小學(xué)模型思想的教學(xué)研究

針對模型思想的探討，現(xiàn)在主要集中于高等教育方面，而小學(xué)階段的模型概念探究相對缺乏.值得注意的是，“數(shù)學(xué)廣角”是綜合與實踐模塊中的核心部分，每項具體內(nèi)容都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想.[通過翻閱相關(guān)著作發(fā)現(xiàn)，對該模塊內(nèi)實施模型思想教學(xué)方面的研究尚屬空缺.本文基于小學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)，著重探究高年級課程中融合式教學(xué)法的實踐，旨在填補該領(lǐng)域研究的缺失.

1貼近學(xué)生生活實際，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實問題情境

通過對教材內(nèi)容的深人解讀可知，絕大部分的數(shù)學(xué)課程是以真實情境作為出發(fā)點，利用實際問題來啟發(fā)學(xué)習(xí)，因此教師在教學(xué)過程中很有必要運用這種真實的場景來構(gòu)建教學(xué)情境.數(shù)學(xué)思想的滲透教學(xué)要回歸生活.[2]“植樹問題”\"找次品”與\"鴿巢問題\"這些均以真實生活情境為主題，結(jié)合學(xué)生的日常生活實踐，讓教學(xué)素材貼近生活，更具形象化.教師應(yīng)充分領(lǐng)會教材的設(shè)計意圖，利用其包含的現(xiàn)實背景主題設(shè)置一個貼近學(xué)生真實生活的學(xué)習(xí)情境.這樣，學(xué)生就可以在圖片所展現(xiàn)的情境中探究日常生活中的數(shù)學(xué)問題，并感受其與現(xiàn)實世界的緊密聯(lián)系.同樣，構(gòu)建模型的核心思想在于構(gòu)建真實世界與數(shù)學(xué)教學(xué)之間的紐帶，采用數(shù)學(xué)方法有效地處理現(xiàn)實生活中的問題，這是一種非常重要的思維模式.通過構(gòu)建日常生活情境，學(xué)生能夠深入感受到現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這是學(xué)生理解模型思想的關(guān)鍵所在.

在“植樹問題”教學(xué)中，教材通過創(chuàng)設(shè)真實的植樹情境，為學(xué)生呈現(xiàn)了一個具體的問題場景.

問題1同學(xué)們在長 100m 的小路一邊植樹，每隔 5m 栽一棵（兩端都要栽）.一共要栽多少棵樹？

問題1中展現(xiàn)的內(nèi)容使教師有條件借助問題，通過構(gòu)建“植樹節(jié)活動\"或“校園環(huán)保日\"等情境，營造植樹活動的實際氛圍，進而提出一個與現(xiàn)實生活相關(guān)的問題.此外，為了讓學(xué)生更主動、更深刻地掌握問題的實質(zhì)，教師可以鼓勵他們扮演小設(shè)計師的角色深度剖析這個實際問題.同時，所構(gòu)建的日常情境以學(xué)生的實際生活為依托，引導(dǎo)他們運用數(shù)學(xué)的視角和邏輯去觀察和剖析現(xiàn)實生活中的問題.具體而言，通過構(gòu)建貼近學(xué)生生活經(jīng)驗的情境，將數(shù)學(xué)問題自然融入生活場景，充分體現(xiàn)了模型思維的本質(zhì)特征.需要強調(diào)的是，模型思維的核心價值在于搭建現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的橋梁.教師通過創(chuàng)設(shè)真實情境、引導(dǎo)問題抽象、促進數(shù)學(xué)建模這三個關(guān)鍵步驟，不僅能幫助學(xué)生理解模型思想，更能讓他們親身體驗數(shù)學(xué)模型解決實際問題的全過程.這正是培養(yǎng)學(xué)生模型思想的重要途徑.

“鴿巢問題”這一課程以“抽屜原理”為核心內(nèi)容，教師采用了數(shù)學(xué)小游戲的形式進行導(dǎo)人.問題如下.

