全概率題型的識別與答題策略

在新版的人教版數(shù)學教材中，概率知識部分新增了全概率，其定義是指計算一個事件發(fā)生的概率時，要考慮所有可能的情況及發(fā)生的概率，并將所有情況發(fā)生的概率相加所得的總概率.一般情況下會涉及分類和分步的情況，所以從基本題型來看，可以將題型分為多條路徑完成同一事情和一種方案完成多種事情，下面具體展開探究.

1多條路徑完成同一事情的情境

這種情況從完成事情過程分析，應該分兩步完成，第一步是選擇路徑，這里會產(chǎn)生選擇路徑的概率；第二步是選擇路徑后，按照路徑去完成事情，會涉及成功與否的情況，也會產(chǎn)生概率，整個事情形成全概率事件.

例1為了完成某項工程，有甲、乙兩個團隊可以選擇，選中哪個團隊是隨機的，已知甲團隊能按時完成的概率為 ，乙團隊能按時完成的概率為 .求該工程能按時完成的概率.

解已知選中甲團隊或者乙團隊來完成該項工程的概率均是

如果選中甲團隊，并且完成項目的概率為

而選中乙團隊，并且完成項目的概率是

選中甲團隊或者乙團隊屬于兩類不同的方案，所以兩個概率相加，則 中所以該工程能按時完成的概率為

評注選擇兩個不同的團隊完成同一件事情，在選擇團隊時會產(chǎn)生概率，選中團隊后，能否按照規(guī)定時間去完成項目又有概率，所以這是一個全概率問題.在解答問題時，可以采用全概率公式進行求解，也可以綜合利用分類加法原理和分步乘法原理，即甲團隊或乙團隊去完成，屬于分類，則應該進行概率加法處理，而選定團隊后去完成事情的過程屬于分步情況，即先選后做，應該采用乘法處理，所以概率為：選中甲團隊的概率 x 甲團隊按時完成的概率 + 選中乙團隊的概率 x 乙團隊按時完成的概率.

2一種方案選擇完成多種事情的情境

這種情境在選擇時會有概率，屬于分類情況，選擇要完成的事情后，要完成事情，這屬于分步情況，而完成事情時涉及成功與否的問題，也有概率問題，所以總體來說構(gòu)成全概率問題.

例2某校組織安全知識闖關(guān)比賽，每關(guān)有兩道題供選擇，選手隨機從中選擇一道進行回答，答對進入下一輪，答錯則直接淘汰.已知甲同學在第一輪時，能答對第一題的概率為 ，能答對第二題的概率為 .求甲同學通過該輪比賽的概率.

解由題意已知，甲同學要答題之前先要隨機

從兩道題中選一道題進行回答，則選中第一道題或

者第二道題的概率是相等的，都為 業(yè)

因為選中第一道題的概率是 ，而答對的概率為

所以選中第一道題并答對的概率為

又因為選中第二道題的概率是 ，而答對的概率為

所以選中第二道題并答對的概率為

則甲同學通過該輪比賽的概率為 中

評注一人選擇兩道題進行回答，選中第一道題，答對與否都有概率，選中第二道題，答對與否也有概率，則甲同學通過與否就等于兩種情況的概率之和，所以符合全概率模型.在解答問題時，可以直接應用全概率公式進行求解，也可以對分類加法原理和分步乘法原理進行綜合應用.對兩道題進行選擇，是分類問題，則應該對概率進行加處理，而選中題后進行回答，這一過程屬于分步進行，即先選后答，則對概率進行乘法處理.所以甲同學通過該輪比賽的概率為：選中第一題的概率 x 答對第一題的概率 + 選中第二題的概率 x 答對第二題的概率.

3以上兩種情境的綜合

例3某班為了參加學校組織的趣味乒乓球比賽，組建了由甲、乙、丙、丁4個人組成的乒兵球團隊.比賽按照闖關(guān)模式進行，每關(guān)從團隊中隨機選出一名隊員，再隨機從學校安排的兩名應戰(zhàn)者中選擇一名進行對打，打贏則進入下一關(guān)，否則淘汰.已知由甲、乙、丙、丁4個人組成的乒乓球團隊中，在第一關(guān)比賽中，甲能打贏兩名應戰(zhàn)者的概率分別為 和，乙能打贏兩名應戰(zhàn)者的概率分別為 和 品 ，丙能打贏兩名應戰(zhàn)者的概率分別為 和 ，丁能打贏兩名應戰(zhàn)者的概率分別為 和 求該班乒乓球隊通過第一關(guān)的概率.

解因為從甲、乙、丙、丁中選擇隊員闖關(guān)是隨機的，所以選中其中一人的概率是 業(yè)

兩名應戰(zhàn)者也是隨機選出一名，所以概率為

由已知，選中甲闖關(guān)，并且通過的概率為

選中乙闖關(guān)，并且通過的概率為

選中丙闖關(guān)，并且通過的概率為

選中丁闖關(guān)，并且通過的概率為

所以該班乒乓球隊通過第一關(guān)的概率為

評注該題前面是4選1，后面是2選1，在對戰(zhàn)中又涉及輸贏問題，屬于三步完成的事件，即第一步4人中選擇1人；第二步是2人中選擇一人；第三步是對戰(zhàn)成功與否，從整體上分析還是全概率問題.從問題結(jié)構(gòu)上看，該問題結(jié)合了前面兩種基本的形式，即從4人中隨機選擇1人，屬于4條路徑完成事件，而選定闖關(guān)者后，又要從應戰(zhàn)的2人中選1人，屬于一種方案完成多個事件，所以在解法上綜合前面兩種即可.

4結(jié)語

本文從全概率的定義和問題的結(jié)構(gòu)特征分析了全概率問題本質(zhì)，并提出識別依據(jù)一其基本結(jié)構(gòu)是一種方案完成多個事件和多條路徑完成一件事情.而在解題策略上，避開難以理解的全概率公式，利用分類加法原理和分步乘法原理進行求解，即路徑的選擇和方案確定所實施的事件屬于分類方法，而確定路徑，或者方案確定實施事件后，進行完成事件的過程屬于分步，即第一步是選擇，第二步是完成事情.

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