小學(xué)數(shù)學(xué)開放題研究：現(xiàn)狀、熱點與展望

20世紀(jì)80年代，以戴再平教授為首的學(xué)者們首次開始嘗試數(shù)學(xué)開放題的相關(guān)研究，并掀起了我國數(shù)學(xué)開放題研究的熱潮；但在近幾十年的研究歷程中，對小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的研究卻寥寥無幾.筆者在CNKI期刊網(wǎng)，以文獻“篇名\"為檢索項，以“小學(xué)數(shù)學(xué)開放題\"為檢索詞，采取“精確匹配\"方式進行檢索，時間跨度從2001年1月15日至2024年12月1日，僅檢索到文獻共107篇，其中期刊文獻98篇，博碩士論文6篇，會議論文3篇.可見我國對于小學(xué)數(shù)學(xué)開放題研究的理論體系還是相當(dāng)不完善的.從圖1中可以看出，2001—2024年間發(fā)文量的年度趨勢呈現(xiàn)出先降后升又降的趨勢，在2014年、2015年、2017年以及2018年研究熱度較高，這雖在一定程度上體現(xiàn)出了近些年研究者們對小學(xué)數(shù)學(xué)開放題研究的重視程度有所提升，但還是遠遠不夠的。

接下來，筆者將從小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的研究現(xiàn)狀與熱點出發(fā)，通過梳理、分析并對比相關(guān)文獻，系統(tǒng)論述當(dāng)前研究進展，總結(jié)已有成果，指出現(xiàn)有不足，預(yù)測未來趨勢，以期為研究者們提供研究方向和思路

1小學(xué)數(shù)學(xué)開放題研究現(xiàn)狀

筆者在對檢索到的文獻進行分類、匯總后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的研究內(nèi)容基本脫離不開對概念、特點與分類的研究.據(jù)此筆者將研究者們的研究成果進行了整合，得到如下結(jié)論.

1.1小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的概念

數(shù)學(xué)開放題，最初由日本學(xué)者提出，用英文“open-endedproblem\"來解釋，翻譯成中文為“結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題”.美國學(xué)者在翻譯以日本島田茂為首的學(xué)者于1977年發(fā)表的報告文集時，將書名譯為《TheOpen-EndedApproach—ANewProposalofTeachingMathematics》，意為“結(jié)論不確定的方法（方式）—數(shù)學(xué)教學(xué)的一種新建議\"]，將數(shù)學(xué)開放題定義為結(jié)論不確定的方法（方式）.

我國許多研究者對數(shù)學(xué)開放題給出了自己從不同維度出發(fā)的概念界定，但目前還沒有一種統(tǒng)一、明確地針對數(shù)學(xué)開放題的概念界定.筆者在對收集到的文獻進行整合、篩選之后，發(fā)現(xiàn)對小學(xué)數(shù)學(xué)開放題概念的界定大體分為以下幾種情況.

（1）答案不唯一的數(shù)學(xué)問題.大多數(shù)學(xué)者認為數(shù)學(xué)開放題具有答案不唯一的特征.日本學(xué)者澤田利夫先生認為：“有幾種正確答案似乎都帶有可能條件的問題，稱為未完結(jié)的問題、開放的問題.\"[2]我國學(xué)者劉學(xué)質(zhì)認為數(shù)學(xué)開放題是“有多種正確答案，結(jié)果是開放的問題”[3俞求是也將“答案不唯一的問題\"稱為開放題.[4]

（2）條件多余或不完備、答案（結(jié)論）不唯一的數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)開放題往往具備條件多余或不完備、答案（結(jié)論）不唯一等特征.王萬祥給出了這樣的概念界定：開放題是條件多余選擇，條件不足需補充或答案不固定的問題.[5孫耀庭的觀點是“開放型問題是指題目的條件不完備或結(jié)論不明確，從而蘊含著多種可能，要求解題者自行推斷”.[著名教育專家蔣宗堯先生也曾在《創(chuàng)新教學(xué)引論》一書中對開放題下了這樣的定義：“條件不充分或結(jié)論不確定的非常規(guī)題叫開放題.”