問題2課堂開始時，老師請5位同學(xué)上臺配合表演一個“魔術(shù)”一副牌，取出大小王，還剩52張牌，5人隨意抽一張.同學(xué)們還未展示他們所抽的牌，老師就說他們抽出的牌中至少有兩張牌是同花色的.老師的判斷是否正確？為什么？

在各個教學(xué)階段，“現(xiàn)實情境\"的含義各異.具體到高年級學(xué)生，“現(xiàn)實情境”并非局限于他們?nèi)粘Ｉ钏佑|的事物，還包括他們在真實生活中可能遇到或他人所經(jīng)歷的事件.“鴿巢問題”作為一類典型數(shù)學(xué)問題，恰恰是設(shè)計學(xué)生學(xué)習(xí)情境時的一項有價值的教學(xué)材料.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該巧妙運用“抽屜原理”創(chuàng)建貼近生活的學(xué)習(xí)環(huán)境，如將撲克牌引進課堂或借助魔術(shù)表演這一形式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.同時讓他們在探究這個寓教于樂的數(shù)學(xué)小游戲時揭露其中的數(shù)學(xué)秘密，有效構(gòu)建起學(xué)習(xí)“抽屜原理\"的知識基礎(chǔ).這種貼近現(xiàn)實的情境不僅為后續(xù)深入講解“抽屜原理”打下了基礎(chǔ)，還構(gòu)建起現(xiàn)實與數(shù)學(xué)之間的橋梁，為學(xué)生將來運用模型方法解決數(shù)學(xué)問題提供了鋪墊，

現(xiàn)實情境通過“數(shù)學(xué)化\"得以體現(xiàn)，直觀素材構(gòu)成學(xué)生理解數(shù)學(xué)現(xiàn)實的基礎(chǔ)，即通過數(shù)學(xué)的角度審視日常生活，在現(xiàn)實世界中發(fā)掘數(shù)學(xué)原理.數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的起點是基于實際問題，進而展開一連串的研究.實際問題往往不能在教學(xué)過程中直接呈現(xiàn)，而是需要依托特定的實際情境，讓學(xué)生能在這些具體情境下體會和領(lǐng)悟.教師在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時，需要以教材為依據(jù)，并且要緊密聯(lián)系學(xué)生的日常生活，引導(dǎo)學(xué)生觀察并識別生活中的實際問題，從而提高問題的啟示性和生活相關(guān)性，為學(xué)生后續(xù)建立數(shù)學(xué)模型打下堅實的基礎(chǔ).

2分析概括數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，抽象數(shù)學(xué)問題原型

創(chuàng)建真實的生活情境，能使學(xué)生掌握問題的本質(zhì).教師必須指導(dǎo)學(xué)生從實際情境中提取數(shù)學(xué)元素，提煉出問題的根本要素，并對這些根本要素展開剖析，重點探討數(shù)量關(guān)聯(lián)與特性框架，從而把非典型的日常問題轉(zhuǎn)化為有序的數(shù)學(xué)問題.在此課堂教學(xué)活動里，教師需指導(dǎo)學(xué)生掌握如何從真實情境中提取關(guān)鍵信息，篩選出所需的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)，以便更有效地表述問題，同時通過簡化、拆解及忽略非關(guān)鍵部分把實際問題轉(zhuǎn)換為有序的數(shù)學(xué)問題.教師還需著重指導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角剖析問題，不管面對的是實際情境還是經(jīng)過抽象化的數(shù)學(xué)問題，都能從中抽絲剝繭地提煉出數(shù)學(xué)問題的基本模型；重點培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的收集、解讀及理解能力，這是該教學(xué)過程的核心所在.

例如，利用“抽屜原理\"設(shè)計以下問題

問題3把4支鉛筆放進3個筆筒中，總有一個筆筒里至少有兩支鉛筆.你知道這是為什么嗎？

這個問題引導(dǎo)學(xué)生探究把4支鉛筆置于3個筆筒時，為何必然存在至少一個筆筒內(nèi)含有不少于兩支鉛筆.在設(shè)計這個數(shù)學(xué)問題時，教師要先領(lǐng)會其關(guān)鍵要素，也就是前述內(nèi)容所強調(diào)的，提煉出這個數(shù)學(xué)問題的根本所在，其實質(zhì)為將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型的過程.在這個數(shù)學(xué)問題中，最核心的信息永遠都存在且至少包含在所提出的問題描述之中.因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生對此問題進行概念化的時候，應(yīng)當(dāng)專門對“總有”和“至少”這兩個核心概念進行剖析.此項活動，正是對數(shù)學(xué)問題抽象化的重要實踐

例如，在講解\"植樹問題\"時，教師創(chuàng)設(shè)出了一個實際情境，即在一條100米的小路上開展植樹活動.然而，對學(xué)生來說，這條100米的小路涉及的問題太復(fù)雜，因此，教師應(yīng)該協(xié)助學(xué)生將實際問題簡化，提煉出簡化的數(shù)學(xué)模型.首先，現(xiàn)實生活問題的實質(zhì)內(nèi)容構(gòu)成了該問題的核心部分，教師需引導(dǎo)學(xué)生識別出生活情境問題里的關(guān)鍵實質(zhì)要素，如小路的全長、樹木之間的相隔距離、樹的數(shù)量等.通過將現(xiàn)實問題抽象化，能夠?qū)⑺喕癁椤霸陂L達20米的小路上種植樹木\"的數(shù)學(xué)問題.其次，對于100米和20米情境之間的聯(lián)系，教師應(yīng)當(dāng)著重指導(dǎo)學(xué)生將原問題與簡化后問題的差異性和相似性進行比較，使學(xué)生能夠領(lǐng)悟兩者的關(guān)聯(lián)性.

