基于多策略改進的金豺優(yōu)化算法

近年來，結合自然界的規(guī)律和動物群體行為提出了許多群智能算法，如飛蛾撲火算法[1]（moth-flmeoptimiztion，MFO）、麻雀搜索算法[2]（sparrow search algorithm，SSA）、哈里斯鷹算法[3]（Hars hawks op-timization，HHO）、粒子群算法[4]（particle swarm optimization，PSO）、人工蜂群算法[5]（artificial bee colo-ny，ABC）等，通常應用于圖像處理[6]、路徑規(guī)劃[7]等這些科學與工程技術方面的最優(yōu)解問題研究上.其中，金豺優(yōu)化算法（GJO）是2022年由CHOPRA等[8]設計提出的一種新型仿生優(yōu)化算法.通過群體初始化、雌雄個體定位、搜尋與圍攻獵物等步驟，尋求最優(yōu)解.盡管GJO算法具有結構簡單、參數調整少的優(yōu)勢，但在收斂精度、搜索與開發(fā)平衡、收斂速度等方面存在不足，容易落入局部最優(yōu).

針對GJO算法的這些不足，眾多學者提出改進措施.YUAN等[9]提出新的雙黃金螺旋更新規(guī)則，提高了優(yōu)化的能力和效率，引人一種非線性動態(tài)遞減的縮放因子，以保持種群多樣性;MOHAPATRA等[10]提出反向學習和隨機反向學習，提升了GJO算法的收斂精度和收斂速度;WANG等[1]提出初始化階段采用混沌映射預選擇，在種群更新階段采用類克隆策略，在選擇階段采用改進的模擬退火算法，提高收斂精度和減少迭代次數方面的有效性;朱興淋等[12提出將Cauchy突變策略引入到優(yōu)化求解過程中，提高群體多樣性等，并設計了一種基于權值的群體位置更新策略，提高了算法的收斂性.上述研究在一定程度上提升了GJO 算法性能，但相較于其他算法，GJO算法仍具有收斂速度慢、收斂精度低、傳統(tǒng)的能量方程不夠真實地描述自然界中群體圍捕獵物的真實過程、易陷入局部最優(yōu)等缺點，具有較大的提升空間.

本研究進一步開發(fā)了對金豺優(yōu)化算法（GJO）的改良版，即改進金豺優(yōu)化算法（improved GJO，IGJO）.此算法首先應用多值Circle混沌映射來初始化種群，以提升種群的均勻性、多樣性和加速收斂過程.接著，通過引入隨機收縮指數函數和能量方程的非線性化處理，此改進能更精確模擬金豺群體在自然環(huán)境中捕食時的能量變化，有效促進了從宏觀到微觀的搜索轉變.鑒于原GJO算法在開發(fā)階段表現優(yōu)異但探索階段較弱，容易出現過早收斂的問題，引入了基于 Ψ_t -分布的非線性變異機制來增強算法的探索功能，并防止算法早熟陷入局部最優(yōu).此外，在種群優(yōu)化后階段加入變異機制，擴大了搜索范圍.通過調整Levy飛行策略中的關鍵參數，并通過實驗確定最優(yōu)值，進一步增強了算法的性能.通過對比分析9個標準測試函數以及進行Wilcoxon 秩和檢驗，驗證了改進算法的效果與實用性.

金豺優(yōu)化算法（GJO）

GJO算法是通過對現實中一雄一雌金豺對在不同的情況下的狩獵策略進行數學建模得到的一種新的仿生計算算法.由以下幾個主要階段組成：1）全局探索階段，2）過渡階段，3）局部開采階段.

1.1 選擇搜索空間階段（初始化階段）

與許多其他群智能算法類似，在該算法中，其初值在搜索空間平均分配，數學公式為：

式中， Y_max 指變量的上界， Y_min 指變量的下界， r 指[0，1范圍內的均勻隨機數.

建立初始獵物矩陣：

式中， Y_ij 指第 i 個獵物的第 j 維， n 指 n 個獵物， d 指 d 個變量，獵物的位置指一個特定解的參數.