（3）答案（結(jié)論）不唯一、解題策略多樣的數(shù)學(xué)問題.戴再平教授提出“數(shù)學(xué)開放題是指那些答案不唯一，并在設(shè)問方式上要求學(xué)生進行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學(xué)問題”[7鄭毓信將“具有多種不同的解法，或者有多種可能的解答”稱之為“開放性”問題.

（4）條件開放、答案（結(jié)論）開放、策略開放的數(shù)學(xué)問題.有學(xué)者將數(shù)學(xué)開放題放在與封閉題相對的角度進行探討，認為開放題是相對于常規(guī)性封閉題而言的.戴再平說：“凡是具有完備的條件和固定的答案的習(xí)題，我們稱為封閉題，而答案不固定或者條件不完備的習(xí)題，我們稱為開放題.\"[8據(jù)此有的學(xué)者將數(shù)學(xué)開放題界定為：那些條件有盈虧、答案不確定或不唯一、有多種解題策略，有利于培養(yǎng)學(xué)生求異思維的數(shù)學(xué)試題.同時認為那些有多種解題策略的封閉題也可以看成是一種開放題.[9]

盡管許多學(xué)者都給出了獨特的針對數(shù)學(xué)開放題的定義，但筆者通過觀察、比較發(fā)現(xiàn)所有的概念界定都離不開“答案不唯一”，這正說明了數(shù)學(xué)開放題概念的核心是答案開放.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題其實就是將數(shù)學(xué)開放題放置于小學(xué)這一教學(xué)環(huán)境中進行教學(xué)實踐的載體，其本質(zhì)概念和數(shù)學(xué)開放題大同小異.

1.2小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的特點

（1）從結(jié)構(gòu)形式上看，劉萍、段志貴等學(xué)者認為數(shù)學(xué)開放題具有非完備性和不確定性.[10][11]傳統(tǒng)封閉題的條件是充分的，結(jié)論是固定的，而在小學(xué)數(shù)學(xué)開放題中，給定的條件多余或不完備、結(jié)論不準(zhǔn)確，都可能導(dǎo)致答案不唯一.

（2）從解答過程和解題策略層面看，小學(xué)數(shù)學(xué)開放題具有發(fā)散性、探究性、層次性、發(fā)展性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)性的特點.[12][13]

雖然小學(xué)數(shù)學(xué)開放題具有這么多的特點，但有學(xué)者認為數(shù)學(xué)開放題最基本的特征是開放性.開放性是指構(gòu)成題目的要素不是封閉的，也就是說，這些要素不是唯一確定不變的，有些是條件呈開放狀態(tài)，有些是問題呈開放狀態(tài)，有些是結(jié)論呈開放狀態(tài)，有些是解題策略呈開放狀態(tài).[14]

1.3小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的分類

眾多學(xué)者都對小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的分類給出了自己的分類依據(jù)，筆者在整合各文獻的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其分類大體分為以下幾種，

（1）依據(jù)數(shù)學(xué)開放題的取材、層次性與探索程度等角度，分為基礎(chǔ)型開放題、探索型開放題、知識型開放題、應(yīng)用型開放題.[15]

（2）依據(jù)命題要素，分為條件開放型、策略開放型、結(jié)論開放型、綜合開放型.戴再平教授認為一個數(shù)學(xué)開放題，若其未知的要素是假設(shè)，則為條件開放題;若其未知的要素是推理，則為策略開放題;若其未知的要素是判斷，則為結(jié)論開放題.有的問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結(jié)論都要求主體在情境中自行設(shè)定與尋找，這類題目為綜合開放題[16]，這種分類也是目前最受研究者們推崇的.

