(hào)鮮活的生命力，引導(dǎo)學(xué)生從具象到抽象理解符號(hào)含義，同時(shí)利用豐富的實(shí)踐練習(xí)，幫助學(xué)生熟練運(yùn)用符號(hào)來解決數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生在解決問題的過程中強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)，構(gòu)建邏輯嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維體系[3]。

比如，在北師大版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)的“加與減”的教學(xué)中，教師可以緊扣符號(hào)語言的特性，分階段、有層次地開展教學(xué)。在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以模擬超市購物的場景，展示標(biāo)價(jià)15元的文具，引導(dǎo)學(xué)生思考，如何表達(dá)用20元付款后應(yīng)找回的錢數(shù)，順勢引出算式 20-15 ，讓學(xué)生在思考中明確“－”代表金額減少，“ + ”對(duì)應(yīng)金額增加，使學(xué)生在具象情境中感知運(yùn)算符號(hào)的含義，搭建起生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的橋梁。在講解算理時(shí)，教師也可以利用小棒、計(jì)數(shù)器等直觀教具，配合數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)進(jìn)行演示。以計(jì)算 32+23 為例，教師可以一邊操作計(jì)數(shù)器撥珠子，先在十位撥3顆珠子、個(gè)位撥2顆珠子表示32，再在十位增加2顆珠子、個(gè)位增加3顆珠子，同時(shí)在黑板上寫下對(duì)應(yīng)的數(shù)字與“十”符號(hào)。學(xué)生可以直觀地看到珠子數(shù)量的變化，理解相同數(shù)位相加的原理，從具象操作逐步過渡到對(duì)符號(hào)運(yùn)算的抽象理解。在練習(xí)階段，教師可以設(shè)計(jì)多樣化的題目，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)符號(hào)運(yùn)算規(guī)則的記憶，如：“停車場原來有120輛車，開走了37輛，現(xiàn)在停車場有多少輛車？”“圖書館原本有故事書85本，又新買了23本，現(xiàn)在圖書館里有多少本故事書？”展示題目后，教師可要求學(xué)生列出算式，使學(xué)生在解決問題的過程中熟練運(yùn)用符號(hào)語言表達(dá)思維過程，強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)。

（二）公式推導(dǎo)：基于探究實(shí)踐的數(shù)學(xué)邏輯建構(gòu)

數(shù)學(xué)公式作為數(shù)學(xué)知識(shí)體系的精華，是對(duì)客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的高度概括與精確表達(dá)，其推導(dǎo)過程蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法。進(jìn)行公式語言的推導(dǎo)，是學(xué)生構(gòu)建邏輯思維、掌握思維方法的關(guān)鍵。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生主動(dòng)參與，讓學(xué)生在實(shí)踐探究中展開多維思考，自主內(nèi)化知識(shí)，理解公式的內(nèi)在邏輯。教師要更新教學(xué)理念，以學(xué)生為中心，深化學(xué)生的過程性理解，將公式推導(dǎo)視為啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思維的契機(jī)，設(shè)計(jì)梯度合理的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中主動(dòng)推導(dǎo)公式，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從直觀到抽象的思維過程，深入理解公式的本質(zhì)內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

例如，在北師大版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“周長”的教學(xué)中，教師可以展示生活中各式各樣的物品，如長方形的相框、正方形的地磚等，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察觸摸，直觀感知物體邊線的封閉性和連續(xù)性的特征，進(jìn)而引出周長的概念，即封閉圖形一周的長度。之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位對(duì)自己身邊的規(guī)則圖形，如書簽、明信片等展開測量。學(xué)生可利用繩子或軟尺，圍繞圖形邊緣進(jìn)行貼合測量，記錄數(shù)據(jù)，形成“周長是一種特殊長度”的初步認(rèn)識(shí)，清晰認(rèn)識(shí)到周長與長度測量間的緊密聯(lián)系。

