“植”入模型，“樹”立思維

“植樹問題”是小學數(shù)學的經(jīng)典教學內容，為培養(yǎng)學生的建模思維提供了良好的載體。它來源于生活實踐，具有多種現(xiàn)實情境（如沿路植樹、環(huán)湖植樹等），其核心在于探究“物體數(shù)量\"與“間隔數(shù)量”之間的關系。問題的條件（如總長、間距、是否兩端栽種、是否為封閉圖形等）靈活多變，不同的變化對應著不同的數(shù)學模型。解決“植樹問題\"的過程，就蘊含著觀察、分析、抽象、簡化、歸納、應用等一系列建?；顒?。學生探究不同情況下植樹棵數(shù)的計算方法，實際上就是在經(jīng)歷一個“非形式化\"的建模過程：從具體情境中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用算式（初步模型）來表達規(guī)律，并通過進一步的驗證和應用來檢驗與鞏固模型。

教師可聚焦“植樹問題\"這一具體教學內容，通過有效的教學策略，引導學生經(jīng)歷建模的全過程，為學生“植”入數(shù)學模型的基本思想，使學生“樹\"立初步的建模思維，最終實現(xiàn)學生模型意識的啟蒙和建模能力的初步培養(yǎng)，為提升小學生的數(shù)學核心素養(yǎng)提供可借鑒的路徑與方法。

一、數(shù)學建模理論與“植樹問題\"教學的融合

為有效培養(yǎng)學生的建模思維，在教學“植樹問題\"時，首先要對數(shù)學建模的核心理念、其在小學階段的育人目標以及“植樹問題”自身的教育價值建立清晰的認識，從而為構建有效的教學策略提供必要的理論依據(jù)。

（一）數(shù)學建模的基本過程

數(shù)學建模并非一套刻板的程序，它本質上是一種運用數(shù)學連接現(xiàn)實與理論的思考方式和實踐方法。這個過程通常始于對現(xiàn)實世界某個問題的關注與探究，要求研究者深入情境，識別其中關鍵的數(shù)學要素，明確要解決的核心議題。為了運用數(shù)學工具，往往還需要對復雜情境進行簡化和理想化處理，抓住主要矛盾，忽略次要細節(jié)，從而抽象出問題的數(shù)學本質。緊接著，需要運用數(shù)學的語言，如符號、圖表、算式或方程等，描述變量間的關系或系統(tǒng)的結構，構建起初步的數(shù)學模型。在模型建立后，則可通過數(shù)學運算求解得到理論結果。然而，這一結果是否符合實際？能否有效解釋現(xiàn)象？研究者必須對此進行反思與檢驗，重新評估假設、調整參數(shù)甚至重構模型。只有經(jīng)歷了這樣驗證與完善的模型，才能被信賴地用于解釋世界、解決問題，并可能被推廣應用于更廣闊的領域。

（二）小學階段數(shù)學建模能力的目標

在小學階段，數(shù)學建模能力的培養(yǎng)并不追求學生能獨立構建多么精密的模型，而是重在啟蒙和培育學生的基礎\"模型意識”。依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對模型意識內涵的解釋，這意味著要讓學生初步體會數(shù)學模型的普適性，理解一個模型往往能解決一類具有共同特征的問題，感受數(shù)學的應用魅力；同時，引導他們認識到生活處處有數(shù)學，樂于并敢于用自己所學的數(shù)學知識和方法來觀察、思考、解釋身邊的簡單現(xiàn)象。具體而言，就是要培養(yǎng)學生初步具備從具體情境中抽象出關鍵信息，建立簡單模型（如圖式、算式）的能力，并使學生能圍繞特定問題進行初步的推理與應用?？梢?，小學建模教學的核心目標是促進靈活、探究的建模思維的萌芽，而非純粹的技能訓練。

（三）“植樹問題”蘊含的建模價值

“植樹問題\"蘊含多重的教育價值。首先，它的情境來源于生活，無論是路邊植樹還是池塘圍欄，都易于學生理解和想象。其次，它對學生的數(shù)學抽象能力提出了適切的要求。學生需要從具體的“樹\"和“間隔\"出發(fā)，提煉出“棵數(shù)”與“間隔數(shù)\"這兩個核心概念，并探索它們之間的內在聯(lián)系。再次，它以條件的多樣性驅動著模型的建構。直線與封閉、兩端栽與不栽等不同情況，能夠引向不同的數(shù)學模型（如：棵數(shù) 間隔數(shù) ±1 或棵數(shù) ?= 間隔數(shù)）。學生探究不同解法的過程，便是在主動經(jīng)歷模型選擇與構建的活動。此外，解決“植樹問題\"的過程必然伴隨著豐富的數(shù)學思考與推理過程，如分類討論、數(shù)形結合、比較不同算法的優(yōu)劣、運用“化曲為直”的轉化策略等，這些都極大地促進了學生思維品質的提升。最后也是非常重要的一點，“植樹問題”所建立的“數(shù)量一間隔”關系模型具有顯著的可遷移性，其基本結構能廣泛應用于排隊、鋸木、敲鐘等眾多生活問題，這使得學生能夠真切體會到數(shù)學模型的普適性和應用價值，從而有效促進模型意識的內化與生成。正是這些特質的有機結合，使得“植樹問題”成為小學階段進行數(shù)學建模啟蒙、發(fā)展學生建模思維的理想載體。