3數(shù)學(xué)活動探索中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型對于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)問題至關(guān)重要，它是簡化復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的根本途徑.學(xué)生通過參與構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的研究性學(xué)習(xí)，能夠逐漸培養(yǎng)起模型化的思維方式，這在教學(xué)過程中對于滲透模型思維起到了決定性的作用.學(xué)生想要順利地構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，需要實踐活動時支持.[3需要強調(diào)的一點是，在策劃數(shù)學(xué)實踐活動時，教師應(yīng)重視直觀性在探究活動中的作用.這是由于數(shù)學(xué)概念往往是隱藏在學(xué)習(xí)過程中，要想使學(xué)生能夠有效地建立數(shù)學(xué)模型，就需要運用繪圖、擺放木棒之類的直觀教學(xué)方法.在推進“數(shù)學(xué)廣角\"探索的同時，應(yīng)促使學(xué)生利用這些方法來豐富他們的內(nèi)在思維.教師在指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的同時，也需要確保學(xué)生對所建立的數(shù)學(xué)模型有充分的理解.

例如，在討論“植樹問題\"時，教材通過以下三種不同數(shù)學(xué)模型的案例講解帶領(lǐng)學(xué)生進行探究.第一個實例為數(shù)學(xué)課堂活動提供了具體示例.教師應(yīng)善于運用教材資源，通過指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計小路植樹的方案，利用繪圖等實踐活動，讓學(xué)生在進行數(shù)學(xué)研究活動的同時，通過比較不同植樹方案，探尋背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，并在探尋規(guī)律的過程中建立數(shù)學(xué)模型，

例1同學(xué)們在長 100m 的小路一邊植樹，每隔5m 栽一棵（兩端都要栽）.一共要栽多少棵樹？

例2動物園里的大象館和猴山相距 60m 綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端都不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是 3m. ，一共要栽多少棵樹？

例3張伯伯準(zhǔn)備在圓形池塘周圍栽樹.池塘的周長是 120m ，如果每隔 10m 栽一棵，一共要栽多少棵樹？

例如，在開展“找次品”問題的數(shù)學(xué)課堂實踐時，教師需策劃一系列數(shù)學(xué)實踐任務(wù)，旨在幫助學(xué)生建立尋找次品的數(shù)學(xué)模型.通過在3瓶、9瓶、11瓶鈣片中進行數(shù)學(xué)分析，引導(dǎo)學(xué)生動手創(chuàng)作圖表、操作排列和進行計數(shù)等實踐操作，促進學(xué)生在數(shù)學(xué)實踐過程中探索和識別規(guī)律.同時，教師通過填充數(shù)據(jù)表格的方式，引導(dǎo)學(xué)生更有效地構(gòu)建和理解數(shù)學(xué)模型的框架.教師在設(shè)計并實施課程教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)著重輔導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會“每次每邊所擺放的數(shù)量”“分配的份數(shù)”“稱量的頻次”彼此間的聯(lián)系，以便學(xué)生對所建立的數(shù)學(xué)模型有更深的認識.

4變式訓(xùn)練以實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型檢驗和運用

在指導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型的教學(xué)活動中，教師幫助學(xué)生理解新問題，并將其融入他們現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)中.數(shù)學(xué)模型的廣泛適用性能引導(dǎo)學(xué)生在面對同類問題時找到統(tǒng)一的解決方案，從而強化所建立的數(shù)學(xué)模型.教學(xué)過程需兼顧兩個方面： ① 通過多樣化的習(xí)題訓(xùn)練來加強學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解； ② 要改變題目情境，促使學(xué)生將數(shù)學(xué)模型運用到不同情境中去.