獵物適應度矩陣：利用目標函數，在尋優(yōu)的過程中，計算每個被捕食者的適度值，并將其全部收集于矩陣中.

式中， F_OA 指保存全部獵物適度值的矩陣， f 指目標函數.目標函數值中，最好的稱為雄豺，第二好的稱為雌豺，金豺對獲得相應獵物的位置.

1.2 全局探索階段

狩獵過程是由雄豺狼主導的，雌豺狼跟隨雄豺狼，公式如下：

Y₁（t）=Y_M（t）-E?∣Y_M（t）-r_?L?P（t）∣，

Y₂（t）=Y_F（t）-E?∣Y_F（t）-r_L?P（t）∣，

式中， Y_M 和 Y_F 分別為雌性、雄性豺狼的位置， Ψ_t 為當下迭代次數， P（t） 為獵物的位置， E 為躲避獵物的能量，Y₁（t） 和 Y₂（t） 為獵物對應雌、雄性豺狼的更新位置.

1.3 過渡階段

探索階段和開發(fā)階段之間的協調，仿生計算算法的精確運行是必要條件.GJO通過獵物的逃逸能量方程進行從探索到開發(fā)的轉換， E_i 的值從1.5降到0，是為了區(qū)分勘探和開發(fā)，當 ∣E∣gt;1 時，豺狼對不同的區(qū)域進行獵物的搜索是勘探階段，當 |E|lt;1 時，GJO對獵物進行攻擊是開發(fā)階段.

E 為躲避獵物的能量，它的數學公式如下：

其中， E_l 指獵物能量的減少， E_?0 指其能量的初始狀態(tài).

E₁=c₁（1-（t/T）），

式中， T 為最大迭代次數， c_l 為常量，值為 1.5，t 為當前迭代次數.在整個迭代期間， E₁ 的數值都是線性的，從1.5降為0.

r_?L 是一個是根據Levy分布的一個隨機數向量，并且以以下公式計算：

r_L=0.05L（y），

萊維飛行的目標函數計算公式如下：

L（y）=0.01×（μ×σ）÷（∣ν^1/β∣），

式中， u 和 μ 是0到1的隨機數， β 是值為1.5的常量

豺狼位置的更新：用 Y₁（t） 和 Y₂（t） 的平均值進行計算，公式如下：

1.4 局部開采階段

獵物被追捕時，其躲避能量會下降，金豺對會包圍并吞食探索到的獵物，金豺對共同進攻的數學公式如下：

Y₁（t）=Y_M（t）-E?∣r_?L?Y_M（t）-P（t）∣，

Y₂（t）=Y_FM（t）-E?∣r_ι?Y_FM（t）-P（t）∣，

式中， Y_M 和 F_F 為雌、雄性豺狼的位置， t 為當前迭代次數， P（t） 為獵物的位置， E 為躲避獵物的能量， Y₁（t） 和 Y₂（t） 為獵物對應雌、雄性豺狼的更新位置.最后用公式獲得金豺更新的位置.

2 改進的GJO算法

雖然原始的金豺優(yōu)化算法（GJO）在優(yōu)化問題的求解上展示了其潛力，但它在處理某些問題時還存在一些局限性，比如收斂速度和精度不足，未能精確模擬金豺群體狩獵時的能量動態(tài)，以及容易落入局部最優(yōu)解等問題.為了克服這些不足，本章介紹了4項改進措施：1）引入多值Circle混沌映射，目的是改善種群的初始分布，增強多樣性，并加快收斂速度.2）采用變化的收縮指數函數對能量方程進行非線性化處理，旨在更真實地反映金豺捕獵的能量變化，實現全局搜索與局部搜索的有效轉換，并提高算法的收斂精度.3）實施非線性自適應 t 分布的變異策略，擴大搜索空間，助力算法跳出局部最優(yōu)解.4）調整萊維飛行中的參數β，經過 50次實驗驗證，確定 β=2 時，優(yōu)化算法的性能得到全面提升.以下部分將詳細闡述這些策略.

