萬變不離其宗的“新定義”

1思考

“新定義”問題在之前的高考數(shù)學(xué)壓軸題中并不起眼，但隨著2024高考全國卷揭開面紗，發(fā)現(xiàn)“新定義”問題已經(jīng)開始華麗轉(zhuǎn)身，成為考查學(xué)生核心素養(yǎng)能力的重要部分.面對紛繁復(fù)雜的“新定義”問題，應(yīng)該如何解題，又怎樣下手，也是學(xué)生亟待解決的數(shù)學(xué)思想問題.下面以“新定義”模塊融合題為例，闡述將“新”化“舊”，進(jìn)而揭示萬變不離其宗的“新定義”問題.

2高中“新定義”模塊融合題型解析

“新定義”問題，包含新概念、新公式、新定理、新法則以及新運(yùn)算五種，其中模塊融合題極易使用后三種方式進(jìn)行考查，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)學(xué)不同類型相關(guān)知識進(jìn)行問答.

2.1“新定義”與數(shù)列題結(jié)合

同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為：設(shè) a，b∈Z，m∈N^* 且 mgt;1. 若 m∣a-b 則稱 a 與 b 關(guān)于模 m 同余，記作 a≡b（modm ）（\"|”為整除符號）.

例1（1）解同余方程

（2）設(shè)（1）中方程的所有大于1的正根構(gòu)成數(shù)列 {a_n} ，其中 a₁23lt;…n

① 若 b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*） ，數(shù)列 {b_n} 的前 n 項和為S，求S2024；

② 若 c_n=tana_2n+1?tana_2n-1（n∈N^* ），求數(shù)列

{c_n} 的前 n 項和為 T_n

分析本題第二問是典型的數(shù)列問題，但有所不同的是在題目數(shù)列前出現(xiàn)了一個新定義，這個定義帶來了一種新的運(yùn)算法則，在這個運(yùn)算法則下的數(shù)字之間會呈現(xiàn)不同的數(shù)列規(guī)律.所以解題的關(guān)鍵就在于理解題目中的語言敘述，同時第一問將抽象的定義轉(zhuǎn)化為一個簡單的應(yīng)用，幫助使用新的運(yùn)算法則.第二問則是將得到的數(shù)字規(guī)律應(yīng)用在所學(xué)的數(shù)列基礎(chǔ)知識之中，體會新信息的本質(zhì)特征.題目難度不高，是典型的“新定義”問題，可以發(fā)現(xiàn)這種新定義背景下的問題其本質(zhì)還是數(shù)列問題，

解（1）由題意可知 ，要求解這個方程，首先理解符號 x（x-1）≡0（m d3）含義，為滿足使用條件，需要具備兩個標(biāo)準(zhǔn).第一，符號 ≡ 左側(cè) x（x-1） 與右側(cè)0關(guān)于模3同余；第二，關(guān)于同余定理的運(yùn)算法則也是標(biāo)準(zhǔn)之一， m∣a-b 對應(yīng)在這個具體題目中則是3 ∣x（x-1）-0 ，即x（x-1） 可以被3整除.所以可以得出有關(guān)方程解的兩個式子， x=3k 或 x-1=3k（k∈Z） ，即 x=3k 或 x=3k+1（k∈Z） ：

（2） ① 由（1）可知， Φ_a1=3，a₂=4，a₃=6，a₄= 7，…觀察數(shù)列角標(biāo)與數(shù)值間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn) =3n+3 ，列出新數(shù)列通項公式 b_2n=a_2n+1-a_2n=3n +3-3n-1=2，b_2n-1=a_2n-a_2n-1=3n+1-3n= 1，可以發(fā)現(xiàn)從第一項開始每兩項的數(shù)值循環(huán)，且和為定值.使用并項求和法得 b_2n-1+b_2n=3

所以 S₂₀₂₄=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b₂₀₂₃ +b₂₀₂₄）=3×1012=3036

②c_n=tana_2n+1?tana_2n-1=tan（3n+3） ·tan3n ，為使公式間相乘數(shù)值產(chǎn)生聯(lián)系，可以使用兩角差的正切公式 tan3=tan（3n+3-3n）=

故 tan3n]-1

即

tan（3n+3）-tan3n]-n.

化簡得

2.2“新定義”與解析幾何題結(jié)合

例2在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓0 與直線 ξ_l 相切，與圓 O：x²+y²=9 相交于 A，B 兩點.當(dāng) ξ_l 垂直于 x 軸時， .對于給定的點集 M，N ，若 M 中的每個點在 N 中都存在與之距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為 d（M，N） .若 M，N 分別為線段AB 與圓 O，P 為圓 O 上一點，當(dāng) ΔPAB 的面積最大時，求 d（M，N）

分析題目條件初看是解析幾何類型題，但深究其中發(fā)現(xiàn)需要在圓錐曲線大環(huán)境下求解“新定義”問題.另外，題目中的新定義屬于五種分類中的新概念.所以解答問題時，首先需要利用新概念下的有效信息，選擇合適的方法，再與已知的橢圓相關(guān)知識結(jié)合嘗試尋找思路，考查對于不同信息的遷移和處理能力.

解閱讀題目，直線 l 的斜率并不確定，所以需要分情況討論.（1）當(dāng)直線 ξ_l 的斜率不存在時， ，由題意可知

（2）當(dāng)直線 ξ_l 的斜率存在時，設(shè)直線方程為 y= kx+m ，與橢圓曲線聯(lián)立有 ，消去 ，得到 （3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0.

因為橢圓 與直線 ξ_l 相切，所以 Δ=（6km）²-4（3k²+1）（3m²-3）=0 化簡得 m²=3k²+1

又因為圓心 O 到直線 l 的距離為 所以 [1，3）即 ，

根據(jù)圓上一點到直線的最大值相關(guān)知識可知，

點 P 到直線 ξ_l 距離的最大值為 d+3 ， |AB|=

有 設(shè) ，求導(dǎo)

得 f^′（d）=2（3+d）²（3-2d） ，當(dāng) f^′（d）gt;0 時， 單調(diào)遞增，當(dāng) f^′（d）lt;0 時， 單調(diào)

遞減，所以當(dāng) ， （20

類比題目新定義，轉(zhuǎn)化信息，即若線段 AB 中的每個點在圓 O 中都存在與之距離最小的點，且所有的最小距離的最大值存在，則記此最大值為 d（M） ，N .解讀信息，即線段 AB 上的點到圓上一點距離的所有最小值中，存在一個最大值，所以反向思考，取線段上任一點 E，d（M，N）=3-∣OE∣_min ，則其最小值就是圓心 O 到直線 l 的距離.在此基礎(chǔ)上，為保證 ΔPAB 的面積最大， ，所以|OE丨min=，（204號

3結(jié)語

“新定義”模塊融合題可以看作是在原本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識上加入特定條件，在其大環(huán)境下運(yùn)用所學(xué)知識求解滿足題意的答案.其解題關(guān)鍵在于兩點，其一，理解題自信息，學(xué)會遷移應(yīng)用于具體的例子之中，其二在于掌握對應(yīng)與之結(jié)合題目類型的基礎(chǔ)知識，這不僅要求學(xué)生對所學(xué)知識了然于心，還需要學(xué)生能夠靈活應(yīng)用.掌握知識的本質(zhì)，就可以發(fā)現(xiàn)“新定義”問題的解決萬變不離其宗。