二、基于建模理論的“植樹問題”教學策略

數(shù)學建模思維的培養(yǎng)并非一蹴而就的。教師需要精心設計教學活動，引導學生經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從理解到應用的完整過程。基于“植樹問題\"的教學特點和建模理論，可合理運用以下四個策略，共同促進學生建模思維的萌發(fā)與成長。

（一）情境驅動：從生活問題到建模需求

數(shù)學建模始于現(xiàn)實世界的問題。將數(shù)學知識的學習置于有意義的、貼近學生生活的真實情境中，是激發(fā)學生學習興趣、引發(fā)學生內在建模需求的首要環(huán)節(jié)。因此，教師與其直接拋出“植樹問題”的概念，不如從學生熟悉的環(huán)境或事件人手展開教學。

例如，可以利用學校新校區(qū)建設的契機，創(chuàng)設“要在校園里一條新建的道路旁植樹\"的情境；或者圍繞美化校園，提出“給一個正方形池塘四周布置綠植\"的任務。當一個具體、可感的問題擺在面前，如“在長20米的道路一旁栽樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？”，學生往往會憑借直覺給出初步的猜測。這些猜測常常是多樣的，甚至可能是相互矛盾的。這種由真實情境引發(fā)的認知沖突，恰恰是激發(fā)學生探究欲望，產(chǎn)生“我需要用數(shù)學方法弄清楚\"這一建模需求的寶貴契機。它讓學生感受到簡單的估算可能無法解決問題，而是需要借助更精確的數(shù)學思考和方法。

（二）操作抽象：從具身體驗到數(shù)學模型

從具體的現(xiàn)實情境走向抽象的數(shù)學模型需要經(jīng)歷一個關鍵的抽象過程。對于以具體形象思維為主的小學生而言，動手操作、親身體驗是完成這一過程的重要橋梁。教師需要給學生提供手與腦協(xié)同活動的機會，讓學生在做中思。

例如，在引入“間隔\"這一核心概念時，教師在運用口頭解釋之外，還可以通過繪制清晰的線段圖，讓學生直觀地看到“兩點之間的一段\"就是間隔。更進一步，也可以設計學習任務單（如表1），要求學生針對具體問題（如20米路，隔5米栽）畫一畫樹的位置;或者直接提供學具，讓學生用小樹苗模型在黑板上模擬栽種過程；或在小組內利用“池塘模型\"和“樹模型\"進行實際操作。在這些操作活動中，學生能夠獲得關于數(shù)量、距離、排列方式的豐富感知經(jīng)驗。

但需要注意的是，操作本身不是目的，關鍵在于教師的引導。比如在封閉圖形的植樹實驗中，當學生操作后，教師需要引導他們辨析：為什么18米長的邊，每隔6米栽一棵，有的小組栽了3棵，有的小組卻栽了4棵？從而使學生明確 18÷6=3 得到的是段數(shù)（間隔數(shù)），而在兩端都要栽的情況下，棵數(shù)需要在段數(shù)的基礎上再加1。只有經(jīng)歷這樣的具身體驗和針對性的討論，學生才能逐步將具體的物（樹）和空間（路長、間隔）轉化為抽象的數(shù)學概念（棵數(shù)、間隔數(shù)）及其關系，為后續(xù)建立數(shù)學模型奠定基礎。

（三）多元建構：從個體探究到集體共識

數(shù)學模型的建構往往不是一次就能完成的，而是需要在多樣化的探索和深度的交流中逐步明晰和完善。課堂教學中，教師應鼓勵學生從不同角度思考，生成多元的解決方案，并通過交流碰撞，深化對模型本質的理解。