2.1 多值Circle混沌映射初始化種群

在初始化階段，隨機數法所得到的群體個體位置是隨機的，不能均勻地分布于整個搜索空間，容易出現局部極值、收斂精度低等問題.針對此問題，在優(yōu)化領域，通常利用混沌映射的高隨機性等，代替?zhèn)鹘y(tǒng)偽隨機器生成（0，1）內較為均勻分布的混沌數.

常見的混沌映射有Circle 混沌映射[13]、Fuch 混沌映射[14]、Logistic 混沌映射[15]等，其映射效果如附錄圖S1，由映射分布圖像可知，其中混沌映射分布圖的橫坐標代表維度，縱坐標代表混沌值；直方圖中的橫坐標代表混沌值，縱坐標代表瀕數，在分布上，Circle 映射與Fuch 映射、Logistic 映射相比，其具有一定的均勻性和穩(wěn)定性.因此，本文首先對群體進行初始化，采用Circle 混沌映射提高群體的多樣性和初值的質量.

Circle混沌映射數學表達式如下：

經過使用經典的Circle 混沌映射可以發(fā)現，如圖 S1中的（al），由原 Circle 混沌映射在（O.2，O.5）之間的混沌數值可知，種群的非均勻性仍然存在.因此，與大多數的算法改進不同的是，本文對原始的Circle 混沌映射進行改進，以此使得種群初始化得到進一步更好的效果.通過500次實驗結果比較分析得出，將原始Circle 混沌映射中的 x_i…πx_i 以及 π 的系數值，均取3.15;常數項均取0.7時，多值Circle混沌映射比原始的Circle 混沌映射有更好的效果，其結果由附錄圖S2可以更為直觀地看出.

多值Circle混沌映射數學表達式如下：

其中， n 取2000為解的維度.

通過將Circle混沌映射改進的前后對比圖S2中的（b1）與（b2）對比、（b1.）與（b2.）對比可知，多值Circle映射分布更具有均勻性，算法收斂速度、精度均有提升.

2.2 β 參數優(yōu)化

萊維飛行[16]是一種具有高隨機性、不可預測性的一種游走方式，是大概率的步長較小的跳躍和一些小概率的大跨步構成，這兩種方式相互交替.其計算公式同1.3節(jié).

在GJO算法中， 2 和 μ 是0到1的隨機數， β 是值為1.5的常量.為使改進算法效果有所提升，經過大量的實驗測試發(fā)現，當 β 的值在IGJO算法中取2時，其尋優(yōu)效果最佳，算法的收斂速度、精度都有所提升.

2.3 任意收縮指數函數

由上述GJO算法可知，獵物的逃逸能量 E 的數值大小決定著探索與開發(fā)階段之間的轉換，對探索階段和開發(fā)階段的協調性起著關鍵作用，當 |E|gt;1 時，算法進人勘探階段，當 Elt;1 時，算法進人開發(fā)階段.但由于傳統(tǒng)獵物的逃逸能量方程中的 E 是由大到小線性減小的，并不能真實地反映自然界中金豺對圍捕獵物的真實能量變化過程.文獻[17]通過模擬獵物與捕食者之間的相互過程，進而得出：任意收縮指數函數能更近乎真實地表達此過程中獵物能量的變化.因此，本文引入任意收縮指數函數，改進傳統(tǒng)能量線性減小的機制，其數學公式如下：

其中， Ψ_tΨ_t 表示當前迭代次數； T 表示最大迭代次數； r 表示（0，1）之間的隨機數字.

IGJO算法通過摒棄傳統(tǒng)能量方程函數，使用任意收縮指數函數真實反映自然界獵物能量變化，從而進一步提高了算法的收斂精度.