在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)周長計(jì)算公式的教學(xué)階段，教師可以以長方形為例，帶領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用直尺測量多個(gè)長方形物品的長和寬，并將數(shù)據(jù)清晰地記錄在黑板上，鼓勵(lì)學(xué)生基于測量數(shù)據(jù)，思考計(jì)算長方形周長的方法。學(xué)生在探究討論中可以發(fā)現(xiàn)將四條邊的長度直接相加，即長 + 寬 + 長 + 寬，可以計(jì)算出長方形的周長。教師可順勢引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形對(duì)邊的特點(diǎn)，向?qū)W生提問：“長方形的對(duì)邊具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能否運(yùn)用這一特性，對(duì)計(jì)算過程進(jìn)行簡化？”學(xué)生通過思考和討論，可發(fā)現(xiàn)借助乘法運(yùn)算能將長方形周長計(jì)算公式簡化為（長 + 寬） ×2 ，從而推導(dǎo)出長方形的周長計(jì)算公式。在學(xué)生掌握了長方形的周長計(jì)算公式后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以自主探究的方式推導(dǎo)正方形的周長計(jì)算公式，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行遷移應(yīng)用。這樣的教學(xué)過程通過公式語言訓(xùn)練，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和歸納能力，促使學(xué)生從多個(gè)案例中總結(jié)共性、歸納規(guī)律，進(jìn)而得出普適性公式，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

（三）圖式表征：可視化工具促進(jìn)思維結(jié)構(gòu)化

圖式語言作為數(shù)學(xué)語言的重要構(gòu)成，能以直觀的視覺表征，將抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系清晰呈現(xiàn)出來[4]。在深度學(xué)習(xí)視域下，圖式語言的價(jià)值不僅在于輔助學(xué)生理解知識(shí)，還在于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的深度建構(gòu)。圖式語言具有簡潔性和直觀性，既可以降低數(shù)學(xué)知識(shí)的理解難度，又能夠引導(dǎo)學(xué)生從表層認(rèn)知邁向深度理解，激發(fā)學(xué)生思維活力，提升學(xué)生思維品質(zhì)。這種“圖示一思維”的雙向互動(dòng)機(jī)制，可使深度學(xué)習(xí)在可視化工具的支持下得以真正實(shí)現(xiàn)。

比如，在北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“運(yùn)算律”的教學(xué)中，教師可以借助思維導(dǎo)圖，按運(yùn)算律類別，系統(tǒng)梳理加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律以及乘法分配律的定義與特征，將運(yùn)算律的推導(dǎo)過程、表達(dá)式、適用場景可視化。在繪制思維導(dǎo)圖的過程中，教師還可以融入真實(shí)的數(shù)學(xué)案例來將運(yùn)算規(guī)則具象化，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解抽象的數(shù)學(xué)規(guī)則。

以乘法分配律的教學(xué)為例，教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)購買文具的場景：鉛筆每支3元，筆記本每本5元，若給班上40名學(xué)生每人都購買1支鉛筆和1本筆記本，需要多少錢？這個(gè)問題可引導(dǎo)學(xué)生從常規(guī)思路和拆分思路進(jìn)行思考。常規(guī)思路：先算出每名學(xué)生購買文具的花費(fèi)，即 3+5=8 元，再乘以班級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，得到總花費(fèi)為 8×40=320 元，列綜合算式為（3+5） ×40 。拆分思路：分別算出全班學(xué)生購買鉛筆和筆記本的花費(fèi)，購買鉛筆花費(fèi) 3×40=120 元，購買筆記本花費(fèi) 5×40=200 元，再將兩者相加，120+200=320 元，列綜合算式為 3×40+5×40 。兩種算法結(jié)果相同，即 （3+5 ） ×40=3×40+5×40 .這便是乘法分配律 （a+b ） ×c=a×c+b×c 在生活中的直觀體現(xiàn)。如此可幫助學(xué)生簡化運(yùn)算，明確數(shù)量關(guān)系。