比如，當學生通過動手操作對“20米路，隔5米栽\"的問題有了初步想法后，教師可以組織學生展示不同的栽法和對應的算式，如 20÷5=4.20÷5+1=5 20÷5-1=3 。然后適時追問：“這里為什么要 +1？ 這里為什么又要-1？”引導學生闡述算式背后的道理，即不同栽法（只栽一端、兩端都栽、兩端都不栽）與棵數(shù)、間隔數(shù)的對應關系。這種對不同模型及其適用條件的辨析，是模型建構的核心環(huán)節(jié)。

在處理更復雜的封閉圖形，如邊長為18米的正方形池塘的植樹問題時，這種探究交流顯得更為重要。學生在課堂上可能會產(chǎn)生如下幾種不同的算法。

算法一：先算一條邊兩端都栽需要栽 18÷6+1= 4（棵），四條邊共需要栽 4×4=16 （棵），再減去重復計算的4個頂點，得出一共需要栽12棵。

算法二：將每條邊看作只栽一端（或另一端不栽），即需要栽 18÷6=3 （棵），四條邊就要栽 3×4= 12（棵）。

算法三：先算出周長為 18×4=72 （米），再用周長除以間隔長度得到段數(shù)，即 72÷6=12 （段），直接等于棵數(shù)。

教師需要珍視這些不同的思維成果，并組織學生充分交流：“這種算法是怎么想的？”“為什么算出16棵后還要減4？”“為什么這里的 18÷6 不用加1？”“為什么周長除以間隔長度得到的段數(shù)正好是棵數(shù)？\"如此，通過師生以及生生之間的質疑、解釋、辯論，學生不僅能理解各種方法的合理性，還能體會到不同模型是從不同角度對同一問題的數(shù)學抽象。而適時借助多媒體動畫演示“化曲為直\"的過程，還能進一步幫助學生直觀理解封閉圖形植樹問題（棵數(shù) 段數(shù)）與直線型植樹問題（只栽一端，棵數(shù) ?= 間隔數(shù)）之間的內在聯(lián)系，促進學生對模型的融會貫通。

（四）遷移應用：從單一模型到廣泛領域

一個真正被理解和掌握的數(shù)學模型應該具有一定的生命力，即能夠被靈活應用于新的、變化了的情境中。模型意識的核心之一就是對模型普適性的感悟。因此，在學生初步構建起“植樹問題”的基本模型后，教師需要設計有層次的變式練習和拓展應用，以強化學生對模型的理解，鍛煉其遷移應用能力。

教師既可以通過改變問題和條件來設計變式。如在直線型植樹問題中，在保持間隔長度（5米）不變的情況下，將總長從20米變?yōu)?5米、30米，引導學生運用已有的三種模型（棵數(shù) 間隔數(shù)、棵數(shù) 間隔數(shù) ±1 ）進行計算，在不變的關系中鞏固模型。也可以通過改變問題的幾何背景來設計變式。如在封閉圖形植樹問題中，在探討了正方形池塘的栽樹問題后，緊接著提出：“如果池塘變成三角形、六邊形，甚至是圓形或不規(guī)則圖形，但周長仍然是72來，間隔也還是6米，需要栽種多少棵樹？\"當學生通過思考或計算發(fā)現(xiàn)結果仍然是12棵時，他們就能更深刻地體會到“棵數(shù) 段數(shù)\"這一模型對于封閉圖形的普遍意義。此外，教師還可以嘗試引入字母（如用 a 代表間隔數(shù)），用代數(shù)式表達模型，進一步提升模型的概括性。

最終，教師要引導學生將“植樹問題\"的模型遷移到更廣泛的生活場景中。教師可以啟發(fā)性地提問：“我們今天研究的植樹問題，跟生活中的哪些現(xiàn)象有點像？”進而引出安裝路燈、設置公交站牌、鋸木頭、排隊、鐘表敲鐘等例子，并引導學生分析這些問題是否也存在類似“物體數(shù)量”與“間隔數(shù)量\"的關系，能否運用植樹模型來解決。這種從具體問題模型向更廣闊應用領域的延伸，是幫助學生真正建立模型意識、發(fā)展應用能力的關鍵一步。

總之，“植樹問題”為小學階段開展建模教學提供了得天獨厚的平臺。教師應精心創(chuàng)設能夠激發(fā)學生內在探究需求的真實問題情境，引導學生通過動手操作、畫圖、模擬等方式親歷抽象過程，并積極組織多元化的探究與交流活動，巧妙設計富有層次的變式與拓展練習，使學生完整經(jīng)歷“提出問題一分析問題一建立模型一求解模型一檢驗與應用\"的建模過程，從而掌握“植樹問題\"的解法，初步形成“模型意識”，提升運用數(shù)學眼光觀察世界、運用數(shù)學思維解決問題的能力。

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（廣西壯族自治區(qū)柳州市景行小學）