2.4非線性自適應 Ψ_t 分布突變

GJO 算法的開采能力較強、探索能力較差，易陷入局部極值，從而出現早收斂的“早熟\"情況.為了協調開采和勘探，引人突變機制.算法的突變機制可以提高其勘探能力，如柯西突變、高斯突變等，幫助種群在完成位置迭代更新后跳出局部最優(yōu)值.由文獻可知，高斯變異可以提高開采能力較強算法的開采能力、柯西變異也能提高算法的開采能力但其效果沒有高斯變異那么強烈.綜上分析，本文提出將高斯變異[18]和柯西變異[19]之間的 Ψ_t 分布變異轉變應用于GJO算法中，通過迭代次數的變化影響 t 分布變異的自由度自適應的變化.由附錄圖 S3可知，當自由度值為1時，為柯西分布;值較大時，接近于高斯分布.其數學表達如下所示：

其中， 指自由度是 t_m 的 Ψ_t 分布.

在 IGJO中，用 Ψ_t 分布突變對豺狼群體 的每個位置進行擾動 .t 分布突變的數學表達式如下所示：

其中， 表示 t 分布突變后豺狼的位置向量， t_m 是自由度參數.

在IGJO中，隨著迭代次數的增加，自由度參數 t_m 的值呈非線性增長， t_m 的計算公式如下：

IGJO算法利用非線性自適應 Ψ_t 分布突變的自由參數 t_m ，達到在迭代早期通過柯西變異來增強IGJO的勘探能力，在迭代后期通過高斯突變來增強其開發(fā)能力.在算法的整個迭代過程中，隨 t_m 值的增加，關注點由全局勘探能力轉為局部開采能力，將高斯突變和柯西突變的優(yōu)點相結合，協調了IGJO探索和開發(fā)的兩階段，使其達到平衡，進一步提高了金豺優(yōu)化算法的收斂速度;擴大了GJO的搜索范圍，提高算法的尋優(yōu)能力，防止陷入局部最優(yōu).

2.5 改進的金豺優(yōu)化算法（IGJO）實現流程

IGJO的算法步驟如下，流程圖如圖1所示.

步驟1 對初始的種群進行更好的初始化，通過多值Circle混沌映射來實現.

步驟2對種群個體的適應度值進行計算，適應度值最小的為雄性金豺，次之為雌性金豺.

步驟3 獵物的逃逸能量 E 的計算，使用任意收縮指數函數，式（17）進行計算.

步驟4 當 ∣E∣gt;1 時，是勘探階段；當 ∣E∣lt;1 時，是開發(fā)階段.

步驟5 勘探階段：根據式（4）、（5）計算出該階段，獵物對應雌雄性豺狼更新的位置；開發(fā)階段：根據式（13）、（14）計算出該階段，獵物對應雌雄性豺狼更新的位置.

步驟6 通過式（12）得出金豺更新后的位置.

步驟7 通過式（18）、（19）、（20）對更新的最優(yōu)位置進行擾動，再次進行評估并更新金豺的位置.

步驟8對終止條件進行判斷，是則跳出循環(huán).否則跳回步驟2.

步驟9輸出最佳位置、適應度.

3 實驗及結果分析

3.1 仿真實驗環(huán)境

為了驗證改進的金豺優(yōu)化算法（IGJO）的求解效果，該仿真實驗基于Windows11（64位），12th Gen In-tel（R）Core（TM），i7-12700H，2.30 GHz主頻，16 GB內存的筆記本計算機的MATLAB R2019a上進行的實驗.

3.2 參數設置

為保證實驗的客觀性及公平性，本仿真實驗選取了金豺優(yōu)化算法（GJO）、飛蛾撲火算法（MFO）、蟻獅優(yōu)化算法（ALO）、粒子群算法（PSO）、多宇宙優(yōu)化算法（MVO）、人工蜂群優(yōu)化算法（ABC）與改進的金豺優(yōu)化算法（IGJO）作比較，其統(tǒng)一參數設置為：維度 D=10 、迭代數 T=500 、種群規(guī)模 N=50 、上界是1b、下界是ub、目標函數是 y

3.3 測試函數

為更進一步地驗證IGJO算法改進的有效性，選取了經典國際公認測試函數范例CEC2005測試集上的9個測試函數（如附錄表 S1基準測試函數所示），對改進的金豺優(yōu)化算法（IGJO）進行測試評估.這些測試函

數中， f₁～f₆ 為單峰函數，對于單峰值函數，用來檢驗它的局部搜索性能及能力； f_τ～f_g 為多峰函數，對于多峰值函數，用來檢驗它是否能從局部最優(yōu)跳出并收斂，進而找到全局最優(yōu)的結果.