教師也可以引導(dǎo)學(xué)生自主繪制思維導(dǎo)圖，同時(shí)在課堂上一邊講解運(yùn)算律之間的邏輯關(guān)系，一邊指導(dǎo)學(xué)生豐富思維導(dǎo)圖的細(xì)節(jié)，如通過連線，標(biāo)記加法交換律與乘法交換律之間的相似性，凸顯兩者在交換運(yùn)算對(duì)象位置時(shí)運(yùn)算結(jié)果保持不變的共性；標(biāo)注加法結(jié)合律與乘法結(jié)合律在改變運(yùn)算順序以簡化運(yùn)算方面的一致性?？傊季S導(dǎo)圖這一圖式語言能幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系，使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到看似孤立的運(yùn)算律，在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠相互配合，形成完整的解題策略，這能幫助學(xué)生打破知識(shí)壁壘，構(gòu)建完整的運(yùn)算律知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，全面提升邏輯思維、歸納總結(jié)能力與知識(shí)遷移運(yùn)用能力，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。如此，學(xué)生得以深入理解運(yùn)算律的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用運(yùn)算律解決各種復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題，真正將知識(shí)內(nèi)化為自身能力，做到融會(huì)貫通和創(chuàng)新應(yīng)用。

（四）模型建構(gòu)：現(xiàn)實(shí)問題抽象化的思維遷移

數(shù)學(xué)模型語言作為對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的高度抽象與概括，不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，還是解決各類實(shí)際問題的有力工具。在深度學(xué)習(xí)視角下，數(shù)學(xué)模型語言的建構(gòu)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生自主探究，教師可引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)問題情境中經(jīng)歷“情境感知 $$ 抽象模型 $$ 應(yīng)用驗(yàn)證”的完整認(rèn)知循環(huán)，幫助學(xué)生內(nèi)化模型語言，梳理數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯，促使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用到多元場景中，拓寬思維視野。

例如，在北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“用方程解決問題”的教學(xué)中，首先，教師可以先創(chuàng)設(shè)貼合學(xué)生生活的問題情境，如：“班級(jí)組織購買文具，鉛筆每支2元，買了若干支，再加上總價(jià)5元的筆記本，一共花費(fèi)25元，買了多少支鉛筆？”其次，教師可組織學(xué)生分組討論，分析問題中的數(shù)量變化，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題中的數(shù)量關(guān)系，初步感知方程模型的應(yīng)用場景。最后，教師可以在黑板上梳理問題中的已知量和未知量，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)未知數(shù)，并闡述設(shè)未知數(shù)的目的，即把未知量當(dāng)作已知量，讓其參與到數(shù)量關(guān)系的表達(dá)中，如此可使學(xué)生建立正向邏輯思維。

在上述問題情境中，設(shè)買了 x 支鉛筆，依據(jù)題目已知條件，教師可以指導(dǎo)學(xué)生梳理題目關(guān)鍵詞，明確題目邏輯，從而依據(jù)“鉛筆總價(jià) + 筆記本總價(jià)Σ=Σ 總花費(fèi)”的等量關(guān)系列出方程 2x+5=25 。教師可詳細(xì)講解方程每個(gè)步驟的構(gòu)建依據(jù)，幫助學(xué)生理解構(gòu)建方程的基本邏輯。列出方程后，教師要指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等式的基本性質(zhì)求解方程，并將結(jié)果代入原問題進(jìn)行驗(yàn)證。在學(xué)生算出 x=10 后，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)結(jié)果在原問題情境中的意義，即表示購買的鉛筆的數(shù)量。通過實(shí)際操作，學(xué)生可理解方程的解的合理性。隨后，教師可以為學(xué)生提供新的問題情境，或讓學(xué)生自主改編題目條件，指導(dǎo)學(xué)生重新建立方程模型，促進(jìn)學(xué)生遷移應(yīng)用知識(shí)，在模型轉(zhuǎn)換中深化對(duì)數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的理解。

三、總結(jié)

綜上所述，數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的重要載體，符號(hào)語言、公式語言、圖式語言和模型語言不僅是表達(dá)數(shù)學(xué)概念和關(guān)系的工具，還是推動(dòng)學(xué)生思維發(fā)展的重要媒介?；谡Z言與思維共生的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)模式的構(gòu)建，要求教師將數(shù)學(xué)語言與學(xué)生的思維培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)思維成果時(shí)，不僅能夠檢驗(yàn)自身思維的合理性和準(zhǔn)確性，還能在不斷反思中深化思維，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

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作者簡介：吳春燕（1979一），女，甘肅省酒泉市玉門市第四小學(xué)。