（3）依據(jù)題目設(shè)計的基本思路，分為“一題多解”型、“多余條件”型、“判斷說理”型、“實踐操作”型等.[17]

（4）按題目的編制方法，可分為條件不足的問題、逆的問題、變化與推廣的問題.[18]

（5）依據(jù)題目的開放度，分為弱開放題、中開放 題和強開放題.[19]

（6）按解題目標(biāo)，可分為找規(guī)律或關(guān)系、量化設(shè)計、分類與整理、舉例、數(shù)學(xué)建模、提問題、情境題、評價、一題多解.[20]

（7）依據(jù)解題目標(biāo)的操作模式，分為規(guī)律探索型、量化設(shè)計型、分類討論型、構(gòu)造對象型、數(shù)學(xué)建模型、問題探求型、情境研究型.[21]

（8）依據(jù)題目的解答要求，分為發(fā)現(xiàn)關(guān)系和法則的問題、有關(guān)對象的分類問題、實際背景數(shù)值化的問題、逆的問題、條件不足的問題、構(gòu)成性問題.[22]

（9）依據(jù)題目的解題目的，分為發(fā)現(xiàn)關(guān)系和法則的問題、分類的問題和數(shù)值化的問題.[23]

（10）依據(jù)答案的類型，分為有限可列型、有限混 沌型、無限離散型、無限連續(xù)型.[24]

（11）依據(jù)學(xué)習(xí)過程的訓(xùn)練價值，分為知識鞏固 型、信息遷移型、知識發(fā)生型.[25]

通過觀察比較可知，當(dāng)前學(xué)者對小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的分類雖然繁多，但分類的維度總體上是從數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計方面（命題要素、取材、設(shè)計思路、編制方法）本身特征方面（題目的開放度）、解題目標(biāo)方面（解題目標(biāo)、解題目標(biāo)的操作模式、解答要求、解答目的）、答案的類型方面以及學(xué)生學(xué)習(xí)價值方面進行劃分的.

2小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的研究熱點

筆者在檢索文獻時發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“小學(xué)數(shù)學(xué)開放題\"研究的文獻有53篇，其中關(guān)于“小學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)\"研究的文獻就占了22篇，接近一半.經(jīng)過整理、歸納，筆者發(fā)現(xiàn)這些文獻大體集中在對教學(xué)價值、教學(xué)策略和設(shè)計策略的研究，可以說針對這三個主題的研究是當(dāng)前研究的熱點.

在我國30年的數(shù)學(xué)開放題研究過程中，針對小學(xué)階段的教育實踐相對薄弱，成效不盡如人意.楊傳岡將其原因主要歸結(jié)為“五多五少”，并提出了具體的解決對策\"五多五重”[26]

2.1小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)價值

筆者在對楊傳岡[27]、何光峰[28]、陳楠[29]等學(xué)者的研究成果分類整理的基礎(chǔ)上，將小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)價值歸納為以下幾點.

2.1.1 教師層面

（1）轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念：因材施教，實現(xiàn)教學(xué)民主化.（2）轉(zhuǎn)變教學(xué)角色：成為設(shè)計者、組織者和管理者.（3）構(gòu)建師生關(guān)系：教師引導(dǎo)，學(xué)生主體

2.1.2 學(xué)生層面

（1）思考問題，培養(yǎng)思維品質(zhì).開放性問題有利于激發(fā)學(xué)生多角度、多方位、多層次思考問題，并從不同方向去探索問題，從而經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、掌握知識、內(nèi)化知識、主動建構(gòu)知識體系的過程，在這個過程中培養(yǎng)思維的深刻性、靈活性、發(fā)散性和批判性等良好品質(zhì).

（2）探索問題，強化創(chuàng)新意識與能力.一方面，有利于強化學(xué)生的創(chuàng)新意識.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)\"）中明確提出：“逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習(xí)慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識.\"[30]開放題答案不唯一，解題策略也不唯一.學(xué)生在解題過程中訓(xùn)練了多角度思考問題的意識，激發(fā)內(nèi)驅(qū)力，這一過程有助于其探究精神和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)與增強.另一方面，有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

（3）解決問題，提升問題解決能力.數(shù)學(xué)開放題的答案和解題策略具有多樣性.學(xué)生通過交流、討論不同水平的答案和策略，在持續(xù)優(yōu)化與迭代的過程中，鍛煉問題解決的縝密思維，從而提高問題解決能力.