3.4IGJO與其他經典算法對比

表1表示的是通過50次重復實驗所得出的結果，其包含了最佳值、最差值、均值、標準差及CPU運行時間.其中，算法（IGJO）的實驗結果用粗體黑字標出.由實驗得出的數據可知，無論是單峰函數 f₁～f₆ 還是多峰函數 f₇～f₉ ，算法（IGJO）與對比算法（GJO 算法、MFO算法、PSO算法、ALO 算法、MVO 算法、ABC 算法）的比較可知，其尋優(yōu)性能明顯；且IGJO算法的最差值與對比算法的最優(yōu)值作比較，也均是優(yōu)于.算法（IGJO）在函數 f₁?f₂?f₄?f₇ 上的標準差都是0，說明算法（IGJO）具有高穩(wěn)定性.對于 f₁ 函數收斂到了理論最優(yōu)值。的結果，證明算法（IGJO）較其他算法而言，具有更好的全局搜索能力.對于 f₂、f₄ 單峰函數，經對比，改進算法 IGJO在最優(yōu)值（6.14E-316、9.70E-288）、最差值（1.03E-301、9.00E-226）、平均值 （3.79E-303 、2.28E-227）這3個值上，比該6種算法在尋優(yōu)精度上提高了上百個數量級，說明其較其他算法更接近于理論最優(yōu)值，該算法基本解決了原始金豺算法收斂精度低的問題，提高了原始算法的尋優(yōu)性能.

為了全面評估 IGJO算法的效能，在其他變量保持相同的條件下，本研究同樣采用了9個測試函數，求解 IGJO算法與其他算法的CPU運行時間，并進行對比.如表1所示，IGJO算法與其他算法在50次實驗中的CPU運行時間存在顯著差異.IGJO算法的性能普遍優(yōu)于大部分比較算法，與 MFO算法的性能表現相當.特別是，相比原始的GJO算法，IGJO算法的運行時間縮短至 0.12～0.57 s之間，而傳統(tǒng)GJO算法的運行時間則在 0.99～3.00 s之間，這一顯著對比彰顯了IGJO算法的改進成效.通過這些數據的比較分析，可以明顯看出IGJO算法在提升CPU運行效率方面相比其他算法顯示出更加優(yōu)異的性能，充分證實了對IGJO算法的改進是成功的.

3.5 IGJO與其他經典算法收斂性分析

如圖2所示，文章通過對7種算法在測試函數收斂曲線上的對比，更直觀地顯示了算法之間的尋優(yōu)性能，圖2中Iterations為迭代次數、objectivefunctionvalue為目標函數值.

通過分析所有的收斂曲線，橫向觀察可以發(fā)現，在整個過程中IGJO的收斂曲線始終位于整個圖像的左邊，1）在迭代初始階段，利用多值Circle混沌映射，產生更均勻的初始種群，提高種群的多樣性；2）引人任意收縮指標，使能量方程達到非線性，達到均衡開發(fā)與探索的目的.從而實驗結果表明，新算法的收斂性優(yōu)于其他對照算法.縱向觀察可以發(fā)現，在整個過程中IGJO的收斂曲線位置始終位于整個圖像的下邊，使用非線性自適應 Ψ_t 分布突變機制，通過擴大實驗的搜索范圍，從而避免算法陷入局部極值，從而證明該算法相較其他對比算法在收斂精度上有所提升.由函數 f₁?f₂?f₃?f₄ 收斂曲線圖可知，算法（IGJO）在收斂精度上得到了極大的提升，提高了上百個數量級.由函數 f₅?f₇?f₈?f₉ 收斂曲線圖可知，IGJO算法對比原始金豺算法和其他對比算法，其收斂速度得到了極大提高，可以達到迭代幾十次就可以找到最優(yōu)值.函數 f₆ 的圖像中有多個拐點，說明IGJO易跳出局部最優(yōu)，從而達到更好的全局尋優(yōu)效果.因此，IGJO通過基準函數進一步證明了算法（IGJO）的有效性.