在“抽屜原理”的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生通過一連串的探究活動形成“抽屜原理”的數(shù)學(xué)模型時，教師可指導(dǎo)他們將其應(yīng)用于驗證課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)中展現(xiàn)的數(shù)學(xué)情境.通過對數(shù)學(xué)情境的驗證，學(xué)生能意識到他們構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不僅具有理論價值，更能有效解釋和處理生活中遇到的具體問題，從而驗證了模型的有效性.在將數(shù)學(xué)模型適應(yīng)性地遷移到多樣情境中時，教師可創(chuàng)設(shè)一連串實踐活動，使學(xué)生能在差異的情境下使用這一模型.例如，“一個教室設(shè)有一圖書角，共有40位同學(xué)可自由借書，要確保至少有一種圖書的可借閱數(shù)量達到兩本或更多，圖書角至少需備有多少冊圖書”“從1開始的10個奇數(shù)中隨意抽出6個，必然存在兩個數(shù)相加之和為20\"等變化多樣的習(xí)題，不僅能加深學(xué)生對知識的掌握，還能在應(yīng)用練習(xí)中深化學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的認識，進而培養(yǎng)用模型思想去審視和解決問題的重要數(shù)學(xué)思維方式.

例如，在“植樹問題\"的課堂教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生成功創(chuàng)建了三個獨特的植樹模型時，教師可以指導(dǎo)他們把這三個數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于其他相似的情境之中，實現(xiàn)知識的靈活轉(zhuǎn)換與應(yīng)用.在日常生活中，不只是植樹時會碰到路程長度與間隔有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如設(shè)置公交站點和街道路燈等，也皆是體現(xiàn)著植樹問題的情境.因此，教師可以巧妙設(shè)計一連串關(guān)于“公共汽車站牌間隔的距離以及全部行程\"的實踐課題，指導(dǎo)學(xué)生借用在種植問題上的數(shù)學(xué)理論去進行實證和應(yīng)用研究

5課堂總結(jié)，提煉模型思想

教師可以引導(dǎo)學(xué)生在教學(xué)結(jié)尾階段復(fù)習(xí)已掌握的知識和思維路徑，也可鼓勵學(xué)生主動分享自己的學(xué)習(xí)心得，在師生共同的梳理過程中，揭示教學(xué)策略中隱含的核心原理——模型思想.鑒于學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況與教學(xué)活動的實際進展，教師也可為學(xué)生提供練習(xí)，促進他們對數(shù)學(xué)模型構(gòu)建及模型本身的理解，以強化學(xué)生對模型思想的認知.同時，教師可以梳理教學(xué)內(nèi)容，通過多種感官激發(fā)學(xué)生對概念模型的深度理解.課程結(jié)束時，教師通過書寫板書，把學(xué)生的思維過程條理化，并且與認知的構(gòu)建過程緊密融合，讓模型觀念具體可見、明確展現(xiàn)，構(gòu)筑一個整合數(shù)學(xué)概念及模型思想的結(jié)構(gòu)體系.需要強調(diào)的是，在課堂教學(xué)的過程中，總結(jié)并不是只在全部課程教學(xué)結(jié)束后才進行的活動.相反，教師應(yīng)在學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的每一個階段中指導(dǎo)他們進行有效的梳理，協(xié)助學(xué)生分析并回顧自己的思維軌跡，用自己的話敘述個人學(xué)習(xí)經(jīng)歷的全過程.這樣做可以幫助學(xué)生理解和掌握學(xué)習(xí)中應(yīng)用到的建模思想，這正是幫助學(xué)生構(gòu)建建模思想的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

例如，在講解“植樹問題\"時，總結(jié)環(huán)節(jié)首先由教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)課上學(xué)習(xí)的核心知識點，也就是三種不同的數(shù)學(xué)模型.其次，教師可以指導(dǎo)學(xué)生進行復(fù)盤，回顧構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的具體方法，即幫助學(xué)生復(fù)習(xí)建立數(shù)學(xué)模型的步驟，這個步驟本質(zhì)上是一個采用模型思想來指導(dǎo)解題的過程.最后，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)該數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于各種問題的情形，使學(xué)生體會到運用數(shù)學(xué)模型解析的數(shù)學(xué)問題和實際問題之間的關(guān)聯(lián)，進而深刻理解模型化的思維方式.這一連串的梳理與回顧，實際上就是教師在指導(dǎo)學(xué)生對其參與數(shù)學(xué)建模活動全程的思考與歸納.在這個復(fù)習(xí)的過程中，學(xué)生的思維能力得到了深度的錘煉和提升，同時對模型概念有了初步的理解與認知，

6結(jié)語

追求數(shù)學(xué)教學(xué)的深層意義，不僅僅是積累更多數(shù)學(xué)理論與技能，關(guān)鍵在于是否塑造了數(shù)學(xué)的思維模式，并培養(yǎng)出獨到的數(shù)學(xué)觀察視角.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型思想被視為核心思想之一，把握這一概念對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)至關(guān)重要.

參考文獻

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