（4）合作交流，積累活動經(jīng)驗.課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念之一就是幫助學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生在思考、討論、實踐、回顧、總結(jié)、分析解決問題的過程中，形成一定的有效經(jīng)驗；在下次遇到“類似”的習(xí)題時，能輕松調(diào)取相關(guān)經(jīng)驗進行解答.

（5）體驗成功，樹立自信心.開放題教學(xué)形式通過數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生體驗成功，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，從而樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.2小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)策略

針對小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)價值，許多學(xué)者提出了小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)策略，筆者總結(jié)了澤田利夫、戴再平、姚道亮、王斌等學(xué)者的觀點后，發(fā)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)策略主要有以下幾點.

（1）注重與教材的互補性和配套性.在課本內(nèi)容的教學(xué)以及常規(guī)題的講解過程中，教師可適當(dāng)改編常規(guī)題，有意識地將開放題教學(xué)與課本內(nèi)容互補配套.

（2）突出教學(xué)內(nèi)容的趣味性和發(fā)展性.在設(shè)計數(shù)學(xué)開放題教學(xué)內(nèi)容時，教師需滿足一些條件，如具有起點低、趣味性、發(fā)展性、層次性、一定的開放度等.關(guān)于課堂開放度，王斌提出教師在教學(xué)過程中要講究“放\"的策略，把握好開放度，做到適時、適可而“放”，能“放\"善“收”[31]

（3）強調(diào)教學(xué)過程的主體性和層次性.教師應(yīng)該激發(fā)學(xué)生主動提出問題、積極探索，既要求有一個低起點，易于為一般學(xué)生所接受，又要求教學(xué)過程步步深入，循序漸進，滿足不同層次學(xué)生的需要，

（4）注意教學(xué)組織形式的民主性和有序性.在教學(xué)時，教師要將學(xué)生分成小組，確保師生之間民主、平等，學(xué)生之間互助合作，以保障學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的主動性.設(shè)計怎樣的開放題、要提供哪些材料、在每個環(huán)節(jié)是否要開展合作交流等等，都需要教師進行組織、管理、調(diào)控，以確保整個教學(xué)過程是有序進行的.

（5）關(guān)注教學(xué)方式的探究性和多樣性.數(shù)學(xué)開放題教學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的主動建構(gòu)，以探究式教學(xué)為主，并輔以多種教學(xué)方法.教師教學(xué)時要采用啟發(fā)式教學(xué)、探究式教學(xué)等多樣化的方式，通過一題多解、一題多問、一題多變、一題多編等形式，加強學(xué)生的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

（6）提升教學(xué)評價的多元性和全面性.教師不僅要在教學(xué)過程中善用激勵機制，使學(xué)生進一步探究出正確答案或結(jié)論，更要注意提升教學(xué)評價過程中的多元性和全面性.“多元性\"是指評價主體、對象、方法等多個成分的多元.“全面性”主要側(cè)重從不同視角評價教學(xué)過程.楊漢英還認為小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)評價除了全面性，還應(yīng)該堅持過程性和發(fā)展性.[32]

2.3小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計策略

盡管許多研究者都對小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計策略提出了自己的看法和思路，但整體上都大同小異，筆者整理了相關(guān)文獻后，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)今研究者普遍遵循的設(shè)計策略主要有以下幾點.

（1）條件開放：遵循開放性原則，多設(shè)計以條件不足、隱藏或多余的數(shù)學(xué)開放題

（2）問題開放：設(shè)計不確定問題的題目，讓學(xué)生先補充問題，再進行解答，培養(yǎng)學(xué)生多方面考慮問題、多角度探索研究的能力.

（3）策略開放：設(shè)計的數(shù)學(xué)開放題可以有多種解題策略，這就要求學(xué)生拓寬思維，多方位考慮問題

（4）結(jié)論開放：設(shè)計答案（結(jié)論）不唯一的數(shù)學(xué)開放題，這要求學(xué)生善于突破常規(guī)，并結(jié)合想象與猜想，創(chuàng)造性地解決問題.