3.6 Wilcoxon秩和檢驗分析

由于僅通過對比算法的最優(yōu)值、最差值、平均值和標準差等方式來檢測算法的性能將變得不夠嚴謹.因此，為了進一步確保實驗的準確性，本篇引入了Wilcoxon秩和檢驗[20]，在顯著性水平 P=5% 的情況下，通過對比 IGJO和對比算法的50次實驗數據的數值，來判斷IGJO算法性能相較于對比算法是否具有顯著差異，從而判斷出改進算法性能的優(yōu)劣.若 P 值大于 5% ，說明IGJO算法的性能相較于其他算法，具有顯著的提升；若 P 值小于 5% ，說明IGJO算法的性能相較劣于其他算法；若P值等于 5% ，說明IGJO算法相較于其他算法性能相當.其中“ + \"\"_\"\" °leddash \"\"N\"分別代表“優(yōu)于\"\"差于\"\"等于\"\"無法進行顯著判斷”.

通過分析附錄表S2的實驗結果數據可知，大部分的 P 值都遠遠小于 5% ，說明改進的金豺算法（IGJO）的在9種基準函數的尋優(yōu)性上，顯著優(yōu)于其他對比算法；由于ALO算法在函數上實驗結果數值不夠顯著，進而算法性能無法進行顯著的判斷，因此可以得出 ALO算法與IGJO算法在性能上旗鼓相當.

4結語

提出了運用多種策略對其原始金豺算法進行改進的多策略金豺優(yōu)化算法（IGJO），改善了原始金豺算法收斂精度低、速度慢、易陷入局部極值等缺點.IGJO算法將多值Circle 混沌映射、任意收縮指數函數非線性化能量方程、非線性自適應 Ψ_t 分布突變機制等方法融合，對以上的幾個缺點進行改進.在多個基準測試函數函數上，對提出的IGJO算法進行測試.試驗結果表明，改進后的IGJO算法具有更好的性能，對原始算法的幾個缺點得到了有效的改進.在今后的研究中，需要進一步研究運用其他方法，能夠進一步提升算法的收斂性精度與收斂性速度，并將其應用到拉伸/壓縮彈簧設計等實際工程中.

附錄見電子版（DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2024.04.02.0001）.

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A modified golden jackal optization algorithm based on multiple strategies

Du Xiaoxina，b，Niu Xianghuia，Wang Bo ^a，b ，Hao Tianrua，Wang Zhenfeia （a. School of Computer and Control Engineering；b. Heilongjiang Key Laboratory of Big Data Network Security Testing and Analysis，Qiqihar University，Qiqihar l6loo6，China）

Abstract：Golden jackal optimization algorithm（GJO）is a new new algorithm.Due to its poor acuracy of convergence speedaddeficiencies inthebalance betweenexplorationandmining stage，thealgorithm disadvantages such asfaling intolocalextreme valueappear.Therefore，theoptimizationalgorithm（IGJO）was proposed.Firstly，theimproved multi-value Circle chaos maping is adopted toimprove the populationdiversityandthequalityofthe initialsolution；secondly，basedonthenonlinear form to realize the effective coordination between global and local search；thirdly，introducing t -distributed variation strategy toenhance thesearchbreadth，improvethe globalsearcheficiency，andefectivelyavoidthelocaloptimalproblem；finally，byoptimizing theLevyflight parameters toestablishanoptimizationvalue，soas tosignificantlyimprovetheconver gence spedandaccuracyof thealgorithm.Experimentalvalidationwithnine-itemtestfunctions showsthattheimproved IGJO algorithm surpasses several existing classical or emerging algorithms in several ways.

Keywords：group inteligent optimization algorithm；golden jackal optimization algorithm；multi-value circle chaos mapping；arbitrary shrinkage index function;adaptive t distribution mutation

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