（5）綜合開放：設(shè)計條件、問題、策略、結(jié)論都開放的數(shù)學(xué)開放題，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、自主探索的能力

還有學(xué)者提出了一些針對小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計方法.欒繼輝認為小學(xué)數(shù)學(xué)開放題應(yīng)該遵循開放性原則、實踐性原則、興趣性原則、科學(xué)性原則和針對性原則.[33]

3展望

小學(xué)數(shù)學(xué)開放題作為與封閉題相對的新題型，對于學(xué)生的知識技能、思維品質(zhì)與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)都是十分有意義的.但當(dāng)前對于開放題的研究僅僅停留在概念、特點、分類、教學(xué)價值、教學(xué)策略與設(shè)計策略上，研究上還存在著許多不足與盲區(qū).筆者仔細分析了手頭上收集到的文獻后，認為今后的研究趨勢將會更多集中在對小學(xué)數(shù)學(xué)的理論研究、對教學(xué)設(shè)計與案例的行動研究、對教學(xué)評價體系的研究以及課程編制與開發(fā)研究.

參考文獻

[1]戴再平.十三年來我國數(shù)學(xué)開放題的研究和存在的問題[J].湖南教育， 2006（21）：4-7.

[2]澤田利夫.從“未完結(jié)問題\"提出的算術(shù)、數(shù)學(xué)課的教學(xué)方案[J].外國教育， .1980（4）：17-20

[3]劉學(xué)質(zhì).問題解決在美國和日本[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1993（2）：17-21.

[4]俞求是.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的開放題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，1999（1）：（204號 5-7 ：

[5]王萬祥.中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題理論研究[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，1992.

[6]孫耀庭.結(jié)合教材編制開放型問題[J].數(shù)學(xué)通訊，1996（5）：13-14.

[7]戴再平.開放題——數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式[M].上海：上海教育出版社，2004.

[8]

[16]戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論[M].上海：上海教育出版社，1996.

[9]

[14][31]王斌.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的特征及教學(xué)中應(yīng)注意的問題[J].科技信息，2006（1）：84.

[10]劉萍.數(shù)學(xué)開放題與學(xué)生主體意識的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1998（9）：4-6.

[11]

[12]段志貴.基于小學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的直覺思維的培養(yǎng)[J].新課程研究（上旬刊），2014（2）：51-53.

[13]楊佳.數(shù)學(xué)開放題與中學(xué)生發(fā)散思維訓(xùn)練研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2005.

[15]朱朝滸.也談小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的分類[J].小學(xué)教學(xué)參考，2001（3）：29-30.

[17]沈小霞.小學(xué)數(shù)學(xué)“開放題”類型談[J].小學(xué)教學(xué)參考，2003（5）：36-37.

[18][20]戴再平，孫聯(lián)榮，凌國華，等.數(shù)學(xué)開放題研究[M].南寧：廣西教育出版社，2012.

[19]錢從新.有關(guān)開放題的幾點探討[J].數(shù)學(xué)通報，1999（11）：11—12.

[21][24][25]龔雷.數(shù)學(xué)開放題的常見類型[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1999（5）：57-58.

[22]戴再平.時代的呼喚—數(shù)學(xué)開放題研究進展綜述[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 1999（4）：19-21.

[23][28]何光峰.數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)的研究綜述[J].數(shù)學(xué)通報，2001（5）：0-3.

[26][27]楊傳岡.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的現(xiàn)狀分析與對策探尋[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育， 2014（5）：32-34

[29]陳楠.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)研究[D].杭州：杭州師范大學(xué)，2017.

[30]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[32]楊漢英.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題有效教學(xué)評價標(biāo)準(zhǔn)的探索與實踐[J].小學(xué)教學(xué)研究， 2014（11）：39-40

[33]欒繼輝.優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)開放題設(shè)計促進創(chuàng)新增效研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2015.